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Ressource déposée par mesrevisions le 08/06/2016 sur le site revisermonconcours.frFichier extrait du document EML 2015 et correction, Mathématiques, option E

Informations générales

Type : Concours, Sujets

Classe(s) : CPGE ECE 2

Matières : Mathématiques

Mots clés : corrigé, concours 2015, bce, banque commune d'épreuves, option éco Les fichiers du document 1410

Correction EML E 2015

Sujet Math EML 2015 option éco

Le contributeur mesrevisions précise : Correction de l'épreuve mise à jour. Loi exponentielle, maximum de loi exponentielles et loi du premier dépassement ; Analyse (étude d'une fonction, suite, fonction à deux variables) ; Endomorphismes d'un espace de dimension 3 vérifiant fo(f^2+i)=0

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EMLyon 2015 - option eco

Exercice 1

Dans tout l'exercice, (

;A;P) designe un espace probabilise et toutes les variables aleatoires considerees seront supposees denies sur cet espace.

Partie I : Loi exponentielle

Dans toute cette partie,designe un reel strictement positif.

1. Donner une densite, la fonction de repartition, l'esperance et la variance d'une variable aleatoire suivant une loi expo-

nentielle de parametre:

2. Justier que les integrales suivantes convergent et donner leurs valeurs :

Z +1 0 exdx;Z +1 0 xexdx:

3. (a) SoitUune variable aleatoire suivant la loi uniforme sur [0;1[:Quelle est la loi de la variable aleatoireV=

1 ln(1U):

(b) Ecrire une fonction en Scilab qui, etant donne un reelstrictement positif, simule la loi exponentielle de parametre

On considere une suite (Xn)n2Nde variables aleatoires independantes suivant toutes la loi exponentielle de parametre 1.

Pour toutndeN;on denit la variable aleatoireTn= max(X1;:::;Xn) qui, a tout!de ;associe le plus grand des reels X

1(!);:::;Xn(!) et on notefnla fonction denie surRpar :

8x2R; fn(x) =(

nex(1ex)n1six0

0 six <0:

Partie II : Loi de la variable aleatoireTn

4. (a) Calculer, pour toutndeNet pour toutxdeR+;la probabiliteP(Tnx):

(b) En deduire que, pour toutndeN; Tnest une variable aleatoire a densite, admettant pour densite la fonctionfn:

5. (a) Montrer que, pour toutndeN;la variable aleatoireTnadmet une esperance.

(b) Determiner l'esperanceE(T1) deT1et l'esperanceE(T2) deT2:

6. (a) Verier :8n2N;8x2R+; fn+1(x)fn(x) =1n+ 1f0n+1(x):

(b) Montrer ensuite, a l'aide d'une integration par parties :

8n2N;Z

+1 0 x(fn+1(x)fn(x))dx=1n+ 1Z +1 0 f n+1(x)dx:

(c) En deduire, pour toutndeN;une relation entreE(Tn+1) etE(Tn);puis une expression deE(Tn) sous forme

d'une somme.

Partie III : La loi du premier depassement

Dans toute cette partie,adesigne un reel strictement positif.

On denit la variable aleatoireNegale au plus petit entierndeNtel queXn> asi un tel entier existe, et egale a 0

sinon.

7. Justier l'egalite : (N= 0) =+1\

k=1(Xka):

8. Montrer :8n2N; P(N=n) = (1ea)n1ea:

9. Determiner l'esperanceE(N) et la varianceV(N) deN:

On s'interesse maintenant a la variable aleatoireZ;denie pour tout!de par :

Z(!) =(

X

N(!) siN(!)6= 0

0 siN(!) = 0:

10. JustierP(Za) = 0:

1

11. Soitx2]a;+1[:

(a) Soitn2N:Justier l'egalite d'evenements : ((N=n)\(Zx)) =( (a < X1x) sin= 1 (Tn1a)\(a < Xnx) sin2:

En deduire la probabiliteP((N=n)\(Zx)):

(b) Montrer alors :P(Zx) = 1eax:

12. (a) Montrer que la variable aleatoireZasuit une loi exponentielle dont on precisera le parametre.

