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MATHÉMATIQUES ENSM O11 2013-2014 - 1 - Calcul vectoriel Produit scalaire – Produit vectoriel Corrigé Exercice 1 : 1 2 2 2 1 1 0 2 u = + + = d et 2 v =

et vérifier que les points A et B et C sont non alignés 2)Calculer la surface du triangle ABC 3)Déterminer une équation cartésienne du plan ( ) ABC Solution

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MATHÉMATIQUES ENSM O11 2013-2014 - 1 - Calcul vectoriel Produit scalaire – Produit vectoriel Corrigé Exercice 1 : 1 2 2 2 1 1 0 2 u = + + = d et 2 v =

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En déduire l'angle (non orienté) entre u et v 5 Faire de même avec v et w Exercice 3 Dans l'espace, soit les points A(1, 2

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- 1 -

Calcul vectoriel.

Produit scalaire - Produit vectoriel.

Corrigé

Exercice 1 :

2 2 21 1 0 2u= + + = et 2v=.

2. 1 1

1 0 1 1 1 0 0 1 1

3. ()cos ,u v u v u v× = ´ ´ . Les résultats précédents nous donnent ( )cos ,1

2u v= donc ( ),3u vp= .

Exercice 2 :

( )1 2

3 1 1 1 2 3 5

1 3 2 1 3 1 1

2 1 3 3 1 1 8

2 1 1 2

5 1 8 v v v v ( )1 2 3 2 14 3 v v v ( )1 2 3 19 15 21
v v v-

Exercice 3 :

1. On choisit

1 21150
, pour avoir 11e=.

On pose

2e u va b= + . Les conditions 21e= et 1 20e e× = nous donnent 1

6a= et 1

6b= -.

On en déduit que

2 11261
e . Enfin : 3 1 2

112305

e e e

2. On a

1 15u u e e= ´ = .

21 1

6 6e u v= - donc, après calculs : 1 25 6v e e= -

On considère que les coordonnées de

u, v et w sont données dans une base (); , ,O i j k .

On a donc le système vectoriel suivant :

1 2 32 1
5 5 1 2 1 6 6 6 1 2 5

30 30 30

e i j e i j k e i j k

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- 2 - On obtient, après quelques opérations de pivot : 1 2 3 1 2 3 2 3

2 5 6 30

5 6 30

5 3 15

6 30

6 6i e e e

j e e e k e e

1 2 36 5 5 6 7 303 25 6 30w i k e e e= + = + - .

Exercice 4 :

1. x u y z est orthogonal à v Û 0 2 0u v x y z× = Û - + = Il s'agit de l'équation du plan orthogonal à v contenant l'origine du repère O. 2. 1

27 703 2 03 32 00x zu vx y zy z ux y zu vzl

l l l

Exercice 5 :

1 2 333 3
1 2 1

4 2 22

v vx y z v v x y z x y z v v× =- + =  avec x v y z . La résolution du système donne 2 19 7 19 16 19 v

Exercice 6 :

1. Pour qu'il existe au mons une solution à

():E x u vÙ = , il faut avoir 0u v× = , car v doit être à la fois orthogonal à u et à x . 2.

Propriété : Si u et v sont orthogonaux, ()

2u u v u vÙ Ù = - .

Preuve : Soient

x u y z et x v y z . On trouve aisément que 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2x y z x x xx yy zz

u u v x y z y y xx yy zz u u v x y z v xx yy zz u x y z z z xx yy zz Comme " " "0u v xx yy zz× = + + = , ()

2u u v u vÙ Ù = - .

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- 3 -

Ainsi,

2 0

2 2 21 1 1X u u v u u u v u v v

u u u

0X est bien une solution de ()E.

3. (a) Si

X est une solution de ()E, ()0 00X X u X u X u v v- Ù = Ù - Ù = - = (linéarité du produit

vectoriel). (b) l$ Îℝ tel que 0X X ul- = donc ( )021X u X u u v ul l= + = + Ù 4. S est un ensemble de vecteurs obtenus par combinaison linéaire de u et u vÙ , qui sont deux vecteurs orthogonaux. De plus, u et v sont orthogonaux. Ainsi, l'ensemble des points M obtenus lorsque OMx= décrit S, est le plan normal au vecteur v, contenant O. 5. ( )( )2 1 2 1 1 2 7

6x u u v

ul l l l l

Exercice 7 :

1. ( )1 3 1 1 1 1 32

11telquex v v x v v v

vl lÙ = Û $ Î = + Ù ℝ ( )2 4 2 2 2 2 42

21telquex v v x v v v

vl lÙ = Û $ Î = + Ù ℝ Donc ();1 2l l$ Îℝ tel que ( )( )1 1 1 3 2 2 2 42 2

1 21 1v v v v v v

v vl l+ Ù = + Ù ( )( )1 3 2 4 1 1 2 22 2

1 21 1v v v v v v

v vl lÛ Ù - Ù = - +

Ainsi, les 3 vecteurs

( )( )1 3 2 42 2

1 21 1v v v v

v vÙ - Ù , 1v et 2v sont liés, leur produit mixte est nul. Le produit mixte (nous l'appellerons plus tard le déterminant) est défini par (); ;u v w u v w = × Ù 

