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2) Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche la valeur voulue Exercice 3 : Déterminer les limites des suites suivantes : () ( ) ( )

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2) En déduire que la suite ( )n u est convergente 3) Déterminer sa limite Exercice 16 : (BAC) Soit a un nombre réel tel que −1 < α

TS Exercices sur les suites

Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

Exercice 3

(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)

Calculer u1, u2 et u3.

b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1

TS Exercices sur les suites

Exercice 4 : Suites mêlées

Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 1

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.

Démontrer cette conjecture.

3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)

En déduire les limites de (un) et (vn).

Exercice 5 : Approximation de e

On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + ..... + 1

n! et vn = un + 1 n´n! 1)

Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.

2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite. b) Comparer u n et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la suite (u n) minorée par (u1). c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu'elles ont la même limite l.

3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 

1! + x²

2! + ... + x

n n!e-x et g(x) = f(x) + x n! pour 0 £ x £ 1. a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = u n´e-1. b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n

³ 1, e - e

n! £ un £ e. c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, u n £ e

£ vn.

d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de e

à une précision 10

-k (k Î V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour laquelle il est obtenu. Qu'obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

3 Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

a) On a pour n > 0, -1 £ sin p n £ 1

Donc -

1 n

£ un £ 1

Or lim

n = lim 1 n = 0

Donc selon le théorème des gendarmes lim u

n = 0

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

1) 0 est un minorant évident de un.

2) un+1 - un = 1

(n + 1)3 > 0

Donc (u

n) est croissante.

3) Montrons par récurrence que u

n £ 2 - 1 n.

Soit P

n la proposition un £ 2 - 1 n. u

1 = 1 £ 2 - 1

Donc P

1 est vraie.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

Supposons Pn vraie pour entier n fixé.

u n+1 = un + 1 (n+1)3

L'hypothèse de récurrence au rang n donne :

u n £ 2 - 1 n

On a donc u

n+1 £ 2 - 1 n + 1 (n + 1)3

Or Comme -

1 n

£ 0 alors 2 - 1

n + 1 (n + 1)3 £ 2 - 1 (n + 1)3

Donc u

n+1 £ 2 - 1 (n + 1)3.

Donc la proposition P

n+1 est vraie. Donc selon le principe de récurrence, la proposition P n est héréditaire

On a donc bien pour n

³ 1, un £ 2 - 1

n. u n £ 2 - 1 n £ 2

La suite (u

n) est croissante et majorée par 2.

Donc la suite (u

n) est convergente.

Pour n

³ 1, on a 0 £ un £ 2 - 1

Comme (u

n) est convergente, en faisant tendre n vers l'infini, on a : 0

£ lim un £ 2.

Remarque : la limite de la suite (u

n) se nomme la constante d'Apéry du nom d'un mathématicien qui a montré que cette limite est un nombre irrationnel. lim (u n) » 1,20205690.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

5 Exercice 3

(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)

Calculer u1, u2 et u3.

Déterminer alors la limite de la suite (un).

a) u1 = 1

1² + 1 = 1

2 u 2 = 2

2² + 1 + 2

2² + 2 = 2

5 + 2 6 = 2 5 + 1

3 = 2´3 + 1´5

15 = 11

15 u 3 = 3

3² + 1 + 3

3² + 2 + 3

3² + 3 = 3

10 + 3

11 + 3

12 = 181

220
b) un est définie par une somme de n termes.

Le plus petit de ces termes est

n n² + n

Le plus grand de ces termes est

n n² + 1 c) Pour 1 £ k £ n, on a n²+ 1 £ n²+ k £ n² + n

Et par suite,

1 n² + n

£ 1

n² + k £ 1 n² + 1 (car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + En multipliant membre à membre par l'entier naturel n > 0, on obtient : n n² + n

£ n

n² + k £ n n² + 1

Et en sommant pour k = 1 à n, on obtient :

n² n² + n k=1n n n² + k

£ n²

n² + 1

Soit finalement l'encadrement demandé :

n² n² + n

£ un £ n²

n² + 1

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

6 d) n² n² + n = 1 1 + 1 n et n² n² + 1 = 1 1 + 1 n² e)

Donc limn®+ ¥ n²

n² + n = 1 et limn®+ ¥ n² n² + 1 = 1 Donc d'après le théorème des gendarmes, on obtient lim n®+ ¥ un = 1.

Exercice 4 : Suites mêlées

Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 1

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.

Démontrer cette conjecture.

3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)

En déduire les limites de (un) et (vn).

1) a -6 n u(n) v(n)

0 -6 4,5

1 2,4 -1,8

2 -0,96 0,72

3 0,384 -0,288

4 -0,1536 0,1152

5 0,06144 -0,04608

6 -0,024576 0,018432

7 0,0098304 -0,0073728

0,00393216 0,00294912

9 0,00157286

0,00117965

0,00062915 0,00047186

a 1 n u(n) v(n)

0 1 -0,75

1 -0,4 0,3

2 0,16 -0,12

3 -0,064 0,048

4 0,0256 -0,0192

5 -0,01024 0,00768

6 0,004096 -0,003072

7 -0,0016384 0,0012288

8 0,00065536

0,00049152

0,00026214 0,00019661

10 0,00010486

-7,8643E- 05

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

7 Il semble que lim un = lim vn = 0 quelle que soit la valeur de a.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

8quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] [PDF] TS Exercices sur les suites 1 Exercice 1 : Déterminer la limite de

TS Exercices sur les suites

Exercice 1 :

0,5n + cos(np)

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

Donner un minorant de cette suite.

Exercice 3

Calculer u1, u2 et u3.

TS Exercices sur les suites

Exercice 4 : Suites mêlées

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

Démontrer cette conjecture.

En déduire les limites de (un) et (vn).

Exercice 5 : Approximation de e

On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + ..... + 1

Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.

3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 

2! + ... + x

³ 1, e - e

£ vn.

à une précision 10

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

3 Exercice 1 :

0,5n + cos(np)

Donc -

£ un £ 1

Or lim

Donc selon le théorème des gendarmes lim u

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

Donner un minorant de cette suite.

1) 0 est un minorant évident de un.

2) un+1 - un = 1

Donc (u

3) Montrons par récurrence que u

Soit P

1 = 1 £ 2 - 1

Donc P

1 est vraie.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

Supposons Pn vraie pour entier n fixé.

L'hypothèse de récurrence au rang n donne :

On a donc u

Or Comme -

£ 0 alors 2 - 1

Donc u

Donc la proposition P

On a donc bien pour n

³ 1, un £ 2 - 1

La suite (u

Donc la suite (u

Pour n

³ 1, on a 0 £ un £ 2 - 1

Comme (u

£ lim un £ 2.

Remarque : la limite de la suite (u

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

5 Exercice 3

Calculer u1, u2 et u3.

Déterminer alors la limite de la suite (un).

1² + 1 = 1

2² + 1 + 2

2² + 2 = 2

3 = 2´3 + 1´5

15 = 11

3² + 1 + 3

3² + 2 + 3