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matrices à m lignes et n colonnes à coefficients réels se note Mm,n() matrice ( −1) × A qu'on note aussi −A De même, on définit la soustraction de deux 

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Opérations naturelles : addition et soustraction (des matrices de même taille) et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : (3 −3 0 4 ) − 2 (1 0 1 −1 )

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L'addition des matrices est conçue de façon `a valider la Proposition a) La matrice de la somme de deux applications linéaires est la somme des matrices

[PDF] Calcul matriciel

Les additions et soustractions de matrices Règle de calcul La somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la matrice obtenue en 

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On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans R tout tableau Remarque : De même, on définit la soustraction de deux matrices A et B par 

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et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice Notation Si A est une matrice Addition, soustraction et multiplication par un réel On peut réaliser des  

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Matrices 3 Opérations sur les matrices Addition, soustraction Multiplication externe Multiplication interne Notion d'inverse d'une application linéaire et d'une

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Addition de deux matrices de même dimension ( ) et Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et Forme échelonnée d'une matrice

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Addition et soustraction 2 3 5 Produit de matrices 2 3 6 Division de deux matrices carrées 2 3 7 Inverse d'une matrice de 2x2 2 3 8 Application 2 3 9

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des matrices données Une matrice constitue un tableau rectangulaire de nombres comme l'addition, la soustraction et la multiplication scalaire Les règles 

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Op´erations sur les matrices

D´edou

Novembre 2010

Exemple d"addition

La somme de

?2 3 5

4 6 7?

et?1 1 1

3 2 1?

c"est ?3 4 6

7 8 8?

.Exo 1

Calculez la somme de

?2 2 3 5? et?5 7 4 1?

Carte de visite des additions

On noteMp,ql"ensemble des matrices `aplignes etqcolonnes. On peut additionner deux telles matrices : Add p,q:Mp,q×Mp,q→Mp,q (A,B)?→A+B (A,B)?→((i,j)?→Aij+Bij)Slogan On n"additionne que des matrices de mˆeme taille.

Le sens de l"addition

L"addition des matrices est con¸cue de fa¸con `a valider la

Proposition

a) La matrice de la somme de deux applications lin´eaires est la somme des matrices. b) L"application lin´eaire associ´ee `a une somme de matrices est la somme des applications lin´eaires associ´ees.

Commutativit´e des additions : ´enonc´e

Proposition

L"addition des matrices est commutative.

Et plus formellement, ¸ca se lit :

?p,q?N,?A,B?Mp,q,A+B=B+A.

L"´egalit´e des matrices

D´efinition

Deux matrices `aplignes etqcolonnes sont ´egales ssi elles ont les mˆemes coefficients.Plus formellement, ¸ca se lit : ?p,q?N,?A,B?Mp,q,

A=B? ?i?[1..p],?j?[1..q],Aij=Bij.

Commutativit´e des additions : d´emonstration ?p,q?N,?A,B?Mp,q,A+B=B+A.Preuve Soientpetqdeux entiers, etAetBdeux matrices dansMp,q.

On veut montrerA+B=B+A.

Pour cela soientidans [1..p] etjdans [1..q] et montrons (A+B)ij= (B+A)ij. On a (A+B)ij =Aij+Bij(par d´efinition de l"addition des matrices) =Bij+Aij(par commutativit´e de l"addition dansR) = (B+A)ij. (par d´efinition de l"addition des matrices).

Cqfd.L"id´ee

La commutativit´e de l"addition des matrices se r´eduit `a la commutativit´e de l"addition des nombres. Associativit´e de l"addition des matrices : ´enonc´e

Proposition

L"addition des matrices est associative.

Et plus formellement, ¸ca se lit :

?p,q?N,?A,B,C?Lp,q,(A+B) +C=A+ (B+C).Exo 2

Prouver cette associativit´e.

Multiplication externe : exemple

La produit par 10 de

?2 3 5

4 6 7?

c"est ?20 30 50

40 60 70?

.Exo 3

Calculer 3

?2 0 5e?

Carte de visite des multiplications externes

On rappelle queMp,qd´esigne l"ensemble des matrices `apligens et qcolonnes. Voici la carte de visite de la multiplication externe des matrices, qu"on appelle encoreMultex

Multex

p,q:R×Mp,q→Mp,q (λ,A)?→λA (λ,A)?→(i,j)?→λAij.

Surcharge pour les multiplications

Notation

Comme d"hab, on note la multiplication externe des matrices sans aucun signe (ou parfois avec un point) exactement comme la multiplication externe des vecteurs.

Associativit´e des multiplications externes

Proposition

Les multiplications externes des applications lin´eaires sont associatives.Ce qu"on entend par l`a, c"est : ?p,q?N,?λ,μ?R,?A?Mp,q, λ(μA) = (λμ)A.Exo 4

Prouver cette associativit´e.

Combinaisons lin´eaires de matrices

Comme d"habitude,

puisqu"on sait ajouter et multiplier par un nombre, on sait faire des combinaisons lin´eaires.Exo 5

On pose

A:=?2 1 2

4 3 2?

et

B:=?0 5 3

3 0 1?

Calculez 3A-2B.

D´ecomposition lin´eaire de matrices : exemple Comme d"habitude, puisqu"on sait faire des combinaisons lin´eaires, on peut se poser des probl`emes de d´ecomposition lin´eaire.

Exemple

A:=?1 3 2

1 3 2?

B:=?0 5 3

1 0 1?

C:=?2 1 3

1 6 1?

Voyons siCest combinaison lin´eaire deAetB.

Si on aC=xA+yB, alors, `a cause des premi`eres colonnes, on a x= 2 etx+y= 1, d"o`uy=-1

On calcule alors 2A-B:

si on trouveC, c"est queCest combinaison lin´eaire deAetB; si on ne trouve pasC, c"est queCn"est pas combinaison lin´eaire deAetB. D´ecomposition lin´eaire de matrices : exercice Exo 6

On poseA:=(

(1 2 1 3 1 0) B:=( (0 1 1 3 0 1) C:=( (2 1 2 2 1 1)

Est-ce queCest combinaison lin´eaire deAetB?

Relations de d´ependance entre matrices

Comme d"habitude,

puisqu"on sait faire des combinaisons lin´eaires de matrices, on sait d´efinir les relations lin´eaires entre matrices.

Syst`emes libres de matrices

Comme d"habitude, un syst`eme de matrices (de mˆeme taille) est libres"il ne v´erifie aucune relation de d´ependance non triviale. Comme d"habitude, un syst`eme de matrices (de mˆeme taille) est g´en´erateursi toute matrice de cette taille est combinaison lin´eaire du syst`eme. Comme d"habitude, un syst`eme de matrices (de mˆeme taille) est une bases"il est libre et g´en´erateur.

Base canonique des matrices : exemple

Exemple

Les quatre matrices

?1 0

0 0? ?

0 1

0 0? ?

0 0

1 0? ?

0 0 0 1? forment une base, qu"on appelle canonique, de l"espace des matrices `a deux lignes et deux colonnes.Exo

Donnez les coordonn´ees de

?2 0 5 1? dans la base canonique.

Base canonique des matrices : exercice

Exo Donnez la base qu"on appelle canonique de l"espace des matrices `a deux lignes et trois colonnes.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32