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Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre Je serai 4 2 Extrémum local d'une fonction de plusieurs variables 58 A Annales corrigées 111 B Trouver l'erreur 121

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Daniel ALIBERT Fonctions de plusieurs variables Intégrales dépendant d'un paramètre Objectifs : Chercher si une fonction de plusieurs variables est continue

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

MATH

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi

´erentielles.

G.Ch `eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2

R`egledujeu

Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi

´erentielles.

Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

i iiR`egledujeu

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.3Di

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

ne,Calculd'incertitude37

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

iii ivTABLEDESMATI ERES II

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

1.1.1

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.1

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

cientscons tants95

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses

1.1D´efinit ion

L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.

Celasenote delaman i`eresuivant e:

f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x

1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5

6Fonctionsdeplusieursvariables

Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)

1.Donner l'imagede (e,0).

2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.

Solution:

1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.

L'imagede(e,0)par fest1.

2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R

sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.

1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde

deuxvari ables

1.2.1D´efini tion

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

´erentielles.

G.Ch `eze

R`egledujeu

´erentielles.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

1.1D´efinit ion

Celasenote delaman i`eresuivant e:

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x