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6) Exercice Proposition 1 4 Soient E, F deux K-espaces affines Alors le produit cartésien E × F est naturellement muni d'une structure de K-espace affine 

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de la géométrie euclidienne (un espace affine euclidien) à partir de ces notions, ce qui permet d'utiliser tous les Vous trouverez les corrigés de certains d'entre eux, ainsi que des exercices e) Expliquer comment on peut reconstruire le tri-

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et il n'est pas toujours facile de faire le tri Pour éviter de perdre trop Vers les corrigés Les exercices 1, 2 et 3 sont à effectuer sans la calculatrice Exercice 1 : Déterminer algébriquement l'antécédent d'un nombre par une fonction affine ;

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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Géométrie affine

Jean-Marc Decauwert

La géométrie affine est l"étude des propriétés géométriques qui sont conservées par

toute transformation affine, comme l"alignement, le parallélisme, les milieux, et plus généralement les rapports de mesures algébriques pour des points alignés. Le cadre naturel en est un espace affine, généralisation en dimension quelconque du plan et de

l"espace que vous avez déjà étudiés. Ses éléments sont des points et un espace vectoriel

lui est attaché, qui permet d"associer à tout couple de points un vecteur. La notion de barycentre, issue de la mécanique, y joue un rôle essentiel, analogue à celui que joue la notion de combinaison linéaire dans un espace vectoriel. Nous étudierons ensuite les applications affines : ce sont celles qui conservent les barycentres. Leur importance vient de ce que la quasi-totalité des transformations géométriques que vous avez pu

rencontrer, en particulier les isométries et plus généralement les similitudes, sont affines.

Mais l"étude des notions spécifiquement euclidiennes, comme celles de distances et d"angles, sera abordée dans un autre chapitre.

Table des matières

1 Cours 2

1.1 Espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Le groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Homothéties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Projections, symétries, affinités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Entraînement 35

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Compléments 58

3.1 Notations de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 novembre 2011

Maths en LigneGéométrie affineUJF Grenoble3.3 Perspective centrale et géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Desargues dans le plan et dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 La formule d"Euler pour les polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7 Le théorème fondamental de la géométrie affine . . . . . . . . . . . . . 67

1 Maths en LigneGéométrie affineUJF Grenoble1 Cours

1.1 Espace affine

Une fois qu"on a choisi un repère, le plan s"identifie àR2(resp. l"espace àR3), autrement dit à un espace vectoriel de dimension 2 (resp. 3) surRmuni d"une base particulière (la base canonique deR2ouR3). On pourrait donc se contenter de faire de la géométrie dansR2ou dansR3. Mais cette identification repose sur le choix d"un repère et il est souvent plus agréable et plus clair de raisonner de manière intrinsèque. De plus, se fixer un repère une fois pour toutes n"est souvent pas la meilleure solution : il est

préférable, même quand on calcule en coordonnées, d"avoir la liberté de choisir un repère

bien adapté au problème posé. De fait, le cadre naturel pour faire de la géométrie serait

un espace homogène, dont tous les points jouent le même rôle, ce qui n"est pas le cas dans un espace vectoriel, où le vecteur nul joue un rôle particulier et tient naturellement lieu d"origine. Moralement, un espace affine n"est rien d"autre que cela : un espace vectoriel dont on a oublié où se trouve l"origine. Cette définition est naturellement beaucoup trop vague pour être utilisable telle quelle. Nous allons commencer par lui donner un sens précis. Nous verrons alors que tout espace vectoriel est naturellement muni d"une structure d"espace affine et que, inversement, tout espace affine s"identifie à un espace vectoriel dès qu"on y choisit une origine (mais cette identification dépend du choix de l"origine). Mathématiquement, la définition est la suivante :

Définition 1.Soit-→Eun espace vectoriel sur un corpsK. Unespace affine de direction-→Eest un ensemble non videEmuni d"une application(M,N)?-→--→MNdeE×Edans-→Evérifiant :

1. pour tout triplet(M,N,P)de points deE:

--→MN+--→NP=--→MP(relation de Chasles);

2. pour tout pointOdeE, l"applicationM?-→--→OMdeEdans-→Eest bijective.

