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Statistiques

IUT Biotechnologie 2eme annee

Jean-ChristopheBreton

Universite deLa Rochelle

Octobre-Novembre 2008version du 04 octobre 2008

Table des matieres

1 Lois de probabilite usuelles 1

1.1 Denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lois discretes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Lois de v.a. nies deja connues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Lois Geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Lois a densite classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Loi normale (ou gaussienne) 7

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Regle de calcul de probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Table de la loiN(0;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Approximation par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Lois derivees de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1 Loi du khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.2 Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Estimation statistique 11

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Loi d'echantillonage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Pour des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Pour des frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.2 Estimation de la moyenne et de la variance . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Intervalles de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4.2 Calcul d'un IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4.3 Un exemple d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

Table des matieresii

4 Tests d'hypotheses 18

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Test sur la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Test sur la variance dans le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Test sur une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Tests de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.1 Comparaison de deux moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.2 Comparaison de deux proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Les Tests du2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chapitre 1

Lois de probabilite usuelles

1.1 Denombrement

Considerons un ensemble

=f!1;:::;!ngde cardinaln.

Permutation

Le nombre de permutations d'un ensemble est le nombre de manieres d'ordonner ses elements. Le nombre de permutations de estn! = 123 n. En eet, il s'agit de trouver tous les reordonnements def!1;:::;!ng. On a d'abord nchoix pour le premier terme, puisn1 pour le deuxieme puisn2 puis:::puis 2 choix pour l'avant dernier et enn plus qu'un seul pour le dernier. Il y a doncn(n

1)(n2) 21 =n!.

Exercice.Faire la preuve pourn= 3 et trouver les 3! = 6 permutations de fA;B;Cg. Exemple.Un professeur doit faire passer dans la journee 5 etudiants pour un oral de rattrapage. Il a 5! = 120 manieres de choisir l'ordre de passage.

Tirage avec remise

Tirage depobjets (avec remise) dans un ensemble de cardinaln. Pour chaque tirage, il y anobjets possibles a tirer, il y a donc en toutnn=np tirages possibles (avec remise) dans un ensemble de cardinaln. Exemple.Un professeur note chaque etudiant d'une classe de 30 etudiants par une note entiere de 0 a 20. Le nombre de resultats possibles est le nombre de manieres de choisir de facon independante 30 elements de l'ensemblef0;1;:::;20gde cardinal 21. Il y a donc 21

30resultats possibles pour l'ensemble de la classe.

Arrangement (tirages ordonnes sans remise)

On appelle tirage sans remise depelements dans un ensemble de cardinaln, tout tirage successif depelements de , chaque element ne pouvant ^etre tire plus d'une fois. 1

Chapitre 1.

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Bien evidemment, pour qu'un tel tirage puisse exister, il faut avoirpn.

Le nombre de tirages sans remise est

n(n1):::(np+ 1) =n!(np)! Remarque 1.1.1Le nombren!=(np)! s'appelle le nombre d'arrangements, on le note A pn. Lorsquen=p, on retrouve le nombre de permutations, puisqu'on tire tous les elements de et qu'en fait, on les a reordonnes. Exemple.3500 personnes se presentent au concours de l'agregation de Mathematiques.

300 places sont mises au concours. Combien y-a-t-il de palmares possibles (en supposant

qu'il n'y ait pas d'ex-aequo)?

Reponse : 35003499 32023201 =3500!3200!

Combinaison (tirages desordonnes sans remise)

C'est aussi le nombre de parties d'un ensemble

possedantpelements. C'est exactement le nombre de manieres de choisirpobjets dans un ensemble den objets, l'ordre n'ayant pas d'importance. On sait qu'il y an!=(np)! tirages depobjets lorsque l'on tient compte de l'ordre. Or un tirage (desordonne) donne (ou l'ordre n'est pas pris en compte) representep! tirages ou l'ordre est pris en compte (car il y ap! permutations de l'ensemble despobjets du tirage). Il y a doncp! fois plus de tirages depobjets lorsque l'on tient compte de l'ordre. Finalement, le nombre de tirages (sans tenir compte de l'ordre) est n!p!(np)!: Exemple.Denombrer le nombre de tirages sans remise de 2 elements parmi 4 avec ordre puis sans ordre. Exemple.3500 personnes se presentent au concours de l'agregation de Mathematiques.

300 places sont mises au concours. Combien y-a-t-il de promotions possibles?

