de Mécanique Analytique et Vibrations Pr M EL En utilisant les équations de Lagrange, établir l'équation du mouvement 1 2 Corrigés des exercices 11
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Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016
CHAPITRE1
Formalisme lagrangien
1.1 Exercices
1.1.1Exercice
1. Rappeler ce qu"est un d´eplacement virtuel et qu"appelle-t-on par le travail virtuel
en g´en´eral? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d´eplace avec un mouvement uniforme?2. Consid´erons une massemplac´ee enAet reli´ee par deux tiges rigides aux points
OetB. Les barres de logueurOA=AB=lsont articul´ees enA. Le support de l"articulationOest fixe et le patin articul´e enBpeut glisser sans frottement le long de l"axe horizontal, figure 1.4. Les articulations sontsuppos´ees parfaites et les masses des tiges et du patin sont negligeables. (a) Quel est le nombre de degr´es de li- bert´e de ce syst`eme? (b) En appliquant le principe de d"Alembert, quelle force?Ffaut-il appliquer au patin pour que le sys- t`eme reste en ´equilibre? (c) D´eterminer la valeur de la r´eaction enB. Oy x A BORl lgmBR
FFigure1.1 - Syst`eme de treillis.
1.1.2Exercice
3Formalisme lagrangien
On consid`ere une sph`ere creuse (S) de
rayonadans un rep`ere galil´eenR(O,xyz).Une bille suppos´ee ponctuelle de massem
est astreinte `a se d´eplacer sans frottement `a l"int´erieur de la sph`ere, figure 1.51. Quelles sont les contraintes sur le
mouvement dem? En d´eduire le nombre de degr´e de libert´e de la bille.2. Calculer les composantes des forces
g´en´eralis´ees.3. En d´eduire les ´equations du mouve-
ment.4. Calculer l"´energie cin´etique de la
bille, en d´eduire les ´equations de La- grange et ensuite les ´equations du mouvement.5. Etudier le cas o`uθetφsontconstants.
Y Z X ?ρr θM ru θu ?u OFigure1.2 - Mouvent d"une bille `a l"int´e-
rieur d"une sph`ere.1.1.3Exercice
On consid`ere une perle de massemqui peut coulisser parfaitement sur un cerceau de rayonR. Le cerceau est vertical et tourne autour de l"axe vertical avec la fr´equence angulaire Ω =φfixe, figure 1.3.1. Relever les contraines sur le mou-
vement de la perle et montrer que la position de la perle est compl`ete- ment d´ecrite par la variableθ.2. Calculer l"´energie cin´etque et l"´ener-
gie potentielle. En d´eduire le lagran- gien de la perle.3. Calculer le moment conjugu´epde
θ. En d´eduire que l"expression du
hamiltonien peut se mettre sous la formeH(θ,p) =P2
2mR2+˜U(θ).
Interpr´eter les diff´erents termes de
H(θ,p).
4. D´eterminer les extremums de
˜U(θ).
En d´eduire les positions d"´equilibreet discuter les en fonction de Ω.Quelle sera la trajectoire de la perlesi les conditions initiales sontθ= 0
etθ= 0. Oz y x M RFigure1.3 - Mouvent d"une perle sur un
cerceau. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1.1.4Exercice
Dans un espace `a deux dimensions (x,z), on consid`ere un milieu mat´eriel d"indice de r´efraction n=n(z). La distance parcouruedsest li´ee `a l"indice de r´efraction pards= cdt/n, o`ucest la vitesse de la lumi`ere dans le vide. L"objectif est de chercher le chemin le minimum du chemin optique (Principe de Fermat).1. Ecrire l"expression du chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrez. En
utilisant le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere.En d´eduire les lois de Snell-Descartes.
2. Ecrire le chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrex. En utilisant
le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere. En d´eduire les lois de Snell-Descartes.3. Trouver la trajectoire lumineuse pour une variation lin´eaire de l"indice de r´efrac-
tionn(z) =n0+λz, sachant que les conditions initiales sontz(0) = 0 etz?(0) = 0.1.1.5Exercice
Soit un pendule de longueurlavec une masse plac´ee dans un champs de pesanteurg et astreint `a se d´eplacer dans un plan (x,y) muni de la base mobile (?ur,?uθ). La position du pointMest rep´er´ee par--→OM=l?ur.1. Calculer le nomde de degr´es de libert´e. En d´eduire que l"on peut d´ecrire le syst`eme
par la coordonn´eeθ.2. Calculer la vitesse et d´eduire l"expression de l"´energie cin´etique.
3. Calculer le travail effectu´e lors d"un d´eplacement virtuelδ?r=lδθ?uθ. En d´eduire
l"expression de la composante de la force g´en´eralis´ee selonθ.4. En utilisant la relation entre l"acc´el´eration g´en´eralis´ee et la force g´en´eralis´ee selon
θ, d´eduire l"´equation du mouvement enθ.5. Calculer l"expression du Lagrangien et d´eduire l"´equation du mouvement en uti-
lisant l"´equation de Lagrange.1.1.6Exercice
Soit une massemastreinte `a se d´eplacer sur une tige ind´eformable faisant un angle θavec la verticaleOZ, en rotation impos´ee avec un vecteur de rotation?Ω = Ω?uZ. La masse est attach´ee `a un ressort de constante de raideurket de longueur `a videl0et glisse sans frottement. Elle est par ailleurs soumise `a son poids.Ce syst`eme est `a un degr´e delibert´e, on choisit la distancer=|--→OM. Le r´ef´erentiel choisi est celui du laboratoire. Il
est galil´een.1. Calculer la vitesse et d´eduire l"´energie cin´etiqueT.
2. Calculer la force g´en´eralis´ee associ´ee `a la coordonn´eer.
3. En utilisant les ´equations de Lagrange, ´etablir l"´equation du mouvement.
Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Formalisme lagrangien
1.1.7Exercice
On consid`ere deux billes de masses respectivesmetM (m < M), attach´ees entre elles par un fil inextensible de masse n´egligeable passant par un petit trou dans un plan horizontal. La petite bille est anim´ee d"un mouvement de rotation sur le plan horizontal. La grande bille est sus- pendue au fil et chute sous l"effet de son poids. On notel la longueur totale du fil et r la longueur du segment ho- rizontal. On noteθl"angle que fait le segment horizontal avec un direction fixe quelconque du plan.Plateau
z x y O m θr k i j reθe M1. Calculer le lagrangienL=T-Vpour les coordonn´ees g´en´eralis´ees (r,θ).
2. D´eterminer la coordonn´ee cyclique et reconnaˆıtre sonmoment conjugu´e. Pourquoi
est-il conserv´e?3. En d´eduire l"´equation diff´erentielle du mouvement pourr.
4. On s"int´eresse aux premiers instants de la chute. On poser=l(1-?) avec??1.
d´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee par?. Montrer pour qu"une valeur de
la vitesse angulaire initialeθ0, la chaˆıne ne peut pas tomber. Dans le cas o`u la chaˆıne tombe, que devient la vitesse angulaire initialeθ.