Les éléments deEs"appellent despoints, ceux de-→Edesvecteurs. On appelledimensionde l"espace affineEla dimension de l"espace vectoriel-→E. Dans le cadre de la géométrie élémentaire usuelle, le corps de base est toujours le corpsRdes nombres réels. On supposera donc toujours dans ce qui suit queK=R (cette hypothèse sera même indispensable dès qu"on abordera les notions de convexité), mais la plupart des résultats restent vrais siKest le corps des nombres complexes ou même un corps fini. Exemple fondamental.Tout espace vectoriel-→Eest muni d"une structure naturelle d"espace affine sur lui-même. Il suffit de prendre dans la définitionE=-→Eet de définir l"application deE×E dans-→Epar(?u,?v)?→?v-?u. 2 Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenoblePlus généralement, l"image -→F+?v={?u+?v|?u?-→F}d"un sous-espace vectoriel-→F d"un espace vectoriel-→Epar une translation de vecteur?v?-→Eest un espace affine de direction-→F. Il suffit ici aussi de considérer l"application(?u1+?v,?u2+?v)?→?u2-?u1. Réciproquement, le choix d"une origine permet de munir un espace affine d"une structure d"espace vectoriel : siOest l"origine, il suffit d"identifier un pointMdeE et le vecteur--→OM. Maisattention: cette structure dépend du choix de l"origine; on ne peut définir la somme de deux points d"un espace affine sans se référer explicitement à

une origine, c"est pourquoi on n"additionnera jamais des points.Figure1 - L"addition dépend de l"origine.

Exemples en algèbre et en analyse

La structure d"espace affine ne se rencontre pas qu"en géométrie : elle intervient de manière naturelle dans tous les problèmes linéaires. L"ensemble des solutions d"un sytème linéaire avec second membre en constitue l"exemple type : ce n"est pas un es- pace vectoriel, mais c"est un espace affine de direction l"espace vectoriel des solutions

du système homogène associé. De même l"ensemble des solutions d"une équation diffé-

rentielle linéaire avec second membre constitue un espace affine de direction l"espace vectoriel des solutions du système homogène associé, l"ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence du typeun+1=aun+bconstitue un espace affine de direction l"espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrenceun+1=aun, l"ensemble des fonctionsfd"une variable réelle vérifiantf(0) = 1est un espace affine de direction l"espace vectoriel des fonctions nulles en 0. Ce dernier exemple est un espace affine de dimension infinie. Nous ne nous intéres- serons ici qu"à des espaces affinesde dimension finie(principalement 2 ou 3).Dans toute la suite de ce chapitre,espace affinesignifiera donc toujoursespace affine de dimension finie. Définition 2.On appelledroite(resp.plan)affinetout espace affine de dimension 1 (resp. 2). 3

Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleOn emploiera parfois le termeespace(sans autre qualificatif) pour désigner un

espace affine de dimension 3, comme dans l"expressiongéométrie dans l"espace.

Conséquences immédiates de la définition

Proposition 1.Pour tous pointsM,N,OdeE, on a :

1.--→MN=?0si et seulement siM=N;

2.--→NM=---→MN;

3.--→MN=--→ON---→OM.

Démonstration: 1) En faisantN=Mdans la relation de Chasles, on voit que--→MM+--→MP=--→MPpour tout pointP, d"où--→MM=?0. Réciproquement, si--→MN=?0,

il résulte de la relation--→MN=--→MMet de l"injectivité de l"applicationN?→--→MNque

N=M.

2) En faisantP=Mdans la relation de Chasles, on obtient

--→MN+--→NM=--→MM=?0 d"où --→NM=---→MN.

3) Par la relation de Chasles et la propriété précédente

--→MN=--→MO+--→ON=--→ON---→OM .

Translations

SoitEun espace affine de direction-→E. Pour tout pointMdeE, l"application N?→--→MNest une bijection deEsur-→E. Pour tout vecteur?ude-→E, il existe donc un pointNdeEet un seul tel que--→MN=?u. Notation 1.Pour tout pointMdeEet tout vecteur?ude-→E, on noteM+?ul"unique pointNdeEvérifiant--→MN=?u. Avec cette notation, la relation de Chasles s"écrit sous la forme suivante : pour tout pointMet tout couple(?u,?v)de vecteurs, on a : (M+?u) +?v=M+ (?u+?v).

