[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento PDF exos_probas_agreg14

Université Paris 13, Institut Galilée Préparation à l'agrégation Année universitaire 2013-2014 Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

L3 MASS, Université Nice Sophia Antipolis version 2019 6 Fondements de la théorie des probabilités 41 Merci aussi `a Antoine Mal qui a corrigé l'exercice

[PDF] Probabilités Exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1 Combinatoire avec démonstration 2 Rangements 3 Calcul d'événements 1 4

[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Université Paris 13, Institut Galilée Préparation à l'agrégation Année universitaire 2013-2014 Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

[PDF] Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon- Sorbonne Comme dans tout exercice de probabilité qui ne fait pas intervenir de

[PDF] Exercices et problèmes de statistique et probabilités - Dunod

1 2 Axiomes du calcul des probabilités Corrigés des exercices nieurs, de commerce et de gestion ou d'Institut Universitaires de Technologie désireux

[PDF] Exercices de Probabilités

Donner une approximation de la probabilité P(S > 1050) Exercice 49 Le restaurant universitaire de Jussieu fournit chaque jour n re- pas, et propose chaque

[PDF] Corrigé des TD de probabilités - Normale Sup

– En intégrant la densité, on trouve que la fonction de répartition de la loi de Cauchy est F(x) = Arctan(x)/π + 1/2, d'où F−1(p) = tan(π(p − 1/2)) Exercice 6 II 6 1

[PDF] Probabilités et statistique pour lingénieur - CERMICS

10 jan 2018 · que pour leur contribution `a la compilation d'exercices corrigés du année `a l' ENSTA : “Introduction aux probabilités et `a la statistique”,

[PDF] PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES - Math2Cool

Cours et exercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyr free Page 1/16 PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités

[PDF] Année spéciale - Exercices - Institut de Mathématiques de Toulouse

Enoncés des exercices ———————– Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par x 0 1 2

Année universitaire 2013-2014

Exercices de probabilités

avec éléments de correctionMemento

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

F onctionde répartition (si d= 1) :FX(t) =P(Xt),t2R F onctiongénératrice (si Xà valeurs dansN) :GX(s) =E[sX] =P1 n=0P(X=n)sn,s2 j R;Rj T ransforméede Laplace : LX() =E[eh;Xi]2]0;+1],2Rd F onctioncaractéristique : X(t) =E[eiht;Xi]2C,t2Rd Lois discrètesNomParamètresSupportDéfinition :P(A) =P

a2Ap(a)Loi de Diracaa2Rfagp(a) = 1Loi de BernoulliB(p)p2[0;1]f0;1gp(0) = 1p,p(1) =pLoi binomialeB(n;p)n2N,p2[0;1]f0;:::;ngp(k) =n

kpk(1p)nkLoi géométriqueG(p)p2]0;1]N p(k) = (1p)k1pLoi de PoissonP()2]0;+1[Np(k) =ekk!Lois continues

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Af(x)dxLoi uniformeU([a;b])a < b[a;b]f(x) =1ba1[a;b](x)Loi exponentielleE()2]0;1[]0;+1[f(x) =ex1]0;+1[(x)Loi de Cauchya2]0;+1[Rf(x) =a(a2+x2)Loi normale/gaussienneN(m;2)m2R; 22]0;+1[Rf(x) =1p22exp

(xm)222Déterminer des lois : exemples

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

SoitX1;X2;:::une suite de variables aléatoires indépendantes et de loiB(p)oùp2[0;1].

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

fonctions génératrices.

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 2.Minimum et maximum d"une famille de variables aléatoires exponentielles

SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectivesE()etE(). À l"aide de fonctions de

répartition, déterminer les lois deU= min(X;Y)etV= max(X;Y). On précisera leur densité (le cas échéant).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

puis via les fonctions génératrices.

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

caractéristiques, déterminer la loi deX+Y.Pour obtenirX, on pourra utiliser la formule de Cauchy avec un

contour bien choisi, ou alors avoir l"idée de calculer la fonction caractéristique de la loi de Laplace

a2 eajxjdx et utiliser la formule d"inversion.

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

. En déduire la loi de 1Z siZsuit une loi de Cauchy de paramètre 1.

