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Exercices : Barbara Tumpach

Relecture : François LescureExo7

Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue

Exercice 1

Montrer les égalités ensemblistes suivantes : [a;b] =¥\ n=1]a1n ;b+1n [et]a;b[=¥[ n=1[a+1n ;b1n Soit(W;S;m)un espace mesuré etf:W!Rune fonction (S-B(R))-mesurable. Montrer que la troncaturefA defdéfinie par : f

A(x) =8

:Asif(x)Asif(x)>A est (S-B(R))-mesurable. SoitW=N,S=P(N)etmla mesure de comptage surNdéfinie par : m(E) =]E=å k2E1; oùE2S. Soitf:N!Rune fonction positive ou nulle. Montrer quefest (S-B(R))-mesurable et que : Z W fdm=¥å n=1f(n): Soit(W;S)un espace mesurable. On dit quej:W!Rest unefonction simpleouétagéesijest mesurable et ne prend qu"un nombre fini de valeurs, i.e. sijs"écrit : j=å j2Jc j1Ej;

oùJest un ensemble fini, les ensemblesEjsont mesurables et où, pouri6=j,ci6=cjetEi\Ej=/0. Soitjune

fonction simple positive. On rappelle que l"intégrale dejpar rapport à une mesuremest définie par :

Z W jdm=Z

0mSj(t)dt;

oùSj(t) =fx2W;j(x)>tg. 1.

Montrer que

Z W jdm=å j2Jc jm(Ej): 1

2.Montrer que pour toute foncti onréelle mesurable positi ve,f2M+(W;S), il existe une suitefjngn2Nde

fonctions simples positives telle que : (a)

0 6jn(x)6jn+1(x)pour toutx2Wet pour toutn2N;

(b) lim n!+¥jn(x) =f(x)pour toutx2W.

Soit(W;S;m)un espace mesuré etf2M+(W;S)(i.efest une fonction réelle mesurable positive). Pour tout

E2S, on pose :

l(E) =Z E f dm=Z W

1Af dm:

Monter queldéfinit une mesure sur(W;S).

Soitp>0. Soitf:Rn!R+la fonction définie par

f(x) =jxjp1fjxj<1g(x):

Calculer l"intégrale defpar rapport à la mesure de Lebesgue deRnde deux manières différentes :

(i) En utilisant les coordonnées polaires et les méthodes standard de calcul d"intégrales ; (ii) En calculant la mesure des ensembles Sf(a) =fx2W;f(x)>aget la définition de l"intégrale de

]]a;b[, d"où l"égalité de ces deux ensembles.Correction del"exer cice2 NSoit(W;S;m)un espace mesuré etf:W!Rune fonction (S-B(R))-mesurable. Montrons que la troncature

Adefdéfinie par :

A(x) =8

:Asif(x)Asif(x)>A est mesurable. NotonsE

1:=fx2Wjf(x) E
2:=fx2Wj jf(x)j6Ag=f1([A;A]);
E
3:=fx2Wjf(x)>Ag=f1(]A;+¥[):

Comme]¥;A[,[A;A],]A;+¥[appartiennent à la tribu borélienne etfest (S-B(R))-mesurable, les
ensemblesE1,E2, etE3appartiennent àS. AlorsfA=f1E2A1E1+A1E3est mesurable comme somme
de produits de fonctions mesurables.Correction del"exer cice3 NSoitW=N,S=P(N)etmla mesure de comptage surNdéfinie par :
m(E) =]E=å k2E1; oùE2S. Soitf:N!Rune fonction positive ou nulle. Pour tout borélienE,f1(E)appartient àP(N), doncfest (S-B(R))-mesurable. Par définition de l"intégrale, Z W fdm=Z
0m(Sf(t))dt;
oùSf(t) =fn2S;f(n)>tg. Pour touty2[0;+¥[, posonsAy:=fn2N;f(n) =yg. Alors S f(t) =[y>tAy
où l"union est disjointe et oùAyest vide sauf pour un ensemble dénombrablefyigi2Nde valeurs dey. Par
s-additivité de la mesurem, m(Sf(t)) =m([yi>tAyi) =å y i>tm(Ayi) =å y i>tm(ff=yig): 3
Ainsi :
Z W fdm=Z 0å y i>tm(ff=yig)dt=¥å i=0Z
06t i=0y im(ff=yig) =¥å i=0y i]fn2N;f(n) =yig=¥å n=0f(n):Correction del"exer cice4 NSoitjune fonction simple positive : j=å j2Jc j1Ej; oùJest un ensemble fini, les ensemblesEjsont mesurables et où, pouri6=j,ci6=cjetEi\Ej=/0. 1. On a Z W jdm=Z
0mSj(t)dt;
oùSj(t) =fx2W;j(x)>tg=[cj>tEjet oùmSj(t)=åcj>tm(Ej). Ainsi Z W jdm=Z 0å c j>tm(Ej)dt=å j2JZ cj
0m(Ej)dt=å
j2Jc jm(Ej): 2.
Pour tout n2N, posons
E E n;n:=fx2W;f(x)>ngpourk=n2n: Puisquefest mesurable, les ensemblesEk;nappartiennent àS. Pour toutn2Nfixé, les ensemblesEk;n,
06k6n2n1 sont deux à deux disjoints et[kEk;n=W. Posons
j n=n2n1å k=0k2n1Ek;n: Alorsjnest une fonction simple positive vérifiantjn6f. En outre 06jn(x)6jn+1(x)pour toutx2W
et pour toutn2N. De plus, limn!+¥jn(x) =f(x)pour toutx2W.Correction del"exer cice5 NSoit(W;S;m)un espace mesuré etf2M+(W;S). Pour toutE2S, on pose :
l(E) =Z E f dm=Z W
1Af dm:

