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Application du calcul intégral Forme paramétrique d'un arc de cyclo¨ıde Intuitivement, une cycloıde est la trajectoire parcourue par la valve M d'une roue d'un

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Le mouvement du point M sur la cycloïde r peut être considéré comme le L' équation d'Euler traduisant le minimum de certe intégrale s'écrit, si l'on note /(y,y')  

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Cette équation paramé- trique permet de décrire cette courbe, et on peut par des techniques de calcul différentiel et de calcul intégral, en déduire les princi- pales  

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La cycloïde est la courbe engendrée par un point d'un cercle (appelé compagnon de la cycloïde » [en fait c'est la sinusoïde d'équation y = R(1 − cos x )]

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EQUATIONS La cycloïde est la trajectoire d'un point M situé sur un cercle roulant sans glisser sur un axe On obtient un système d'équations paramétriques

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25 avr 2012 · Équations paramétriques de la cycloïde AOB (en rouge), dans le repère Oxy choisi (pour des Le point du cercle choisi, qui décrit la cycloïde,

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Le cercle ayant tourné de 0, le point A vient en A, et AI = IA, Pour le point M: ( X = R( + sin o) y = R (1 - cos 6) équations paramétriques de la cycloïde dx = R (1 + 

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1 1 Equation cartésienne, représentation paramétrique Dans de extérieur) d' un autre cercle, le point décrit une courbe appelée (hypo)cycloıde, resp

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La cycloïde : du brachistochrone au pendule de Huygens l'équation d'Euler- Lagrange, qui permet de résoudre que la cycloïde est une courbe isochrone

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HISTORIQUEHISTORIQUEHISTORIQUEHISTORIQUE

C'est la courbe du 17

ème siècle , appelée aussi

" l'Hélène des Mathématiciens » car elle a provoqué de nombreuses et vives discussions chez les mathématiciens de toute l'Europe . C'est Blaise Pascal (1623-1662) qui s'y est intéréssé le plus ; c'est au cours d'une terrible rage de dents qu'il s'est lancé dans la description et l'étude de la roulette . Voici comment il la décrit dans son " Histoire de la Roulette »: La roulette est une ligne si commune , qu'après la droite et la circulaire, il n'y en a point de si fréquente ; et elle se décrit si souvent aux yeux de tout le monde qu'il y a lieu de s'étonner qu'elle n'ait point été considérée par les anciens , dans lesquels on n'en trouve rien ; car ce n'est autre chose que le chemin que fait en l'air le clou d'une roue , quand elle roule

de son mouvement ordinaire , depuis que le clou commence à s'élever de terre , jusqu'à ce que le

mouvement continu de la roue l'ait rapporté à terre , après un tour entier achevé : supposant que la roue soit un cercle parfait , le clou un point dans sa circonférence , et la terre parfaitement plate.

EQUATIONS

La cycloïde est la trajectoire d'un point M situé sur un cercle roulant sans glisser sur un axe. On obtient un système d'équations paramétriques en prenant comme paramètre θ, mesure de l'angle )','(IAMA:

θθθθθcos)(sin)(

rryrrx

HUYGHENS(1629-1695) démontre que la cycloïde est tautochrone : les deux billes arriveront en même temps au point O.

Ci-dessus, on voit la trace laissée par une source lumineuse fixée sur une roue de vélo.

BERNOULLI Jacques démontre en 1696 que la cycloïde est une courbe brachistochrone : c'est la courbe qui réduit au minimum le temps que met

un corps pesant pour descendre d'un point à un autre : ci-dessous un appareil permettant de comparer ligne droite et cycloïde.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5