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Cours de Systèmes Logiques 1

Portes logiques

Etienne Messerli & Yann Thoma

Reconfigurable and Embedded Digital Systems Institute

Haute Ecole d"Ingénierie et de Gestion du Canton de VaudThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License

Septembre 2019

E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 1 / 58Plan

1Modèles logiques

2Fonctions d"une variable

3Fonctions de plusieurs variables

4Opérateurs complets

5Porte xor

E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 2 / 58 Plan

Polycopié: Electronique numérique

Portes logiques et algèbre de Boole

chapitre 4, pages 35 à 54

Circuits logiques combinatoires

Simplification, tables de Karnaugh

chapitres 5-1 à 5-6, pages 55 à 64

Symboles utilisés

chapitre 4-9, pages 46 et 47

E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 3 / 58Modèles logiques

Expérience

Soientx1,x2etx3des signaux électroniquesa== 1= =abab 1= =E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 4 / 58

Modèles logiques

Hypothèse 1: Quantification

3(t) =0si x3(t)v0

3(t) =1si x3(t)v1

3(t) =2si v0
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 5 / 58Modèles logiques

Hypothèse 2: Délais

Hypothèses: Durée de l"état "2" faible

Plus que 2 états ("0" et "1")
Apparition d"undélai, ouretard, de durée différente...ab ==a E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 6 / 58
Modèles logiques

Hypothèse 3: Délais constants
Hypothèse : les délais sont tous de durées identiques. Cette durée est constante et indépendante du temps (ne fluctue pas).ab==a a
=E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 7 / 58Modèles logiques

Modèle logique asynchrone

En combinant les hypothèses
de quantification, d"élimination des transitoires, et d"égalisation des délais, nous obtenons le
modèle logique asynchrone.E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 8 / 58

Modèles logiques

Modèle logique combinatoire
En rajoutant que les délais sont nuls, nous obtenons le modèle logique combinatoire. abab== 1=ab
=E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 9 / 58Modèles logiques
Etats
Etats d"entrée
Chacune des22=4combinaisons possibles des valeurs des deux entréesx1etx2est
appelé état d"entrée.Chacun de ces états sera symbolisé par(x1;x2).De façon générale, chacune des2ncombinaisons des valeurs denentréesx1;x2;;xn
est un état d"entrée(x1;x2;;xn).Etats de sortie Par analogie, chacune des2rcombinaisons des valeurs dersorties est un état de sortie (Z1;Z2;Z3;;Zr)E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 10 / 58
Modèles logiques

Elément combinatoire
Elément combinatoire : système idéal dont l"état de sortieZest entièrement déterminé par son état d"entrée(x1;x2), en tout temps.a a
bE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 11 / 58Modèles logiques

Fonction logique
La fonction logique d"un élément combinatoire est l"opération réalisée par celui-ci.
Elle peut être définie par des équations ou des tables de vérité.Ici, la table de vérité utilisée pour les précédents chronogrammes:
x 1x2Z 0 01 0 11 1 01 1 10 E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 12 / 58
Modèles logiques

Elément de délai

Par définition, il existe un élément idéal caractérisé par un délai ou retard constant :
.ab
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 13 / 58Modèles logiques

Systèmes logiques asynchrones
L"usage d"éléments de délai est traité dans le cadre des systèmes logiques asynchrones.aba a 1 1 E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 14 / 58
Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes de commutativité
ab=ba
a+b=b+aE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 37 / 58Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes d"idempotence
aa=a a+a=aE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 38 / 58
Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes d"idempotence (2)

Forme généralisée
aaa a=a
a+a+a++a=aE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 39 / 58Fonctions de plusieurs variables

Théorème des constantes
a0=0 a1=a a+0=a
a+1=1Démonstration tabulaire : on imposeb=0oub=1dans la table deZ1etZ7E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 40 / 58

Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes de complémentation
aa=0
a+a=1E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 41 / 58Fonctions de plusieurs variables

Précédence des opérateurs

Le ET a la précédence sur le OU

ab+bd= (ab) + (bd)6=a(b+b)dE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 42 / 58

Fonctions de plusieurs variables

Théorème de distributivité
On affirme que la fonction ET est distributive par rapport à la fonction OU. a(b+c) =ab+acDe même, la fonction OU est distributive par rapport à la fonction ET. a+bc= (a+b)(a+c)Démonstration tabulaire
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 43 / 58Fonctions de plusieurs variables

Exercice

Démontrer la relation suivante:
a+ab=a+bE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 44 / 58
Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes d"associativité
a(bc) = (ab)c=abc a+ (b+c) = (a+b) +c=a+b+cDémonstration tabulaire
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 45 / 58Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes du consensus
ax+bx+ab=ax+bx (a+x)(b+x)(a+b) = (a+x)(b+x)Démonstration en séance d"exercices E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 46 / 58
Opérateurs complets

Fonction NON ET
Z
14=a"b=ab=a+b
La fonctionZ14est appeléefonction NON ET, NAND en anglais, carZ14vaut0siaET
bvalentsimultanément1.E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 47 / 58Opérateurs complets

Fonction NON ET (2)
Z
14=a"b=ab=a+ba
b ab a b ab a b ab= a b ab1a banandb0 01 0 11 1 01 1 10 E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 48 / 58
Opérateurs complets

Opérateur complet
On appelle OPERATEUR COMPLET tout opérateur (porte) dont trois assemblages
distincts permettent de réaliser les trois fonctions NON, ET et OU.Ainsi, suivant cette definition, la porte NAND est un OPERATEUR COMPLET.