Donc :

( )( ); ;1 3 2 4 1 22 2

1 21 10v v v v v v

v v Ù - Ù =    soit ( )( ); ; ; ;1 3 1 2 2 4 1 222

121 1v v v v v v v v

v v

1 2A AÛ = avec

( )( ) ( ); ;1 1 3 1 2 1 3 1 22 2

1 11 1A v v v v v v v v

v v  et ( )( ) ( ); ;2 2 4 1 2 2 4 1 22 2

2 21 1A v v v v v v v v

v v  Propriétés : ()().u v w u v w× Ù = Ù et v u u vÙ = - Ù

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- 4 - ( )()( )()1 1 3 1 2 1 1 3 222

111 1A v v v v v v v v

v v

Propriété : ()()

2u u v u v u u vÙ Ù = × - (formule du double produit vectoriel)

Finalement

1 1 3 1 1 3 2 3 22

01A v v v v v v v v

2 2 4 2 1 2 4 2 122

22
2

2 2 4 1 2 4 2 2 4 1 4 122

0 22
1 1

1 1A v v v v v v v v

v v v v v v v v v v v v v v v v=

1 2 3 2 4 1 1 4 2 30A A v v v v v v v v= Û × = - × Û × + × = .

2. L'égalité

( )( )1 3 2 4 1 1 2 22 2

1 21 1v v v v v v

v vl lÛ Ù - Ù = - + avec 1 20v vÙ ¹ , donc 1v et 2v non colinéaires, impose l'unicité de

1l et de 2l, donc une solution unique x.

3. 1

1 3 1 1 1 1 3 1

2 1 11 3

1 2telque3

1 3 x v v x v v v v l l l l 2

2 4 2 2 2 2 4 2

2 2 2123

1 5telque6

1 6 x v v x v v v v l l l l On identifie les coordonnées de chaque égalité, on obtient 11

3l=, 21

6l= - et

0 1 0 xquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Calcul vectoriel.

Produit scalaire - Produit vectoriel.

Corrigé

Exercice 1 :

2 2 21 1 0 2u= + + = et 2v=.

1 0 1 1 1 0 0 1 1

2u v= donc ( ),3u vp= .

Exercice 2 :

3 1 1 1 2 3 5

1 3 2 1 3 1 1

2 1 3 3 1 1 8

2 1 1 2

Exercice 3 :

1. On choisit

On pose

2e u va b= + . Les conditions 21e= et 1 20e e× = nous donnent 1

6a= et 1

6b= -.

On en déduit que

112305

2. On a

1 15u u e e= ´ = .

6 6e u v= - donc, après calculs : 1 25 6v e e= -

On considère que les coordonnées de

On a donc le système vectoriel suivant :

30 30 30

2 5 6 30

5 6 30

5 6 30

5 3 15

6 6i e e e

1 2 36 5 5 6 7 303 25 6 30w i k e e e= + = + - .

Exercice 4 :

27 703 2 03 32 00x zu vx y zy z ux y zu vzl

Exercice 5 :

4 2 22

Exercice 6 :

1. Pour qu'il existe au mons une solution à

Propriété : Si u et v sont orthogonaux, ()

2u u v u vÙ Ù = - .

Preuve : Soient

2 2 22 2 2

2 2 2x y z x x xx yy zz

2u u v u vÙ Ù = - .

Ainsi,

2 2 21 1 1X u u v u u u v u v v

0X est bien une solution de ()E.

3. (a) Si

6x u u v

Exercice 7 :

11telquex v v x v v v

21telquex v v x v v v

1 21 1v v v v v v

1 21 1v v v v v v

Ainsi, les 3 vecteurs

1 21 1v v v v

Donc :

1 21 10v v v v v v

121 1v v v v v v v v

1 2A AÛ = avec

1 11 1A v v v v v v v v

2 21 1A v v v v v v v v

111 1A v v v v v v v v

Propriété : ()()

2u u v u v u u vÙ Ù = × - (formule du double produit vectoriel)

Finalement

1 1 3 1 1 3 2 3 22

01A v v v v v v v v

2 2 4 2 1 2 4 2 122

2 2 4 1 2 4 2 2 4 1 4 122

1 1A v v v v v v v v

1 2 3 2 4 1 1 4 2 30A A v v v v v v v v= Û × = - × Û × + × = .

2. L'égalité

1 21 1v v v v v v

1l et de 2l, donc une solution unique x.

1 3 1 1 1 1 3 1

1 2telque3

2 4 2 2 2 2 4 2

1 5telque6