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?Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016?

Exercice I(4 points)

1. Affirmation 1Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard unebaguette

de pain dans la production. Soit Mla variablealéatoire exprimantsamasse, engramme. Msuit laloi normaled"es- pérance 200 et d"écart-type 10. On ap(M?187)=p(187?X?200)+p(M>200)=p(187?X?200)+0,5. À la calculatrice, on ap(187?X?200)>0,4 et par conséquentp(M?187)>0,9.

La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

Affirmation 1 : VRAIE

2. Affirmation 2

Considérons la fonctionfdéfinie sur?

0 ;π

2? parf(x)=x-cos(x). fest dérivable sur?

0;π

2? etf?(x)=1+sin(x).

Pour toutx??

0 ;π

2? , 0?sin(x)?1 et 1+sin(x)>0. On en déduit quefest strictement croissante sur?

0 ;π

Commefest dérivable sur?

0;π

2? ,fest continue sur?

0 ;π2?

On a de plusf(0)=-1 etf?π

2? =π2.

On a 0??

-1 ;π 2? strictement monotones sur un intervalle et on peut affirmer que l"équationx-cosx=

0 admet une unique solution dans l"intervalle?

0 ;π

Affirmation 2 : VRAIE

les droitesD1etD2qui admettent pour représentationsparamétriques respectives : ?x=1+2t y=2-3t z=4t,t?Ret???????x=-5t?+3 y=2t? z=t?+4,t??R

3. Affirmation 3

Déterminons un vecteur directeur de chacune des ces deux droites. Soit-→u1un vecteur directeur deD1et Soit-→u2un vecteur directeur deD2 On a -→u1(( -5 2 1)) et-→u2(( 2 -3 4)) u1et-→u2ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont ni parallèles niconfondues.

On a :???1+2t=-5t?+3

2-3t=2t?

4t=t?+4?????1+2t=-20t+20+3

2-3t=8t-8

t ?=4t-4??? t=1 t=10/11

4t=t?+4

Le système n"a pas de solution. les droites ne sont pas sécantes.

Affirmation 3 : FAUSSE

4. Affirmation 4

Le planP, d"équationx+2y+z-3=0 admet le vecteur-→n((121)) comme vecteur nor- mal.

On a d"une part

-→n·-→u1=0 . D"après la représentation paramétrique deD1, le point A de coordonnées A(1 ; 2 ; 4) est un point deD1. Ses coordonnées ne vérifient pas l"équation deP.

On en déduit queD1est parallèle àP

Affirmation 4 : VRAIE

Exercice II(6 points)

Soitfune fonction définie sur l"intervalle

[0; 1], continue etpositive sur cet intervalle, etaune réel tel que 0On note :

Cla courbe représentative de la

fonctionfdans un repère orthogo- nal :

A1l"aire du domaine plan limité par

l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=0 etx=ad"autre part.

A2l"aire du domaine plan limité par

l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=aetx=1 d"autre part. 1 A1A2 aC x

Partie A : Étudedequelques exemples

1. a.Soitfune fonction constante strictement positive sur [0;1].

1ak A 1A2? Alors il existe un réelk>0 tel que pour toutx?[0;1],f(x)=k. Pour tout réela?]0 ; 1[, on a :A1=kaetA2=(1-a)k.

On a :A1=A2??ka=k(1-a). Et commek>0,A1=A2??a=1

2. Ce quiprouvequesi lafonctionfest continue, constanteetstrictement positive sur [0 ; 1], les airesA1etA2sont égales pour une seule valeur deaeta=1 2. b.Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] parf(x)=x. fest continue sur [0 ; 1] et la fonctionFdéfinie sur [0 ; 1] parF(x)=1

2x2est une

primitive def.

On a :A1=?

a 0 xdx=?1 2x2?a 0 =12a2 et :A2=? 1 a xdx=?1 2x2?1 a =1-12a2.

On en déduit poura?]0 ; 1[ :A1=A2??1

2a2=1-12a2??a=?

2 2.

Remarque : on peut aussi tout simplement

calculer les aires du triangle et du trapèze sur le graphique ci-contre et égaliser 1aA 1A2 y=x?

2. a.À l"aide d"intégrales, exprimons, en unités d"aires, les airesA1etA2.

