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Agrégation Externe de Mathématiques UPS - 2015/2016 La méthode de la puissance pour les matrices symétriques positives

F. Boyer, Janvier 2016

Ce petit document fait écho au texte d"agreg option B sur les moteurs de recherche (2015-B2). 1. Il f auttout d"abord remarquer que pour toutematriceA(même rectangle!) la matriceB=tA:A(qui est carrée, notonsdsa taille) est symétrique et positive.

En effet, il suffit de calculer

(Bx;y) = (tA:Ax;y) = (Ax;Ay);8x;y2Rd; ce qui montre bien la symétrie et par ailleurs le fait que (Bx;x) = (Ax;Ax) =kAxk20;8x2Rd: Au passage, on observe queBest définie positive si et seulement siAest injective. siAest surjective. 2.

Le textes"intéressedefaçonplusoumoinsexpliciteàlaméthodedelapuissancepourlamatriceB=tA:A.

Ceci dit, ce qui suit est valable pour toute matrice symétrique positive donc je vais désormais oublier la

formule qui définitB.

La méthode de la puissance revient à choisir une donnée initialex02Rdet à calculer par récurrence

x n+1=BxnkBxnk;

avec les précautions d"usage siBxnvenait à s"annuler. Il est utile de voir quexn, pourn1, s"écrit aussi

x n=Bnx0kBnx0k:(1)

Avec les hypothèses faites sur la matriceBje prétend que la méthode de la puissance converge toujours

vers un vecteur propre de la matriceB(ou éventuellement vers0).

T outd"abord, comme Bestsymétrique réelle, elle est diagonalisable (en base orthonormée mais ça

n"est pas forcément utile ici) et à valeurs propres réelles. On peut donc écrire R d=kM i=1Ker(BiId);(2) où lesi2Rsont les valeurs propres distinctes deB.

Par ailleurs, commeBestpositive, toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles. Dorénavant on

va les ordonner de la façon suivante1> 2> ::: > k0. On décompose alors la donnée initialex0grâce à (2) de la façon suivante x

0=x01++x0k;

oùx0iest dans le sous-espace propre correspondant à la valeur proprei.

On peut donc calculer aisément

B nx0=n1x01++nkx0k:

Il s"agit de déterminer le terme principal (quandn! 1) dans cette écriture. Il s"agit de la contribution

de la plus grande valeur propre qui intervient de façon non triviale (c"est-à-dire pour laquelle lex0icorrespondant n"est pas nul).

Soit donc1lkleplus petitindice tel quex0l6= 0. Les écritures dex0et deBnx0deviennent x

0=x0l++x0k;

B nx0=nlx0l++kx0k;

avec cette fois l"assurance que le premier terme est non nul et qu"il est "le plus gros" quandnest grand.

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Agrégation Externe de Mathématiques UPS - 2015/2016 Si l= 0, c"est quek=let donc queBnx0= 0pour toutn1et la méthode converge bien vers

0(il s"agit du cas, très défavorable, où on a choisi une donnée initiale dans le noyau deB!).

Si l>0, alors on peut écrire

B nx0=nl x

0l+l+1

l n x

0l+1++k

l n x 0k

On déduit tout d"abord que

1 nlBnx0!n!1x0l;(3) vu que les quotientsi=lsont tous strictement inférieurs à1quandj > l. On prend maintenant la norme de (3), sans oublier quel>0, pour obtenir 1 nlkBnx0k !n!1kx0lk;(4) et donc par quotient x n=Bnx0kBnx0k!n!1x

0lkx0lk:

Ce qui montre bien que la suite des itérées fournie par la méthode de la puissance converge vers

un vecteur propre normalisé pour la valeur proprel. On se convainc aisément par ailleurs que (kBxnk)nconverge vers la valeur proprel. 3.

Quelles sont les dif férencesa vecle théorème de con vergenceusuel de la méthode de la puissance, v alable

pour toute matrice ou presque?

On est assurés de la con vergencede la suite v ersune certaine limite quelle que soitla donnée initiale.

Cette limite est soit nulle, soit un v ecteurpropre de la matrice.

Pour assurer que la v aleurpropre limite soit la v aleurpropre la plus grande, il f autassurer que x016= 0,

c"est-à-dire que la composante de la donnée initiale selon le sous-espace propre correspondant à la

valeur propre principale soit non nulle. C"est exactement l"hypothèse usuelle de convergence pour la

méthode la puissance dans le cas général. 4.

Dans le cas du te xte,comment peut-on assurer que l"on con vergebien v ersla v aleurpropre principale ?

CommeAest une matrice à coefficients positifs ou nuls, il en est de même deB=tA:Aet on peut donc

appliquer la théorie de Perron-Frobenius (hors programme mais qu"il est bon de connaître au moins dans

les grandes lignes) qui nous dit qu"une telle matrice possède un vecteur propree1associé à1dont tous

les coefficients sont positifs ou nuls.

Ainsi, si on prendx0dont tous les coefficients sont strictement positifs (par exemplex0=t(1;:::;1)), on

est assurés quex016= 0et tout marche sur des roulettes. Je ne détaille pas plus pour vous laisser un peu y

réfléchir ...

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