Reponse :C3003500. Ici,

est l'ensemble des candidats et il s'agit de choisir 300 d'entre eux. On s'interesse aux dierentes promotions possibles, prises dans leur ensemble, sans tenir compte du classement de la promotion. Rappelons d'abord la denition des coecients binomiaux et la formule du binome de Newton : C kn=n k =n!k!(nk)!0kn;(a+b)n=nX k=0C knakbnk: C kns'interprete comme le nombre d'echantillons de taillekdans une population de taille n. Par exemple, si dans une urne denboules distinctes, on en tirek, il y aCkntirages dierents possibles.

Chapitre 1.

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Rappelons les proprietes immediates suivantes pour toutn2Netkn: C kn=Cnkn; Cnn=C0n= 1; Cn1n=C1n=n C k1n+Ckn=Ckn+1(triangle de Pascal):

1.2 Lois discretes classiques

L'esperanceE[X] d'une v.a.Xdonne sa valeur moyenne. Sa variance Var(X) = E[X2]E[X]2donne une indication sur sa dispersion autour de sa valeur moyenne. Son ecart-type estX=pVar(X).

1.2.1 Lois de v.a. nies deja connues

Loi de Bernoulli de parametrepnoteeb(p).Une v.a.Xsuit une loi de Bernoulli de parametrep2[0;1] si elle ne prend que les deux valeurs 0 et 1 avec :

P(X= 1) =p;P(X= 0) = 1p:=q:

Son esperance estE[X] = 0(1p) + 1p=p. Sa variance est Var(X) =E[X2]

E[X]2=pp2=p(1p).

Une v.a.X'b(p) modelise si le succes ou l'echec d'une experience qui a une proba- bilitepde succes.X= 1 en cas de succes.X= 0 en cas d'echec. Exemple.Pile ou face avecp= 1=2 si la piece est equilibree,p6= 1=2 si elle est truquee. Loi equirepartie sur un ensemble nifx1;:::;xngnoteeEfx1;:::;xng.Une v.a. Xprenant un nombre ni de valeursx1;:::;xnsuit une loi equirepartie quand P

X(fxig) =1n

;1in:

Son esperance estE[X] =x1++xnn

Exemple.Jet d'un de (equilibre).

Loi binomiale de parametresn;pnoteeB(n;p).Une v.a. suit une loi binomiale de parametresn2Netp2[0;1] si elle prend ses valeurs possibles parmif0;1;2;:::;ng et pour toutk= 0;1;:::;n, on a

P(X=k) =Cknpk(1p)nk(1.1)

ouCkn=n!k!(nk)!est le coecient binomial. Son esperance estE[X] =np. Sa variance est Var(X) =np(1p). Une v.a.X'B(n;p) modelise le nombre de succes dans une suite denexperiences independantes ou il y a une probabilitepde succes a chacune. Ainsi,P(X=k) est la probabilite d'avoir exactementksucces ennepreuves. On en deduit l'explication suivante des dierents facteurs de (1.1) :

Chapitre 1.

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{pkest la probabilite desksucces (par independance des tirages), { (1p)nkest la probabilite desnkechecs (pour avoirexactementksucces, il faut bien que lesnkautres epreuves soient des echecs), { etCknpour tenir compte de tous les choix possibles deskepreuves reussies sur les nrealisees. Interessons nous maintenant aux lois des v.a. discretes prenant un nombre inni de valeurs.

1.2.2 Lois Geometriques

Denition 1.2.1Une v.a.Xsuit la loi geometrique de parametrep2]0;1[noteeG(p) si elle prend des valeurs entieres positives non nulles et

P(X=k) = (1p)k1p; k2N:

Son esperance estE[X] = 1=p. Sa variance est Var(X) = 1=p2. Une v.a.X' G(p) modelise le rang du premier succes dans une suite innie d'epreuve independante ou a chacune il y a une probabilitepde succes.

1.2.3 Loi de Poisson

Cette loi intervient dans les processus aleatoires dont les eventualites sont faiblement probables et survenant independamment les unes des autes : cas de phenomenes acci- dentels, d'anomalies diverses, de problemes d'encombrement (les d'attente), de rupture de stocks, etc. Denition 1.2.2On dit qu'une v.a. discreteXsuit une loi de Poisson de parametre >0si elle prend des valeurs entieres postives ou nulles et

8k2N;P(X=k) =ekk!:

La loi de Poisson de parametre >0est noteeP().

Son esperance estE[X] =. Sa variance est Var(X) =. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson En liaison avec les lois binomiales, on dispose de la regle pratique suivante : Regle.Lorsquenest"grand»etnpest"petit», on peut remplacer la loi binomiale

B(n;p)par la loi de PoissonP()ou=np.

