Géométrie analytique de l'espace / page n°2 2 Équations paramétriques d'une droite L'équation vectorielle AP k v = uuur r peut s'écrire AO OP kv + = ou
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Dans chaque cas, représentez la situation dans un système d'axes Exercice 4 6 : Soit la droite d passant par les points A(6 ; 2 ; 1) et B(-3 ; 8 ; -2) a) Déterminer
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Géométrie analytique de l'espace / page n°1 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE I. Coordonnées d'un point et composantes d'un vecteur dans l'espace (rappels) Dans l'espace un repère est formé par un point O et par trois vecteurs non nuls et non coplanaires 123
,,,eee rrrreprésentant les vecteurs unitaires sur les axes x, y et z Sauf précision contraire, on travaillera toujours en axes orthonormés. ♦ Pour tout point P de l'espace, on a : 321
ezeyexOP++= où ),,(zyx sont les coordonnées du point P. Tout vecteur v de l'espace peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs d e base : 332211 eeevααα++= où ),,( 321sont les composa ntes du vecteur v dans la base ),,( 321
eee . Considérons deux points (,,) AAA Axyz et (,,) BBB Bxyz . Le vecteur AB a pour composantes :(),,
BABABA
ABxx yy zz
uuur . Il peut êtr e considéré comme un ve cteur directeur de la droite AB. II. Équations de droites dans l'espace 1. Équation vectorielle d'une droite Considérons un point A et un vect eur v
non nul : la droite d de vec teur directeur v et passant par A est l'ensemble des points P tels que AP est colinéaire à v . ,colinÈaire‡APvk APk v⇔∃∈= uuurruuur r RL'équation APkv =
uuurr est une équation vectorielle de la droite d passant par le point A et de vecteur directeur v . O A P d v x z y P x y z e 1 e 3 e 2 OGéométrie analytique de l'espace / page n°2 2. Équations paramétriques d'une droite L'équation vectorielle APkv =
uuurr peut s'écrire AOOPkv+= ou OPOAk vk =+∈ uuuruuurr R Remplaçons les vecteurs par leurs composantes ; il vient 123 AAA xyzxyz kvv v=+ ce qui entraîne 1 2 3 A A A xxkv yykv k zzkv R (1) Ce sont des équations paramétriques de la droite d de vecteur directeur ),,( 321vvv et passant par le point A de coordonnées ),,( AAA zyx
. 3. Équations cartésiennes d'une droite Éliminons le paramètre k entre les équations paramétriques et on trouve : xx
v yy v zz v AAA 123Ce sont des équations cartésiennes de la droite d de vecteur directeur ),,( 321
vvv et passant par le point A de coordonnées ),,( AAA zyx
. Remarque Pour rechercher les équations cartésiennes de la droite passant par deux points donnés, on prendra comme vecteur directeur de la droite, le vecteur joignant les deux points donnés. 4. Cas particuliers ♦ Si vvv
123000=≠≠()et
: le système (1) se ramène à : 2 3 A A A xx yykv k zzkv R et les équations cartésiennes se ramènent à : ⎪ 32v zz v yy xx AA A . La droite est incluse dans un plan parallèle au plan Oyz. A B AB Géométrie analytique de l'espace / page n°3 ♦ Si )0( 0321≠==vvv : le système (1) se ramène à : 3 A A A xx yyk zzkv R et les équations cartésiennes se ramènent à : ⎩ A A yy xx
. La droite est parallèle à l'axe z. Exercices : Détermine le système d'équations paramétriques ainsi que le système d'équations cartésiennes des droites : a de vecteur directeur (1 ;2 ;3) et passant par l'origine b de vecteur directeur (-1 ;2 ;-3) et passant par (3 ;4 ;5) c passant par les points (2 ;1 ;3) et (1 ;0 ;2) d passant par les points (3 ;4 ;2) et (-1 ;-2 ;3) e parallèle à la droite a par le point (3 ;4 ;2) f parallèle à la droite c par le point (0 ;0 ;7) g parallèle à l'axe x par le point (1 ;1 ;7) h parallèle à l'axe y par le point (1 ;1 ;7) i parallèle à l'axe z par le point (1 ;1 ;7)
Géométrie analytique de l'espace / page n°4 III. Équation d'un plan dans l'espace 1. Equation vectorielle d'un plan Considérons un plan π
, un point C appartenant à ce plan et deux vecteurs wvetnon nuls parallèles au plan mais non parallèles entre eux. Pour tout point P appartenant à π