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

(X;Y) = (Rcos;Rsin),R >0et2[0;2[. Montrer queRetsont indépendantes et déterminer leurs lois.

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

a;par sa densité relativement à la mesure de Lebesgue : f a;(x) =a(a)xa1ex1R+(x):

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

(V1;V1+V2;:::;V1++Vn)et en déduire queV1++Vn n;.Pourn= 1, ok. Supposonsn2etS:=V1+:::+Vn1de loi n1;. Soitgune fonction mesurable bornée deRdansR. On a

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) et

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

R g(t)dPV1+:::+Vn(t): Commef(v1;:::;vn1) =v1+:::+vn1etg(vn) =v2nmesurables on en déduit queSetVnsont indépen- dantes car(V1;:::;Vn1)etVnle sont, Z R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) =Z 1 0 dxZ 1 x dtg(t)n1(n1)etxn2 Z 1 0 g(t)n1(n1)etxn1=(n1)t 0dt Z R g(t)n(n)exp(t)tn11R+(t)dt

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

a;.

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

a;1.

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=y)définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes, le couple(X;Y)a pour densitédPX(x)dPY(y)par rapport à la mesure de Lebesgue surR2. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=y, pourx >0ety >0; Ceci est équivalent àx=uv=(v+ 1)ety=u=(v+ 1)pouru >0etv >0.

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

=u(v+ 1)2. Il suit

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

2 Les variables sont indépendantes,dPX+Y(u) =2a(2a)u2a1eu1u>0duetdPX=Y(v) = (2a)(a)2v a1(v+ 1)2a1v>0dv.

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=(x+y))définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes,

le couple(X;Y)a pour loidPXdPY=fa;(x)fa;(y)dxdy. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=(x+y), pourx >0ety >0; Ceci est équivalent àx=uvety=u(1v)pouru >0etv2(0;1).

On a de plusjJ(u;v)j=v u

1vu =u. Il suit

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

R Les variables sont donc indépendantes et on a de plusdPX=(X+Y)(v) =(2a)(a)2(v(1v))a1105.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi a;et b;respectivement. Déterminer la loi deX+Y.Le seul point délicat est de calculer Rt

0xa1(tx)b1dx=ta+b1R1

0ya1(1y)b1dy=ta+b1Ca;b. La

constanteCa;best forcément égale à(a)(b)=(a+b)en tenant compte de la normalisation.

6.SoitZ1;Z2;:::;Zndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiN(0;1).

6.a)Montrer queZ21suit une loi

1=2;1=2.SiZ1est de loiN(0;1)etgune fonction mesurable bornée deRdansR, on a

E(g(X2)) =Z

R g(u)dPX2(u)E(g(X2)) =Z R g(x2)dPX(x) =1p2Z R g(x2)ex2=2dx:

Par parité dex7!g(x2)ex2=2on aE(g(X2)) =2p2R

0g(x2)ex2dx=2p2R

0g(y)ey=2dy2

py donc dP

X2(y) =1p2ey=2y1=21R+(y)dy.

6.b)Montrer queZ21++Z2nsuit une loi

n=2;1=2.La loi n=2;1=2est également appelée loi du khi-deux àn

degrés de liberté, notée2n.On le montre par récurrence. Pourn= 1c"est vrai. Supposons queSn1=Z21+:::+Z2n1

n12 ;12 et Z n N(0;1). On aSn=Sn1+Z2n. Commef(z1;:::;zn1) =z21+:::+z2n1etg(xn) =z2nmesurables on

en déduit queSn1etZ2nsont indépendantes car(Z1;:::;Zn1)etZnle sont. On utilise ensuite la question

5 donnant queSnsuit une

n12 +12 ;12 n2 ;12

Propriétés générales

Exercice 6.Conséquences du théorème de Fubini, fonctions indicatrices

Résoudre les questions suivantes en appliquant le théorème de Fubini(-Tonelli) de la façon suggérée.