(b) En deduire l'existence et la valeur deE(Z);ainsi que l'existence et la valeur deV(Z):

Exercice 2

Dans cet exercice, on pourra utiliser l'encadrement suivant : 2 < e < 3.

Partie I : Etude d'une fonction

On considere l'application':R!R;x7!'(x) =x2ex1:

1. Dresser le tableau de variations de';en precisant la limite devarphien1;sa valeur en 0 et sa limite en +1:

2. Etablir que l'equationex=1x

2;d'inconnuex2]0;+1[;admet une solution et une seule, notee;et queappartient

a l'intervalle12 ;1 On considere l'applicationf:R!R;x7!f(x) =x3ex;et la suite reelle (un)n2Ndenie par :u0= 1 et8n2

N; un+1=f(un):

Partie II : Etude d'une suite

3. Montrer :8n2N; un1:

4. Etablir que la suite (un)n2Nest croissante.

5. Quelle est la limite deunlorsque l'entierntend vers l'inni?

Partie III : Etude d'une serie

6. Montrer que la serie

X n11f(n)converge. On noteS=+1X n=11f(n):

7. Montrer :8n2N;SPn

k=11f(k)

1(e1)en:

8. En deduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchee deSa 104pres.

Partie IV : Etude d'une fonction de deux variables On considere l'ouvertU=]0;+1[RdeR2et l'application de classeC2suivante : g:U!R;(x;y)7!g(x;y) =1x +exy2ey:

10. Representer graphiquement l'ensembleU:

11. Calculer, pour tout (x;y) deU;les derivees partielles premieres degen (x;y):

12. Montrer quegadmet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont (;0) et (;2);ouest le reel

deni a la question 2.

13. Est-ce quegadmet un extremum local en (;0)?

14. Est-ce quegadmet un extremum local en (;2)?

15. Est-ce quegadmet un extremum global surU?

2

Exercice 3

SoitEun espace vectoriel de dimension 3. On note 0Ele vecteur nul deE: On noteil'application identite deE;etl'application constante nulle deEdansE: i:E!E;x7!xet:E!E;x7!0E:

On considere un endomorphismefdeEtel que :

f6=; f2+i6=; f(f2+i) =; ouf2designeff:

1. (a) Montrer quefn'est pas bijectif.

(b) En deduire que 0 est valeur propre def;puis montrer qu'il existeuappartenant aEtel que : u6= 0Eetf(u) = 0E:

Soitv1appartenant aEtel que :v16= 0Eetf(v1) = 0E:

2. Montrer :Sp(f) =f0g:

3. Est-ce quefest diagonalisable?

4. Montrer quef2+in'est pas bijectif, puis en deduire qu'il existevappartenant aEtel que :

v6= 0Eetf2(v) =v: Soitv2appartenant aEtel que :v26= 0Eetf2(v2) =v2:On notev3=f(v2):

5. Montrer :f(v3) =v2:

6. (a) Montrer que la familleB= (v1;v2;v3) est une base deE:

(b) Determiner une matriceCdefdans la baseB:

On considere les matrices suivantes :A=0

@1 0 0 0 0 0

0 0 01

A etB=0 @0 0 0 0 1 0

0 0 11

A et le sous-espace vectorielFdeM3(R) engendre par (A;B;C);c'est-a-dire :

F=faA+bB+cC;(a;b;c)2R3g:

7. Determiner la dimension deF:

8. Montrer :fM2 M3(R);CM=MCg=F:

9. (a) Pour tout (a;b;c)2R3;calculer la matrice (aA+bB+cC)2:

(b) En deduire une matriceMdeM3(R) telle que :M2=0 @4 0 0 0 512

0 12 51

A

10. On noteg=f2i:

Montrer quegest bijectif et exprimerg1a l'aide defeti: 3quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23