Commef?0 sur [0;1], on a :A1=?

a 0 f(x)dxetA2=? 1 a f(x)dx. b.On noteFune primitive de la fonctionfsur l"intervalle [0 ; 1]. Soitaun réel de ]0;1[ qui satisfait la condition (E), c"est à dire tel queA1=A2.

Si F est une primitive defsur [0;1], alors

(A1=A2?F(a)-F(0)=F(1)-F(a)) et finalement : Siaun réel de ]0;1[ qui satisfait la condition (E) alorsF(a)=F(0)+F(1) 2. Supposons maintenant que F est une primitive deftelle queF(a)=F(0)+F(1) 2.

On a :A1=F(a)-F(0)=F(0)+F(1)

2-F(0)=F(1)-F(0)2

et :A2=F(1)-F(a)=F(1)+F(0)+F(1)

2=F(1)-F(0)2

Si F est une primitive telle queF(a)=F(0)+F(1)

2alorsA1=A2et la condition

(E) est vérifiée : la réciproque est vraie.

3.Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a.Considérons la fonctionfdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=ex. Montrons que la condition (E) est vérifiée pour un unique réela. fest continue sur [0 ; 1] et admet pour primitiveF(x)=ex.

On aA1=?

a 0 exdx=?ex?a

0=ea-1 etA2=?

1 a exdx=?ex?1 a=e-ea.

On en déduit que :

A1=A2?ea-1=e-ea??ea=1+e

2??a=ln?1+e2?

b.Soitfla fonction définie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x)=1 (x+2)2.

Vérifions que la valeura=2

5convient.

On a d"une part :?

2 5

0f(x)dx=?-1

x+2? 2 5 0=-1 2

5+2+12=112.

D"autre part :

1 2

5f(x)dx=?-1x+2?

25=-13+12

5+2=112

On a poura=2

5,A1=A2. La condition (E) est vérifiée.

Remarque : pour ces deux questions on peut utiliser A. 2. b., c"est à direaest solution de (E) si et seulement siF(a)=F(0)+F(1) 2 Partie B : Utilisation d"une suite pour déterminer une valeur approchée dea Dans cette partie, on considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=

4-3x2.

1.Démontrons que siaest un réel satisfaisant la condition (E), alorsaest solution de

l"équation : x=x3 4+38. Siaest un réel satisfaisant la condition (E),on a vu au A. 2. b quesi F est une primitive defalors :

F(a)=F(0)+F(1)

2. Pour tout réelxde [0 ; 1] , la fonctionfdéfinie parf(x)=4-3x2admet comme pri- mitive sur [0 ; 1], la fonctionFdéfinie parF(x)=4x-x3.

On a alors :F(0)=0 etF(1)=3 et :

F(a)=F(0)+F(1)

2??4a-3a3=3??a=a34+38.

Par conséquent, siaest un réel satisfaisant la condition (E),aest solution de l"équa- tion : x=x3 4+38. Dans la suite de l"exercice, on admettraque cette équationaune uniquesolution dans l"intervalle [0 ; 1]. On noteacette solution.

2.On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parg(x)=x3

4+38et la

suite (un)définie par :u0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=g(un). a.Calculonsu1.

On au1=g(u0)=g(0)=3

8 b.Démontrons que la fonctiongest croissante sur l"intervalle [0 ; 1]. gest dérivable sur [0;1] et pour toutx?[0;1],g?(x)=3

4x2?0. On en déduit que

gest croissante sur [0;1]. c.Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln, on a 0?un?un+1? 1. Considérons la proposition (Pn) définie surNpar :

0?un?un+1?1.

Initialisation(0?u0?u1?1) est vraie.

HéréditéCommegest croissante sur [0;1],

(0?un?un+1?1)?(g(0)?g(un)?g(un+1)?g(1)).

Maisg(0)=3

8>0 etg(1)=58<1.

On en déduit :

(0?un?un+1?1)?(0?un+1?un+1?g(1)).

Conclusion

0est vraie.

Pour tout entier natureln, (Pn?Pn+1) est vraie.

D"après l"axiome de récurrence,Pnest vraie quelque soitn?N. d.Prouvons que la suite(un)est convergente. On vient de démontrer que pour tout entier natureln, on a : 0?un?un+1?1, qu"elle converge. Soit L sa limite. Par définition deun, et par unicité de la limite, on en déduit queg(L)=Let L est solution de l"équationx=x3

4+38d"oùL=a.

e.On admet que le réelavérifie l"inégalité 0Exercice III(5 points) Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d"aménagement du territoire. Pour cela, on in- terroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l"on pose une question

à chaque personne.