1.SoitNune variable aléatoire à valeurs dansN. Montrer que

E[N] =X

n1P(Nn): 3 On note que, commeNest à valeurs entières,N=PN k=11 =P1 k=11fkNg. Le théorème de Fubini-Tonelli donne

E[N] =E"

1X k=11 fkNg# =1X k=1E[1fkNg] =1X k=1P(kn):

Le théorème de Fubini est ici appliqué à la fonction(n;!)7!1fkN(!)gpar rapport à la mesure produit

m N P, oùmNest la mesure de comptage surN:mN(A) = Card(A)siAN(et doncRfdmN=P n2Nf(n)

pourf:N!R). En l"occurrence, il est en fait plus simple de voir ceci comme une application du théorème

de convergence monotone pour les séries à termes positifs.

2.SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, et >0. Montrer que

E[X] =Z

1 0 t1P(X > t)dt

et donner une généralisation de cette formule.On note que, commeX0, par " intégration de la dérivée »,X=RX

0t1dt=R1

01ft théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuredt
P) donne donc

E[X] =Z
1 0
E[1ft 1 0
P(X > t)t1dt:
Le principe de la preuve s"applique par exemple à toute fonctiongmonotone de classeC1de]0;+1[dans
R, pour laquelle on peut écrireg(X) =g(0) +RX

0g0(t)dt, d"où de même

E[g(X)] =g(0) +Z
1 0
P(X > t)g0(t)dt:

3.Soit(An)n1une suite d"événements.

3.a)On noteNle nombre (aléatoire) d"événéments parmi ceux-ci qui se produisent. CalculerE[N]en fonction
des probabilitésP(An),n1.On note queN=P1 n=11An. Par suite, par le théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuremN
PoùmN
est la mesure de comptage surN),
E[N] =1X
n=1E[1An] =1X n=1P(An):
3.b)On suppose queP
nP(An)<1. Montrer que presque-sûrement seul un nombre fini d"événements de la
suite ont lieu.C"est le lemme de Borel-Cantelli (partie la plus facile mais néanmoins la plus utile).Par la question précédente, l"hypothèse équivaut àE[N]<1. Or ceci implique queN <1p.s., ce qui
signifie que, presque sûrement, un nombre fini d"événement de la suite ont lieu.
4.CalculerC=R
Rex2dxsans utiliser de coordonnées polaires. (ÉcrireC2comme une intégrale double puis, dans l"intégrale,e(x2+y2)=R1 x
2+y2etdt)Par le théorème de Fubini-Tonelli,
C 2=Z 1 0 ex2dxZ 1 0 ey2dy=Z ]0;1[2e(x2+y2)dxdy: En écrivant (par une intégration immédiate)e(x2+y2)=R1 x
2+y2etdt=R1

01ft>x2+y2getdtpourx;y >0,
on a, à nouveau par le théorème de Fubini-Tonelli, C 2=Z ]0;1[2Z 1quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] [PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Année universitaire 2013-2014

Exercices de probabilités

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)

On a de plusjJ(u;v)j=v u

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

0xa1(tx)b1dx=ta+b1R1

0ya1(1y)b1dy=ta+b1Ca;b. La

6.SoitZ1;Z2;:::;Zndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiN(0;1).

6.a)Montrer queZ21suit une loi

1=2;1=2.SiZ1est de loiN(0;1)etgune fonction mesurable bornée deRdansR, on a

E(g(X2)) =Z

Par parité dex7!g(x2)ex2=2on aE(g(X2)) =2p2R

0g(x2)ex2dx=2p2R

0g(y)ey=2dy2

X2(y) =1p2ey=2y1=21R+(y)dy.

6.b)Montrer queZ21++Z2nsuit une loi

5 donnant queSnsuit une

Propriétés générales

1.SoitNune variable aléatoire à valeurs dansN. Montrer que

E[N] =X

E[N] =E"

2.SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, et >0. Montrer que

E[X] =Z

0t1dt=R1

P) donne donc

E[X] =Z

P(X > t)t1dt:

R, pour laquelle on peut écrireg(X) =g(0) +RX

0g0(t)dt, d"où de même

E[g(X)] =g(0) +Z

P(X > t)g0(t)dt:

3.Soit(An)n1une suite d"événements.

3.a)On noteNle nombre (aléatoire) d"événéments parmi ceux-ci qui se produisent. CalculerE[N]en fonction

PoùmN

E[N] =1X

3.b)On suppose queP

4.CalculerC=R

2+y2etdt)Par le théorème de Fubini-Tonelli,