En effet, en posantN=M+?uetP=N+?v, on a--→MN=?u,--→NP=?vet--→MP=--→MN+--→NP=?u+?v.

Définition 3.SoitEun espace affine de direction-→E. Pour tout vecteur?ude-→E, on appelletranslationde vecteur?u, et on notet?u, l"application deEdansEqui à tout pointMassocie le pointM+?u. 4

Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleProposition 2.L"ensembleTdes translations d"un espace affineEest un sous-groupe

du groupe des permutations deEet l"application?u?→t?uest un isomorphisme du groupe additif de-→EsurT. Démonstration: La translation de vecteur nul est l"identité, qui appartient donc àT.

La relation de Chasles implique, comme on l"a vu

t ?v◦t?u=t?u+?vpour tout couple(?u,?v)de vecteurs.(?) La composée de deux translations est donc une translation, et toute translationt?u admet une application réciproque, qui est la translationt-?u. Il en résulte que toute translation est bijective et queTest un sous-groupe du groupe des permutations deE (applications bijectives deEsurE). La relation(?)montre que l"application?u?→t?uest un morphisme du groupe additif de-→EsurT. Ce morphisme est surjectif par définition deTet il est injectif car son noyau est réduit à ?0: la translationt?uest l"identité si et seulement si?u=?0. Remarque :la proposition précédente montre que le groupe additif(-→E,+)opère sur l"ensembleEau moyen des translations; cette opération est transitive et fidèle.

Bipoints, équipollence

En géométrie élémentaire classique, on commence par introduire les points et on définit ensuite les vecteurs à partir des points. On suit donc la démarche inverse de la nôtre. Dans ce cadre, les vecteurs sont introduits de la manière suivante. On appellebipoint un couple de deux points, i.e. un élément du produit cartésienE×E, oùEest le plan ou l"espace. On dit que deux bipoints(A,B)et(C,D)sontéquipollentssi le quadrilatère ABDCest un parallélogramme, i.e. si les bipoints(A,D)et(B,C)ont même milieu.

On verra plus loin que cette condition équivaut à la relation-→AB=--→CD, qui signifie que

c"est la même translation qui transformeAenBetCenD. On montre alors que la

relation d"équipollence est une relation d"équivalence surE×Eet on définit l"ensemble-→Edes vecteurs comme l"ensemble quotient deE×Epar cette relation d"équivalence.

Dans notre approche, il est immédiat que la relationRdéfinie sur l"ensembleE×E par(A,B)R(C,D)si et seulement si-→AB=--→CDest une relation d"équivalence et que l"ensemble quotient deE×Epar cette relation d"équivalence est en bijection avec-→E: à la classe d"équivalence d"un bipoint(A,B), on associe le vecteur-→AB.

1.2 Barycentres

La notion de barycentre est essentielle en géométrie affine. Elle joue un rôle identique à celui que tient la notion de combinaison linéaire en algèbre linéaire. 5

Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleDéfinition 4.Unsystème de points pondérésd"un espace affineEest une famille

finie(Ai,λi)i=1,...,nde couples(Ai,λi), où, pour touti,Aiest un élément deEetλiun réel. Lepoids totaldu système est le réeln? i=1λi. À tout système de points pondérés deE, on associe une fonction?fdeEdans-→E, appeléefonction vectorielle de Leibnizdu système, par : f(M) =n i=1λ i--→MAi. Proposition 3.Soit(Ai,λi)i=1,...,nun sytème de points pondérés d"un espace affineE.

1. Si le poids total du système est nul, la fonction vectorielle de Leibniz associée est

constante.

2. Si le poids total du système n"est pas nul, la fonction vectorielle de Leibniz associée

est une bijection deEsur-→E. En particulier, il existe un point deEet un seul où cette fonction s"annule. Démonstration: SoitOun point fixé deE. On a pour tout pointMdeE: f(M) =n? i=1λ i--→MAi=n? i=1λ i(--→MO+--→OAi) =? n? i=1λ i?--→MO+?f(O).

Il en résulte que si

n? i=1λi= 0, alors?f(M) =?f(O)pour tout pointMdeE. Sinon, pour tout vecteur?ude-→E, il existe un unique pointMdeEvérifiant?f(M) =?u, ce point

étant défini par--→OM=1n

i=1λi? ?f(O)-?u?. Définition 5.Soit(Ai,λi)i=1,...,nun système de points pondérés d"un espace affineE de poids total non nul : n? i=1λi?= 0. On appellebarycentrede ce système l"unique point

GdeEvérifiantn?

i=1λi--→GAi=?0. Le barycentre d"un système de points pondérés n"est donc défini que si le poids total du système n"est pas nul.