Partie A : Nombre depersonnes qui acceptent derépondre au sondage On admet dans cette partie que la probabilité qu"une personne interrogée accepte de ré- pondre à la question est égale à 0,6.

1.L"institut de sondage interroge 700 personnes. On noteXla variable aléatoire corres-

pondantaunombre de personnesinterrogées quiacceptentderépondreà la question posée. a.Pour chaque personne il n"y a que deux issues possibles : répondre/ne pas ré- pondre. Si de plus on fait l"hypothèse que les choix des personnes sont indépendants, on peut affirmer queXsuit une loi binomiale de paramètresn=700 etp=0,6. b.On a :P(X?400)=1-P(X<400)=1-P(X?399). La calculatrice donneP(X?399)?0,0573 etP(X?400)?0,9427. La meilleure valeur approchée parmi les solutions proposées est 0,94.

2.Déterminons combien de personnes l"institut doit interroger au minimum pour ga-

rantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombrede personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.

On peut déjà affirmer quen?700.

Une exploration àla calculatrice donnen=694 car si Y désigne la variable aléatoire de loi binomiale de paramètresnetp=0,6 on a pourn=694 :p(Y?400)?0,9 et pour n=693 :p(Y?400)<0,9. à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400. Partie B : Proportion de personnes favorables au projet danslapopulation Dans cette partie, on suppose quenpersonnes ont répondu à la question ,et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taillen(oùnest un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d"aménagement.

1.Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de laproportion de per-

sonnes qui sont favorables au projet dans la population totale est de la forme :? f obs-1 ?n;fobs+1?n?

Et ici avecfobs=0,29, on a?

0,29-1

?n;0,29+1?n?

2.L"intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 % a pouramplitude2

?n. 2 ?n?0,04???n?20,04??n?2500. Il suffit d"interroger plus de 2500 personnes pour que l"amplitude de l"intervalle de confiance au niveau de 95% soit inférieure à 0,04. Partie C : Correction dueà l"insincérité de certaines réponses Danscettepartie,onsuppose que,parmilespersonnessondéesquiontacceptéderépondre à la question posée, 29 % affirment qu"elles sont favorables au projet. L"institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les

personnes interrogées, certaines d"entre elles ne sont passincères et répondent le contraire

de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut : soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. soit être en réalité défavorable au projet si elle n"est passincère.

Par expérience, l"institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmiles personnes

ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soitl"opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes

favorables au projet, à l"aide d"un modèle probabiliste. Onprélève au hasard la fiche d"une

personne ayant répondu, et on définit : Fl"évènement "la personne est en réalité favorable au projet»; Fl"évènement "la personne est en réalité défavorable au projet»; Al"évènement "la personne affirme qu"elle est favorable au projet»; Al"évènement "la personne affirme qu"elle est défavorable auprojet».

Ainsi, d"après les données, on ap(A)=0,29.

1.L"institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant

répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l"opinion de la personne interrogée.

On en déduit queP

F(A)=PF?A?

=0,15.

Et commePF(A)+PF?

A? =1, on a :pF(A)=0,85.

2.On posex=P(F).

a.On a l"arbre de probabilité ci-dessous. F xA 0,85 A0,15 F1-xA 0,15 A0,85 b.D"après la formule des probabilités totales,P(A)=P(A∩F)+P?

A∩

MaisP(A)=0,29,P(A∩F)=0,85xetP?

A∩

F? =0,15(1-x). On en déduit quexest solution de 0,29=0,85x+0,15(1-x).

3.Déterminons, parmi les personnes ayant répondu au sondage,la proportion de celles

qui sont réellement favorables au projet. Il suffit de résoudre 0,29=0,85x+0,15(1-x). On trouvex=14

70=0,2.

20% des personnes ayant répondu au sondage sont favorables au projet.

Exercice IV(5 points)

Candidat/e/sn"ayant pas choisi la spécialité mathématique

On veut modéliser dans le plan la coquille d"un nautile à l"aide d"une ligne brisée en forme

de spirale. On s"intéresse à l"aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d"un repère orthonormaldirect

?O;-→u;-→v?. complexeszk=? 1+k n? e i2kπ net on noteMkle point d"affixezk. Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les pointsMkavec

0?k?n.