En general, on considere que lorsquenest de l'ordre de quelques centaines etnpest de l'ordre de quelques unites, l'approximation deB(n;p) parP(np) est assez bonne. Inter^et :sinest grand, le calcul des coecients binomiauxCknest fastidieux, voire impossible. En approchant par la loi de Poisson, le calcul devient assez simple.

Chapitre 1.

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Exemple :Le president d'un bureau de vote est ne un 1er avril. Il decide de noter le nombre de personnes ayant leur anniversaire le m^eme jour que lui parmi les 500 premiers votants. La situation peut ^etre assimilee a une suite de 500 epreuves independantes repetees avec une probabilitep= 1=365 de succes (on neglige les eets des annees bissextiles, sinon il faudrait plut^ot prendrep= 4=(3365 + 366)). NotonsXla variable aleatoire qui compte le nombre de succes.Xsuit une loiB(500;p), ainsi :

P(X=k) =Ck500pk(1p)500k:

Comme 500 est"grand»etnp= 500=365'1;37, la regle ci-dessus permet l'approxi- mation par la loiP() avec= 500=365. Voici une comparaison numerique pour les petites valeurs dek:k012345

kk!0;25410;34810;23850;10890;03730;0102On constate eectivement que les valeurs approchees sont tres proches des valeurs

reelles.

1.3 Lois a densite classiques

Une loi est a densite (de densitef) si les probabilites s'expriment comme des inte- grales :

P(X2[a;b]) =Z

b a f(t)dt:

1.3.1 Loi uniforme

Cette loi modelise un phenomene uniforme sur un intervalle donne. Denition 1.3.1La v.a.Xsuit une loi uniforme sur l'intervalle borne[a;b]si elle a une densitefconstante sur cet intervalle et nulle en dehors. Elle est noteeU([a;b]). Sa densite est alors f(t) =1=(ba)sit2[a;b];

0sit62[a;b]:

Cette loi est l'equivalent continue de la loi discrete equirepartie.

Son esperance estE[X] =ba2

. Sa variance est Var(X) =(ba)212 Le resultat suivant permet d'eviter des calculs fastidieux pour la probabilite uniforme d'un intervalle.

Chapitre 1.

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Proposition 1.3.1SiXest une v.a. de loi uniforme sur[a;b]alors pour tout intervalle IdeR:

P(X2I) =l([a;b]\I)l([a;b])

oul(J)designe la longueur de l'intervalleJ(l([a;b]) =ba).

1.3.2 Lois exponentielles

Denition 1.3.2Soitun reel strictement positif. La v.a.Xsuit une loi exponentielle de parametre, noteeE(), si elle admet pour densite : f(t) =et1[0;+1[(t): Son esperance estE[X] = 1=. Sa variance est Var(X) = 1=2. En pratique, a la place de la fonction de repartition, on utilise souvent la fonction de survieGd'une v.a. de loi exponentielle G

X(x) =P(X > x) = 1FX(x) =1 six0;

e xsix0: Les lois exponentielles sont souvent utilisees pour modeliser des temps d'attente ou des durees de vie. Par exemple, les temps d'attente a partir de maintenant du prochain tremblement de terre, de la prochaine panne d'un appareil, de la prochaine desintegration dans un reacteur nucleaire suivent des lois exponentielles. Le parametredesigne alors l'inverse du temps d'attente moyen.

Chapitre 2

Loi normale (ou gaussienne)

C'est une loi tres importante pour plusieurs raisons : { Elle appara^t dans de nombreux problemes courants (pour les modeliser), { Bien souvent, on peut approcher une loi par une loi normale. { De plus, on dispose de la table de ses valeurs a laquelle on se referre pour des calculs approches. Synonymes pour cette loi : loi gaussienne, loi de Gauss.

2.1 Denition

Denition 2.1.1La loi normale standardN(0;1)est celle de densitef0;1(t) =1p2et2=2. Son esperance estE[X] = 0. Sa variance est Var(X) = 1. Denition 2.1.2On dit que la v.a.Xsuit une loi normaleN(m;2)si elle a pour densite la fonction f m;(t) =1p22exp(tm)222: Son esperance estE[X] =m. Sa variance est Var(X) =2. Remarque 2.1.1Cette loi est fondamentale en theorie des probabilites et en statis- tique : c'est la loi limite de la moyenne dans une suite innie d'epreuves repetees in- dependantes. En pratique elle sert a modeliser les eets additifs de petits phenomenes aleatoires independants repetes souvent.

Regles pour les lois normales.

SiX' N(m;2)eta2RalorsaX' N(am;a2).

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