Propriétés du barycentre

Proposition 4.1. Le barycentre ne dépend pas de l"ordre des points.

2.Homogénéité :le barycentre d"un système de points pondérés ne change pas lorsque

l"on multiplie tous les poids par un même réel non nul. 6

Maths en LigneGéométrie affineUJF Grenoble3.Associativité :le barycentre d"un système de points pondérés ne change pas lorsque

l"on remplace certains de ces points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients correspondants (à condition naturellement que cette somme ne soit pas nulle).

4. SiGest le barycentre du système de points pondérés(Ai,λi)i=1,...,n, on a, pour

tout pointOdeE: OG=n i=1λi--→OAin i=1λi. Démonstration: Les deux premières propriétés sont évidentes. Pour démontrer la rer (en réordonnant éventuellement les points) le cas où les points que l"on regroupe sontA1,...,Apavec?p i=1λi?= 0. En notantHle barycentre du système pondéré i=1λi--→HAi=?0et p? i=1λ i?--→GH+n i=p+1λ i--→GAi=p i=1λ i(--→GAi+--→AiH) +n i=p+1λ i--→GAi n? i=1λ i--→GAi+p? i=1λ i--→AiH ?0-p i=1λ i--→HAi ?0 ce qui montre queGest le barycentre du système pondéré[(H,?p i=1λi),(Ap+1,λp+1),..., (An,λn)]. La dernière propriété provient de la relation n i=1λ i--→GAi=n i=1λ i(-→GO+--→OAi) =? n? i=1λ i?-→GO+n i=1λ i--→OAi=?0. Définition 6.On appelleisobarycentred"une famille finieA1, ...,Ande points deE le barycentre des points de cette famille affectés de poids tous égaux. En particulier, on appellemilieud"un couple de points l"isobarycentre de ces deux points. La notion de milieu est donc purement affine et ne fait pas appel à la notion de distance, ce qui n"empêche naturellement pas le milieuId"un couple(A,B)de points d"être caractérisé, en géométrie euclidienne, par la double égalitéIA=IB=AB/2. 7 Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleNotations de Grassmann Si(Ai,λi)i=1,...,nest un système de points pondérés d"un espace affineEde poids total n? i=1λi= 1, le barycentreGde ce système vérifie-→OG=n? i=1λi--→OAipour tout point

OdeE. On le noteraG=n?

i=1λiAi.

On définit ainsi sans se référer à une origine un calcul sur les points qui satisfait aux

règles habituelles du calcul vectoriel. Par exemple, siGest l"isobarycentre des sommets d"un triangleABC, on peut écrire G=13 A+13 B+13 C=13 A+23 12 B+12 C? =13 A+23 A? oùA?=12 B+12 Cest le milieu deBC(cette égalité ne fait que refléter l"associativité du barycentre). Maisattention: cette notation (parfois appeléenotation de Grassmann) n"a de sens que pour un système de points pondérés de poids total 1. L"écritureA+Bou-A (oùAest un point) n"a pas de sens. On a par ailleurs vu, en étudiant la fonction vectorielle de Leibniz, que si(Ai,αi)i=1,...,n est un système de points pondérés de poids total nul :n? i=1αi= 0, le vecteur?udéfini par ?u=n? i=1αi--→OAine dépend pas du choix deO. On peut donc noter également?u=n? i=1αiAi. Par exemple, sin= 2,α1= 1etα2=-1,A1-A2est le vecteur---→A2A1. Mais une expression telle que2A-3B, ouA+B, ou12

A, ne représente ni un point ni un vecteur.

1.3 Sous-espaces affines

Définition 7.Une partieFd"un espace affineEest unsous-espace affinedeEs"il existe un pointAdeFtel que-→F={--→AM|M?F}soit un sous-espace vectoriel de-→E.

On a alorsF={A+?u|?u?-→F}.

