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(consultez votre manuel favori) Un arc ou courbe paramétrée de classe C1 dans une aire de longueur ≤ π ; l'égalité n'ayant lieu que pour le cercle (il s'agit 

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On dit alors que ϕ définit un changement admissible de paramètre sur l'arc γ Pour calculer une longueur d'une courbe géométrique simple : être raisonnable 

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Au voisinage d'un point régulier une courbe de classe Ck est le graphe d'une fonction de classe Ck 1 8 Longueur d'arc Soit γ : [a, b] → Rn une courbe 

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γ par longueur d'arc Exemple Calculer la courbure de la courbe paramétrée c : R → R2 lorsque c(t) = ( 

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2 Longueur et abscisse curviligne La norme considérée sur Rn est toujours la norme euclidienne Soit f : I → Rn une courbe paramétrée et soit 

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Une courbe paramétrée (dans R3) est une fonction d'un intervalle I de R `a valeurs dans R3 la distance `a A par rapport `a la longueur de [A, B] est t Ainsi la 

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Donc, on étudie l'arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur 2π au choix, comme [−π,π] par exemple, puis on obtient la courbe complète par 

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9 jui 2013 · 1 Longueur d'une courbe Dans tout ce chapître, nous nous intéresserons à des courbes paramétrées, qui peuvent très bien être définies par 

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Nous allons maintenant voir comment calculer la longueur d'une courbe paramétrée Pour cela, fixons un arc paramétré γ : I → R2 et deux points t0,t1 ∈ I avec 

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SURLALONGUEURD'UNECOURBE

PATRICELASSÈRE

1.Préliminaires

L(f)=Z

b a kf0(t)kdt=Z b aq f21(t)+f22(t)++f2d(t)dt: vériant

8t1;t22[a;b]:s(t2)s(t1)=Z

t2 t

1kf0(t)kdt:

C

1deI=[a;b]surJ=s([a;b])etl'arc

J3t7!g(t)=f(s1(t))

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdt

B=f(1).nnoteLmincetinmum.

L minL(f0)=Z 1 0 kABkdt=kABk:

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdtkABk

BA=f(1)f(0)=Z

1 0 f0(t)dt 1

2PATRICELASSÈRE

donc kABk2=hBA;BAi =hBA;Z 1 0 f0(t)dti Z 1 0 hBA;f0(t)idt Z 1 0 kABkkf0(t)kdt(parCauchySchwarz) =kABkL(f) soit(B6=A):kABkL(f)etletourestjoué. (R;;)où donnéepar

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdt =RZ 1 0q sin2((t))0(t)+02(t)dt RZ 1 0

0(t)dt=R((1)(0))=R1:

3.L'inégalitéisopérimétrique

SURLALONGUEURD'UNECOURBE3

:[0;2]37! (t)=(x(t);y(t))2R2; avecj y(0)=y()=0. (0)

L'airedudomainedélimitéparlacourbe

estdonnéepar A=Z 2 0 y(t)x0(t)dt=Z 0 y(t)x0(t)dt+Z 2 y(t)x0(t)dt:=A1+A2: a=y(t);b=x0(t)2ontire (1)A1=Z 0 y(t)x0(t)dt21Z 0 (y(t)2+x0(t)2)dt A 121Z
0 (y(t)2+1y0(t)2)dt: y(t)=u(t)sin(t)

4PATRICELASSÈRE

A 121Z
21Z
0h u2(t)sin(t)cos(t)

0+1u02(t)sin2(t)i

dt 21Z

01u02(t)sin2(t)dt

F21Z 0 1dt= 2;

1y02(t),soitnalement

4.Quelquescalculs

f(a)=g(a);f(b)=g(b);8t2[a;b]:g(t)f(t):

MontrerqueZb

ap

1+f02(t)dtZ

b ap1+f02(t)dt: gf a b celledugraphedeg.Établissonsrigoureusementcerésultat:soit (t)=(1+t2)1=2,comme

00(t)=(1+t2)1=2>0, estconvexesurRetparTayor-Lagrange:

(t)= (s)+(ts) 0(s)+(ts)2

2 00() (s)+(ts) 0(s);8s;t2R;

(1+g0(t)2)1=2(1+f0(t)2)1=2+(g0(t)f0(t)) 0(f0(t)) etsionintègrecesinégalités:Zb a (1+g0(t)2)1=2dtZ b a (1+f0(t)2)1=2dt+Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt résultatilestsusantdemontrerqueZb a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt0:

SURLALONGUEURD'UNECOURBE5

Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt=[(g(t)f(t)) 0(f0(t))]b aZ b a (g(t)f(t))( 0(f0(t)))0dt =0Z b a (g(t)f(t)) 00(f0(t))f00(t)dt0 cargf0; 00>0etf000.Sifn'estpasdeclasseC2ilfautêtreplusdélicatetappliquer Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt= 0(f0(a))Z a (g0(t)f0(t))dt+ 0(f0(b))Z b (g0(t)f0(t))dt =[ 0(f0(b)) 0(f0(a))](f()g())0 carfget 0(f0)croissantesur[a;b]carfet sontconvexes.CQFD.o k>1

2,l'intersecteenlesdeuxpoints

p 2k1 k;2k1k

L(k)=2Z

p 2k1 k

0p1+4k2t2dt=1kZ

2p 2k1 0p

1+u2du;

(8)L:k2[1

2;+1[7!L(k)=1kZ

2p 2k1 0p

1+u2du:

k<1=2k>1=2 Z b a u(t)v(t)dt=u(a)Z a v(t)dt+u(b)Z b v(t)dt

6PATRICELASSÈRE

2laparabolesetrouve

+de0à

Justionscettedernièrearmation:

L(k)=1

kZ 2p 2k1 0p

1+u2du

1 kZ 2p 2k1 0 p 1+u2u du+1kZ 2p 2k1 0 udu 1 kZ 2p 2k1 0du p1+u2+u+4(2k1)2k 1 kZ 2p 2k1 0du p1+u2+u+42k 1 kI(k)+42k; ainsi,

L(k)>4()Z

2p 2k1 0du p1+u2+u>2 maislafonctioncroissanteIvérie lim k!1Z 2p 2k1 0du p1+u2+u=+1

2telque

k>k0)I(k)>1etparsuite 9ko>1

2:k>k0=)L(k)>4:

q +1car

L(k)=1

kI(k)+42kquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18