E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 49 / 58Opérateurs complets

Fonction NON OU
Z
8=a#b=a+b=ab
La fonctionZ8est appeléefonction NON OU, NOR en anglais, carZ8vaut0siaETb
valentsimultanément0.E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 50 / 58

Opérateurs complets

Fonction NON OU (2)
Z
8=a#b=a+b=aba
b ab a b ab a b ab=1 a b aba banorb0 01 0 10 1 00 1 10
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 51 / 58Opérateurs complets

Théorèmes de De Morgan

Théorèmes de De Morgan
ab=a+b a+b=ab
Démonstration tabulaire
E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 52 / 58
Opérateurs complets

Théorèmes de De Morgan (Corollaires)

Théorèmes de De Morgan (Corollaires)
ab=a+b a+b=ab
Démonstration algébrique

E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 53 / 58Opérateurs complets

Définition
Un produit de plusieurs variables apparaissant chacune sous la forme vraie ou inversée est unmonôme.Une somme de produits (ou monômes) est un polynôme.
Exemples de monômes:ab,abcExemple de polynôme:ab+abcE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 54 / 58

Opérateurs complets

Exemple
Grâce à De Morgan, écrivez la fonction suivante sous la forme d"un polynôme:
Z=a+b+cdE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 55 / 58Opérateurs complets

Transformation de logigrammesa
b ab a b ab a b ab a b abE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 56 / 58
Porte xor

Fonction OU-exclusif
Z
6=ab=ab+ab
La fonctionZ6est appeléefonction OU-exclusif, XOR en anglais, carZ14vaut0si soit asoitbvaut1.a b ab=1 a baba baxorbaxorb0 001 0 110 1 010 1 101 E. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 57 / 58Porte xor
Fonction OU-exclusif: théorèmes
ab=ba aa=0 a0=a a1=a
aa=1ab=ab+ab=ab=abE. Messerli, Y. Thoma (HES-SO / HEIG-VD / REDS)Portes logiquesSeptembre 2019 58 / 58
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Cours de Systèmes Logiques 1

Portes logiques

Etienne Messerli & Yann Thoma

Septembre 2019

1Modèles logiques

2Fonctions d"une variable

3Fonctions de plusieurs variables

4Opérateurs complets

5Porte xor

Polycopié: Electronique numérique

Portes logiques et algèbre de Boole

Circuits logiques combinatoires

Simplification, tables de Karnaugh

Symboles utilisés

Expérience

Modèles logiques

Hypothèse 1: Quantification

3(t) =0si x3(t)v0

3(t) =1si x3(t)v1

Hypothèse 2: Délais

Hypothèses: Durée de l"état "2" faible

Plus que 2 états ("0" et "1")

Modèles logiques

Hypothèse 3: Délais constants

Modèle logique asynchrone

En combinant les hypothèses

Modèles logiques

Modèle logique combinatoire

Etats d"entrée

Modèles logiques

Elément combinatoire

Fonction logique

Modèles logiques

Elément de délai

Systèmes logiques asynchrones

Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes de commutativité

Théorèmes d"idempotence

Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes d"idempotence (2)

Forme généralisée

Théorème des constantes

Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes de complémentation

Précédence des opérateurs

Le ET a la précédence sur le OU

Fonctions de plusieurs variables

Théorème de distributivité

Exercice

Démontrer la relation suivante:

Fonctions de plusieurs variables

Théorèmes d"associativité

Théorèmes du consensus

Opérateurs complets

Fonction NON ET

14=a"b=ab=a+b

Fonction NON ET (2)

14=a"b=ab=a+ba

Opérateurs complets

Opérateur complet

Fonction NON OU

8=a#b=a+b=ab

Opérateurs complets

Fonction NON OU (2)

8=a#b=a+b=aba

Théorèmes de De Morgan

Théorèmes de De Morgan

Démonstration tabulaire

Opérateurs complets

Théorèmes de De Morgan (Corollaires)

Théorèmes de De Morgan (Corollaires)

Démonstration algébrique

Définition

Opérateurs complets

Exemple

Transformation de logigrammesa

Porte xor

Fonction OU-exclusif

6=ab=ab+ab