Montrons queldéfinit une mesure sur(W;S).
1
èreméthode :On montre d"abord que l"affirmation est vraie pour les fonctions simples. D"après l"exercice4 ,

toute fonctionf2M+(W;S)s"écritf=supn2Njn, où lesjnsont des fonctions simples. Puisque le supremum
d"une famille quelconque de mesure est une mesure, on conclut quelest une mesure. 4 2
deméthode :On a clairementl(/0) =0. Il suffit donc de vérifier las-additivité del. SoitfEigi2NSune
suite d"éléments deux à deux disjoints. On a l i=1E i! =Z S
¥i=1Eif dm=Z
W
1S¥i=1Eif dm
Z W i=11 Ei! f dm=Z
W¥å
i=1(1Eif)dm i=1Z W (1Eif)dm=¥å i=1Z E if dm i=1l(Ei):Correction del"exer cice6 NSoitf:Rn!R+la fonction définie par f(x) =jxjp1fjxj<1g(x): (i)
On a :
Z R nf(x)dx=Z R njxjp1fjxj<1g(x)dx=Z jxj<1jxjpdx=Z 1 r=0Z s2Sn1rnp1drds 2pn2 G n2 Z 1
0rnp1dr:

Pourn6p, il vientZ
R nf(x)dx= +¥:
Pourp Z R nf(x)dx=2pn2 G n2 rnp(np) 1 0 =2pn2 (np)Gn2 (ii)
Pour a2[0;+¥[,
S f(a) =fx2Rn;jxjp1jxj<1>ag=fx2Rn;jxjp>ag\B(0;1); oùB(0;1)est la boule de centre 0 et de rayon 1. Ainsi S f(a) =fx2Rn;a1p >jxjg\B(0;1):
On en déduit queSf(a) =B(0;1)sia1p
>1, i.e. sia<1 et queSf(a)est égale à la bouleB(0;a1p de centre 0 et de rayona1p lorsquea>1. Il vient alors : Z R nf(x)dx=Z
0m(Sf(a))da=Z
1
0m(B(0;1))da+Z
1m
B(0;a1p
da pn2 G n2 +1+pn2 G n2 +1Z 1anp da:
Sip>n, on obtientR
R nf(x)dx= +¥et pourp

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Exercices : Barbara Tumpach

Relecture : François LescureExo7

Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue

Exercice 1

A(x) =8

0mSj(t)dt;

Montrer que

2.Montrer que pour toute foncti onréelle mesurable positi ve,f2M+(W;S), il existe une suitefjngn2Nde

0 6jn(x)6jn+1(x)pour toutx2Wet pour toutn2N;

E2S, on pose :

1Af dm:

Monter queldéfinit une mesure sur(W;S).

Soitp>0. Soitf:Rn!R+la fonction définie par

Lebesgue.

Pour tout n2N, on a[a;b]]a1n

Soit x2T¥n=1]a1n

Pour tout n2N, on a[a+1n

Soit x2S¥n=1[a+1n

Adefdéfinie par :

A(x) =8

2:=fx2Wj jf(x)j6Ag=f1([A;A]);

3:=fx2Wjf(x)>Ag=f1(]A;+¥[):

0m(Sf(t))dt;

Ainsi :

0mSj(t)dt;

0m(Ej)dt=å

Pour tout n2N, posons

06k6n2n1 sont deux à deux disjoints et[kEk;n=W. Posons

1Af dm:

Montrons queldéfinit une mesure sur(W;S).

¥i=1Eif dm=Z

1S¥i=1Eif dm

W¥å

On a :

0rnp1dr:

Pourn6p, il vientZ

Pour a2[0;+¥[,

On en déduit queSf(a) =B(0;1)sia1p

0m(Sf(a))da=Z

0m(B(0;1))da+Z

B(0;a1p

Sip>n, on obtientR