Marches aléatoires Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition T = ( 1 − p p q 1 − q )
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Marches aléatoires
Terminale S spécialité - Lycée Saint-CharlesPatrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016
1 Présentation
On considère un système qui peut se trouver soit dans un état A, soit dans un état B, et qui évolue
par étapes successives, enchangeant d"état à chaque étape de façon aléatoire. On notepla probabilité que le système passe de l"état A à l"état B. On noteqla probabilité que le système passe de l"état B à l"état A. La probabilité que le système reste à l"état A est1-p. La probabilité que le système reste à l"état B est1-q.On représente l"évolution de ce système par ungraphe probabilistedont les sommets indiquent les
états et les flèches indiquent les probabilités de transition.Propriété 1Dans un graphe probabiliste :
Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
Le somme de toutes les probabilités partant d"un sommet est égale à 1.Preuve.Ce résultat découle directement des probabilités conditionnelles.
2 Ecriture matricielle du problème
On peut reporter les probabilités de transition dans le tableau ci-dessous :Etat d"arrivée ABEtat de départ
A1-pp Bq1-qOn définit ainsi lamatrice de transitionT=?1-p p q1-q? 1 Classe de Terminale S Matrices et suites http://www.mathxy.fr/Propriété 2
Dans la matrice de transition :
Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
La somme des coefficients d"une ligne vaut 1.Preuve.Ce résultat découle de la propriété 1.Définition 1
La matrice lignePn= (anbn)est appelée larépartition de probabilité à l"étapen.Propriété 3
Pour tout natureln,Pn+1=P0Tn.Preuve.Ce résultat se prouve simplement par récurrence.Définition 2
On appellerépartition stable de probabilitéune matrice ligneP, dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1, vérifiantP=PT.Propriété 4 Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transitionT=?1-p p q1-q? P n= (anbn)est larépartition de probabilité à l"étapen. Sipetqne sont pas tous deux nuls, ni tous deux égaux à 1, alors :