, on a : 1212 ,CPkv kw kk=+∈ uuurrur RL'équation 12
CPkv kw=+
uuurrur est une équation vectorielle du plan de vecteurs directeurs wvetet passant par le point C. 2. Équations paramétriques d'un plan L'équation vectorielle 1212
,CPkv kwk k=+∈ uuurrur R peut s'écrire 1212 ,OPOCk vkw kk =++∈ uuuruuurr ur R Remplaçons les vecteurs par leurs composantes ; il vient : ),,(),,(),,(),,(32123211
wwwkvvvkzyxzyx CCC ce qui entraîne 11211222 12
1323C C C xxkv kw yykv kwkk zzkv kw R Ce sont des équations paramétriqu es du plan de vecteurs direct eurs ),,( 321
vvv et (,,)www 123
et passant par le point C de coordonnées ),,( CCC zyx . 3 3. Équation cartésienne d'un plan On élimine les paramètres 21 etkk entre les équations paramétriques et on trouve : 23321 33 11221 ()()()()()()0 CCC vwvw xxvwvw yyv wvwz z-----+--= que l'on peut écrire sous la forme : 0 321
321
www vvv zzyyxx CCC
On obtient une équation du type 0=+++dczbyax
qui est une équation linéaire du 1er degré. C'est l 'équation cartésienne du plan π
passant par le point C de coor données ),,( CCC zyx et de vecteurs directeurs ),,(et),,(321321
wwwvvv . O kv 1 kw 2 P C w vGéométrie analytique de l'espace / page n°5 Remarques ♦ Plan déterminé par trois points non alignés A, B et C : On prendra comme vecteurs directeurs deux des vecteurs suivants : BCACAB,,
. ♦ Plan déterminé par une droite d et un point C n'appartenant pas à d : On prendra comme premier vecteur directeur du plan un vecteur directeur de d. Un autre vecteur directeur du plan sera un vecteur joignant C à un point de d. ♦ Plan déterminé par deux droites sécantes : Les vecteurs directeurs de chacune des droites sont des vecteurs directeurs du plan. ♦ Plan déterminé par deux droites parallèles : Un vecteur directeur de l'une des deux droites est un vecteur directeur du plan. Le vecteur joignant un point de l'une des droites à un point de l'autre est un autre vecteur directeur du plan. IV. Équations de plans particuliers 1. Plans comprenant l'origine axbycz++=0
2. Plans comprenant le point ()
AAA z,y,x et parallèles aux plans Oxy, Oxz ou Oyz Plan parallèle à Oxy : A zz=En particulier : 0Oxyz≡=
Plan parallèle à Oxz : A
yy=En particulier : 0Oxzy≡=
Plan parallèle à Oyz : A
xx=En particulier : 0Oyzx≡=
3. Plans contenant Ox, Oy ou Oz Plans contenant Ox : bycz+=0
Plans contenant Oy : axcz+=0
Plans contenant Oz : axby+=0
4. Plans parallèles à Ox , Oy ou Oz Plan parallèle à Ox : byczd++=0
Plan parallèle à Oy : axczd++=0
Plan parallèle à Oz : axbyd++=0
Géométrie analytique de l'espace / page n°6 Exercices : Détermine le système d'équations paramétriques ainsi que l'équation cartésienne des plans : α de vecteurs directeurs (1 ;0 ;2) et (0 ;1 ;1) passant par l'origine β de vecteurs directeurs (1 ;0 ;2) et (0 ;1 ;1) passant par (1 ;1 ;4) γ de vecteurs directeurs (2 ;-2 ;3) et (1 ;-1 ;2) passant par (1 ;1 ;0) δ passant par les points (1 ;2 ;4) (3 ;2 ;-1) et (1 ;4 ;5) ε passant par les points (1 ;2 ;3) (-1 ;2 ;1) et (5 ;-4 ;1) V. Positions relatives d'une droite et d'un plan On considère le plan d'équation 0=+++≡dczbyaxπ
(1) et la droite d d'équations paramétriques 2 1 3 A A A xxkv dyykvk zzkv R (2) Pour trouver le point de percée (s'il existe) de la droite d dans le plan π, il suffit de résoudre le système fo rmé par l'é quation du plan et cell es de la droite, c'est-à-dire de remplacer dans l'équation du plan (1) x, y et z par leurs valeurs tirées des équations de la droite (2). On obtient : ()dczbyaxcvbvav.k
AAA 321Trois cas sont possibles : 1er cas : 0
321≠++cvbvav
: on trouve une valeur de k que l'on remplace dans les équations (2) de la droite afin d'obtenir les coordonnées du point de percée. 2e cas : 123
0avbvc v++=
et 0 AAA axbyc zd----≠ : k n'existe pas et la droite est parallèle au plan. 3e cas : 1230avbvc v++=
et 0 AAA axbyc zd ----= : k est indéterminé et la droite est incluse dans le plan.Géométrie analytique de l'espace / page n°7 Exercices : 1. Donne les positions relatives des plans : 16z12y8x4