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Ecrire la matrice de ∆ dans la base canonique B de E, calculer ∆(8X3 + 2X2 les matrices de p et f dans B (on utilisera la base B′ puis un changement de

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Montrer que B est une base et déterminer la matrice de passage P = Pass(B → B ) Corrigé de l'exercice 1 2 B est une base Puisque l'on est en dimension trois et

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Applications linéaires, matrices, déterminants Allez à : Correction exercice 1 b) Déterminer la matrice de de la base dans la base Le mieux aurait été de changer les rôles de 1 et 3 dans le premier système 2

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Puis, déterminer la matrice B de g dans les bases canoniques de R2 et R3 2) Calculer les matrices AB, BA, (AB)2 3) Montrer que AB est une matrice inversible

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Exercice 5 Soit E le R-espace vectoriel R Quels sont les sous-espaces vectoriels de E ? 1 3 1 Le Exercice 34 Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est : Quelle est la matrice P du changement de base ?

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Donner la matrice de passage P associée à la base u, v, w et calculer P−1 Il s' agit de placer dans les colonnes de P les coordonées des vecteurs u, v, w dans la

Chapitre 23

MATRICES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 23.1Donner la matrice de l"application linéairef:R3→R3, f(x,y,z) = (z,y,x)dans les bases cano-

niques. Puis montrer queB=((1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1))est une base. Donner la matrice defdansB. Exercice 23.2Soitfl"endomorphisme deR2défini par f ?x y? =?x-3y

2x+ 4y?

Justifier queB=??1

-1? ,?2 1?? est une base deR 2.

SoitA=?1-3

2 4? , B=?4-1 -2 8? que représententAetBvis à vis def? Exercice 23.3Donner la matrice de l"application linéairef:R2[X]→R2[X], f(P) = (X-1)2P?1 X-1 (X-1)P ?(X)dans la base canonique, puis dans la base de Taylor :?

1,(X-1),(X-1)2

Exercice 23.4SoitE= Vect(sin,cos,ch,sh).On a vu queB=(sin,cos,ch,sh)est une base deE. Donner la matrice

de l"opérateur de dérivation dans cette base.

Exercice 23.5SoitA=(

(1-1 2 0 1 0

1 1 2)

)etfl"endomorphisme canoniquement associé. Déterminer le rang def, déterminerkerf.Donner une base deImf

Exercice 23.6SoitB=(e1,e2,e3)oùe1=(

(1 0 1) ), e 2=( (1 -1 2) )ete 3=( (2 -1 1) ).Montrer que c"est une base de

R3. Soitfl"endomorphisme deR3de matriceA=(

(1 0 30 2 03 0 1) )dans cette base. Que vautf(e

1-2e2+ 3e3)?

1. LES BASIQUESCHAPITRE 23. MATRICES

Exercice 23.7SoitA=(

(-1 0 1 -1-2 1 -1-1 1) )etfl"endomorphisme deR

3associé. Montrer qu"il existe une base

B=(e

1,e2,e3)telle que

B=Mat

B(f) =(

(0 0 0 0-1 1

0 0-1)

Exercice 23.8Puissance énième et racine énième de matrices.

1. CalculerA

npourA=( (1 2 10 1 20 0 1) )etnentier.

2.(Plus technique)TrouverBtel queB

2=Aet plus généralementBtel queBn=Apourn≥2.

Exercice 23.9TrouverBtel queB2=(

(1 2 30 1 20 0 1) )Exercice 23.10SoitE=R3[X]et∆ :P→P(X+ 1)-P(X)

1. Ecrire la matrice de∆dans la base canoniqueBdeE, calculer∆(8X

3+ 2X2-5X+ 1).∆est-elle injective?

Que vautIm(∆)?

2. SoitN

0= 1, N1=X , N2=X(X-1)

2!, N3=X(X-1)(X-2)

3!,vérifier que ces quatre vecteurs forment une base

B ?deE.Ecrire la matrice de∆dans cette base.

3. Déterminer la matrice de passage deBàB

?, et calculer son inverse.

4. Calculer les coordonnées de8X

3+ 2X2-5X+ 1dansB

?, en déduire l"expression de ∆(8X

3+ 2X2-5X+ 1)dansB

?. Retrouver enfin la valeur de∆(8X3+ 2X2-5X+ 1)dansB.

5. Calculer∆

4(P)à l"aide de la définition de∆puis avec sa matrice dansB?. Quelle relation peut-on en déduire?

Exercice 23.11SoitA=(

(2 0 00 1 00 1 2) )etfl"endomorphisme associé àAdans la base canoniqueB=(e

1,e2,e3)de

3.1. DéterminerF= ker(f-2Id)etG= ker(f-Id).Justifier queF?G=R

2. Soitpla projection surFde directionG, déterminerP=MatB(p), la matrice depdansB.

Soitqla projection surGde directionF, que valentp+q, p◦q, q◦petQ=Mat B(q).

3. Montrer queA= 2P+Qet en déduireA

n. Exercice 23.12SoitE=R3. On noteBla base canonique deR3.On définitF=?(x,y,z)?R3,x+y+z= 0?et

G=?(x,y,z)?R

3,x=y=z?

1. Justifier queFetGsont des sous espaces vectoriels supplémentaires deE.

2. SoitB

?= (u1,u2,u3)oùu1= (1,1,1), u2= (1,0,-1), u3= (0,1,-1).

Montrer queB

?est une base.

3. CalculerP

B,B?,justifier que cette matrice est inversible, puis déterminerP-1 B,B

4. Soitpla projection surFde directionG, etfl"affinité de baseG, de directionFet de rapport2.

Donner les matrices depetfdansB(on utilisera la baseB ?puis un changement de bases)

Exercice 23.13SoitA=(

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