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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne
Calcul matriciel
Bernard Ycart
Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d"autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension finie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Calcul de l"inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Entraînement 16
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Compléments 30
3.1 Les avocats de Cambridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 novembre 2011
Maths en LigneCalcul matricielUJF Grenoble1 Cours
1.1 Opérations sur les matrices
Etant donnés deux entiersmetnstrictement positifs, unematrice àmlignes etn colonnesest un tableau rectangulaire de réelsA= (ai,j). L"indice de ligneiva de1à m, l"indice de colonnejva de1àn.A= (ai,j) =(
(((((((a a a m,1···am,j···am,n) Les entiersmetnsont lesdimensionsde la matrice,ai,jest soncoefficient d"ordre (i,j). L"ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à coefficients réels est noté M m,n(R). Ce qui suit s"applique aussi, si on remplaceRparC, à l"ensemble des matricesà coefficients complexes.
L"ensembleMm,n(R)est naturellement muni d"une addition interne (on peut ajou- ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d"une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme). •Addition :SiA= (ai,j)etB= (bi,j)sont deux matrices deMm,n(R), leur sommeA+Best la matrice(ai,j+bi,j). Par exemple :
(1 1 2 3 1-1) (-3 1 5-3 0 2) (-2 2 7 0 1 1) •Multiplication externe :SiA= (ai,j)est une matrice deMm,n(R), etλest un réel, le produitλAest la matrice(λai,j). Par exemple : -2( (1 1 2 3 1-1) (-2-2 -4-6 -2 2) Observons que les opérations auraient le même effet si les matrices étaient disposées comme desmn-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc M m,n(R), muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe àRmn. Labase canoniquedeMm,n(R)est formée des matrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un qui vaut1. L"opération la plus importante est leproduit matriciel. 1Maths en LigneCalcul matricielUJF GrenobleDéfinition 1.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (ai,j)une
matrice deMm,n(R)et soitB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). On appelleproduit matricieldeAparBla matriceC? Mm,p(R)dont le terme généralci,kest défini, pour touti= 1,...,met pour toutk?1,...,ppar : c i,k=n j=1a i,jbj,k. Nous insistons sur le fait que le produitABde deux matrices n"est défini que si le nombre de colonnes deAet le nombre de lignes deBsont les mêmes. Observons d"abord que la définition 1 est cohérente avec la définition du produit d"une matrice par un vecteur, donnée au chapitre précédent : sip= 1, la matriceBanlignes et1 colonne, et le produitABamlignes et1colonne. D"autre part, appliquer la définition1 revient à effectuer successivement le produit deApar chacune des colonnes deB.
Pour effectuer ce produit, nous conseillons d"adopter la même disposition que pour le produit par un vecteur, en plaçantBau-dessus et à droite deA. (((((((b···bj,k···.........
b n,1···bn,k···bn,p) (((((((a1,1··· ···a1,n.........
a a m,1··· ···am,n) (((((((c1,1...c1,p...
··· ···ci,k
c m,1cm,p)Posons par exemple :
A=( (1 1 2 3 1-1) )etB=?0 1-1-2 -3-2 0 1? La matriceAa 3 lignes et 2 colonnes, la matriceBa 2 lignes et 4 colonnes. Le produit ABa donc un sens : c"est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes. ?0 1-1-2 -3-2 0 1? (1 1 2 3 1-1) (-3-1-1-1 -9-4-2-13 3-1-3)
Le produit matriciel a toutes les propriétés que l"on attend d"un produit, sauf qu"il n"est pas commutatif. 2Maths en LigneCalcul matricielUJF GrenobleProposition 1.Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.
1.Associativité :Si les produitsABetBCsont définis, alors les produitsA(BC)
et(AB)Cle sont aussi et ils sont égaux.A(BC) = (AB)C .
2.Linéarité à droite :SiBetCsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet
μsont deux réels et siAa autant de colonnes queBetCont de lignes, alorsA(λB+μC) =λAB+μAC .
3.Linéarité à gauche :SiAetBsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet
μsont deux réels et siCa autant de lignes queAetBont de colonnes, alors (λA+μB)C=λAC+μBC . Ces propriétés se démontrent à partir de la définition 1. La transposition est une notion importante, dont la justification provient de la dualité, qui dépasse le cadre de ce cours. Définition 2.Étant donnée une matriceA= (ai,j)deMm,n(R), satransposéeest la matrice deMn,m(R)dont le coefficient d"ordre(j,i)estai,j. Pour écrire la transposée d"une matrice, il suffit de transformer ses lignes en co- lonnes. Par exemple : A=( (1 1 2 3 1-1) ),tA=?1 2 11 3-1?
Observons que la transposée de la transposée est la matrice initiale. t (tA) =A . La transposée d"un produit est le produit des transposées, mais il faut inverser l"ordre des facteurs. Proposition 2.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoientA= (ai,j)une matrice deMm,n(R)etB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). La transposée du produit deAparBest le produit de la transposée deBpar la transposée deA. t (AB) =tBtA . 3Maths en LigneCalcul matricielUJF GrenoblePar exemple, en reprenant les matricesAetBdéfinies ci-dessus :
?1 2 11 3-1?
(((0-3 1-2 -1 0 -2 1) (((-3-9 3 -1-4 3 -1-2-1 -1-1-3) Observons que le produit d"une matrice par sa transposée est toujours défini. A tA=( (2 5 05 13-1
0-1 2)
),tAA=?6 6 6 11? Le résultat est une matricecarrée(autant de lignes que de colonnes) etsymétrique. Définition 3.Soitnun entier strictement positif etAune matrice carrée ànlignes etncolonnes. On dit queAest symétrique si pour tousi,j= 1,...,n, ses coefficientsd"ordreai,jetaj,isont égaux, ce qui est équivalent à dire queAest égale à sa transposée.
Le produit d"une matrice par sa transposée est toujours une matrice symétrique.En effet :
t(AtA) =t(tA)tA=AtA .1.2 Matrices carrées
En général si le produitABest défini, le produitBAn"a aucune raison de l"être. Le produit d"une matrice par sa transposée est une exception, les matrices carrées en sont une autre : siAetBsont deux matrices ànlignes etncolonnes, les produitsAB etBAsont tous deux définis et ils ont les mêmes dimensions queAetB. En général ils ne sont pas égaux. Par exemple, ?0-1 1 0? 0 11 0? ?
1 0 0-1?? 0 1 1 0? 0-11 0? ?
-1 0 0 1? Nous noterons simplementMnl"ensembleMn,n(R)des matrices carrées ànlignes et ncolonnes, à coefficients réels. Parmi elles lamatrice identité, notéeInjoue un rôle particulier. I n=( ((((((((1 0··· ···0 0 1 ...........................1 00··· ···0 1)
4Maths en LigneCalcul matricielUJF GrenobleEn effet, elle est l"élément neutre du produit matriciel : pour toute matriceA?
M n,m(R), AI n=ImA=A . On le vérifie facilement à partir de la définition 1. Définition 4.SoitAune matrice deMn. On dit queAest inversible s"il existe une matrice deMn, notéeA-1, telle que AA -1=A-1A=In.