Partie A : Ligne brisée forméeà partir desept points

Dans cette partie, on suppose quen=6.

1.Déterminons la forme algébrique dez1.

On a :z1=?

1+1 6? e i2π

6=?76?

cos?π3? +isin?π3?? =76? 12+i? 3 2?

712+i7?

3 12.

2.On az0=e0=1 etz6=?

1+6 6? e i2π=2.

3.Calculons la longueur de la hauteur issue deM1dans le triangleOM0M1.

Soit H le pied de la hauteurissue deM1dansle triangleOM0M1. Comme O etM0sont pour abscisse 0, on a :M1H=7? 3 12.

L"aire du triangleOM0M1est égale à :1

2OM0×M1H=7?

3 24.
Partie B : Ligne brisée formée à partir den+1 points Dans cette partie,nest un entier supérieur ou égal à 2.

1.Pour tout entierktel que 0?k?n, déterminons la longueurOMk.

On aOMk=|zk|=1+k

n, car pour tout entier naturelnest un entier supérieur ou égal à 2, tout entierktel que 0?k?n, le module de ei2kπ nvaut 1.

2.Soitkentier tel que 0?k?n-1.?-→u;---→OMk?

=arg(zk)=2kπ net?-→u;-----→OMk+1? =arg(zk)=2(k+1)πn. Or ?---→OMk;-----→OMk+1? =?-→u;-----→OMk+1? -?-→u;---→OMk?

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Exercice I(4 points)

1. Affirmation 1Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard unebaguette

Affirmation 1 : VRAIE

2. Affirmation 2

Considérons la fonctionfdéfinie sur?

0 ;π

0;π

Pour toutx??

0 ;π

0 ;π

Commefest dérivable sur?

0;π

0 ;π2?

On a de plusf(0)=-1 etf?π

On a 0??

0 admet une unique solution dans l"intervalle?

0 ;π

Affirmation 2 : VRAIE

3. Affirmation 3

On a :???1+2t=-5t?+3

2-3t=2t?

4t=t?+4?????1+2t=-20t+20+3

2-3t=8t-8

4t=t?+4

Affirmation 3 : FAUSSE

4. Affirmation 4

On a d"une part

On en déduit queD1est parallèle àP

Affirmation 4 : VRAIE

Exercice II(6 points)

Soitfune fonction définie sur l"intervalle

Cla courbe représentative de la

A1l"aire du domaine plan limité par

A2l"aire du domaine plan limité par

Partie A : Étudedequelques exemples

1. a.Soitfune fonction constante strictement positive sur [0;1].

On a :A1=A2??ka=k(1-a). Et commek>0,A1=A2??a=1

2x2est une

On a :A1=?

On en déduit poura?]0 ; 1[ :A1=A2??1

2a2=1-12a2??a=?

Remarque : on peut aussi tout simplement

2. a.À l"aide d"intégrales, exprimons, en unités d"aires, les airesA1etA2.

Commef?0 sur [0;1], on a :A1=?

Si F est une primitive defsur [0;1], alors

On a :A1=F(a)-F(0)=F(0)+F(1)

2-F(0)=F(1)-F(0)2

2=F(1)-F(0)2

Si F est une primitive telle queF(a)=F(0)+F(1)

2alorsA1=A2et la condition

3.Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

On aA1=?

0=ea-1 etA2=?

On en déduit que :

A1=A2?ea-1=e-ea??ea=1+e

2??a=ln?1+e2?

Vérifions que la valeura=2

5convient.

On a d"une part :?

0f(x)dx=?-1

5+2+12=112.

D"autre part :

5f(x)dx=?-1x+2?

25=-13+12

5+2=112

On a poura=2

5,A1=A2. La condition (E) est vérifiée.

4-3x2.

1.Démontrons que siaest un réel satisfaisant la condition (E), alorsaest solution de

F(a)=F(0)+F(1)

On a alors :F(0)=0 etF(1)=3 et :

F(a)=F(0)+F(1)

2??4a-3a3=3??a=a34+38.

2.On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parg(x)=x3

4+38et la

On au1=g(u0)=g(0)=3

4x2?0. On en déduit que

0?un?un+1?1.

Initialisation(0?u0?u1?1) est vraie.

Cla courbe représentative de la

A1l"aire du domaine plan limité par

A2l"aire du domaine plan limité par