Notation 2.Pour tout pointAdeEet tout sous-espace vectoriel-→Fde-→E, l"ensemble

Aff(A,-→F) ={A+?u|?u?-→F}

est un sous-espace affine deE. On l"appellera sous-espace affine deEpassant parA de direction-→F. Si?uest un vecteur non nul de-→E, on noteraD(A,?u)la droite affine passant parAet de direction la droite vectorielleR?u. De même, si?uet?vsont deux vecteurs linéairement indépendants, on noteraP(A,?u,?v)le plan affine passant parA et de direction le plan vectorielR?u?R?vengendré par les deux vecteurs?uet?v. 8

Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleProposition 5.SoitF= Aff(A,-→F)un sous-espace affine deE. On a alors, pour tout

pointBdeF,{--→BM|M?F}=-→F.

Démonstration: PuisqueBappartient àF, le vecteur-→ABappartient à-→F. Or--→BM=--→AM--→ABet l"application?u?→?u--→ABest une bijection de-→Fsur-→F, puisque-→Fest

un sous-espace vectoriel de-→E. Il en résulte que --→BM|M?F}={--→AM--→AB|M?F}={?u--→AB|?u?-→F}=-→F . Le sous-espace vectoriel-→Fde-→Ene dépend donc pas du choix deAdansF. On

l"appelledirectiondu sous-espace affineF. La restriction de l"application(M,N)?-→--→MNàF×FmunitFd"une structure naturelle d"espace affine de direction-→F. Sa

dimensiondim(F)est celle de-→F. Un sous-espace affine de dimension 0 est constitué d"un point, un sous-espace affine de dimension 1 est une droite, un sous-espace affine de dimension 2 un plan. Définition 8.On appellehyperpland"un espace affineEde dimension finie tout sous- espace affine deEde dimensiondim(E)-1.

Caractérisation en termes de barycentres

Proposition 6.Une partie non videFd"un espace affineEest un sous-espace affine deEsi et seulement si tout barycentre de points deFappartient àF. Démonstration: SiFest un sous-espace affine deE,Aun point deFet(Ai,λi)i=1,...,n un système de points pondérés deFde poids total non nul, le barycentreGde ce système vérifie -→AG=n i=1λi--→AAin i=1λi. Il en résulte que-→AGappartient à-→F, puisque-→Fest un sous-espace vectoriel de -→E, et donc queGappartient àF. Réciproquement, soitFune partie non vide deEtelle que tout barycentre de points deFaffectés de coefficients quelconques (de somme non nulle) appartient àF, etAun point deF. Pour tout couple(M,N)de points deFet tout couple(λ,μ)de

réels, le pointPdeEdéfini par-→AP=λ--→AM+μ--→ANest le barycentre du système de

points pondérés[(A,1-λ-μ),(M,λ),(N,μ)]et appartient donc àF. Il en résulte

que-→F={--→AM|M?F}est un sous-espace vectoriel de-→E(?0 =-→AAappartient à-→F,

qui n"est donc pas vide), et donc queFest un sous-espace affine deE. 9 Maths en LigneGéométrie affineUJF GrenobleParallélisme Définition 9.Deux sous-espaces affinesFetGd"un même espace affineEsont dits parallèless"ils ont même direction :-→F=-→G. Le parallélisme est une relation d"équivalence sur l"ensemble des sous-espaces af- fines deE. Deux sous-espaces affines parallèles, au sens de cette définition, ont même dimension. Si deux sous-espaces affinesFetGd"un même espace affineEvérifient-→F?-→G, on dit queFestparallèle àG(ou parfoisfaiblement parallèle àG); cette relation n"est naturellement pas symétrique.

Intersection, sous-espace engendré

Proposition 7.L"intersection de toute famille (finie ou infinie) de sous-espaces af- fines d"un même espace affine est soit vide, soit un sous-espace affine de direction l"intersection des directions de ces sous-espaces affines. Démonstration: Soit(Fi)i?Iune famille de sous-espaces affines deE. Si l"intersection? i?IFide cette famille est vide, il n"y a rien à démontrer. Sinon, soitAun point de cette intersection. Pour touti?I, un pointMdeEappartient àFisi et seulement si le

vecteur--→AMappartient à la direction-→FideFi, puisqueAappartient àFi. Il en résulte

queMappartient à? i?IFisi et seulement si--→AMappartient au sous-espace vectoriel i?I-→Fide-→E, ce qui montre que?quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43