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ECE1-B2015-2016Feuille d"exercices n°1 :

Logique et raisonnements mathématiques

Opérateur d"implication

Exercice 1.(?)

1)A-t-on(1 = 2))(1 = 1)?

2)A-t-on(1 = 2))(ln1 = 1)?

3)A-t-on, pourxréel,(x >1))(x>2)?

4)A-t-on, pourxréel,(x23x+ 2 = 0))(x>0)?

5)Que peut-on dire des réciproques des propositions précédentes?

Exercice 2.(☀)

On considère la proposition " s"il pleut, mon jardin est mouillé ».

Quelle est sa négation?

a." s"il ne pleut pas, mon jardin n"est pas mouillé » b." s"il ne pleut pas, mon jardin est mouillé » c." s"il pleut, mon jardin n"est pas mouillé » d." si mon jardin n"est pas mouillé, il ne pleut pas » e." il pleut et mon jardin n"est pas mouillé » f.autre réponse.Exercice 3.(☀) Traduire les propositions suivantes (exprimées en français) à l"aide de sym- boles mathématiques.

1)Pour quepsoit vraie, il faut queqsoit vraie.

2)Pour quepsoit vraie, il suffit queqsoit vraie.

3)La propositionqest une condition suffisante de la propositionp.

4)Pour qu"un réelxsoit positif, il suffit qu"il ne soit pas négatif.

Opérateur d"équivalence

Exercice 4.(?)

Soitxun réel. A-t-on(x2= 9),(x= 3)?

(en français : pour quex2= 9il faut et il suffit quex= 3)

Exercice 5.(☀)

Démontrer que(p)q),(NON(q))NON(p)).

Exercice 6.(☀)

Soientpetqdeux propositions. Montrer que :

1)NON(pETq),(NON(p)OU NON(q))

2)NON(pOUq),(NON(p)ET NON(q))

3)NON(NON(p)),p

4)[(p)q)ET(q)r)])(p)r)

Exercice 7.(☀)

Soientpetqdeux propositions. Exprimer la proposition(p,q)en n"utili- sant que les connecteurs logiquesET,OUetNON.

Utilisation de quantificateurs

Exercice 8.(☀)

Établir la négation de :8x2R;8y2R; x6y)f(x)6f(y)(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE1-B2015-2016Exercice 9.(☀)Vrai ou faux?

Justifier les assertions suivantes quand elles sont justes et donner un contre- exemple quand elles sont fausses. a.8x2R; x2>x b.8x2R;9y2R; x=y2

Exercice 10.(☀)Vrai ou faux?

Parmi les propositions ci-dessous, exhiber un élément qui permet de satisfaire celles qui sont justes. a.9x2R; x2= 3 b.9x2R;8n2N; x6n c.9p2Z;8n2Z; p6n d.9x2R;8y2R;9z2R; ey=xz2

Exercice 11.(☀☀)

Exprimer à l"aide de quantificateurs les propositions suivantes définies surN.

1)Tout entier est le carré d"un entier.

2)Tout entier a pour carré la somme des carrés de deux entiers.

3)Certains entiers ont pour carré la somme des carrés de deux entiers.

4)Aucun entier n"est plus grand que tous les autres.

5)L"entiernest impair.

Exprimer la négation de ces propositions.

Exercice 12.(☀☀)

Soitfune fonction deRdansR. Que signifient les deux propositions sui- vantes?

1)(8x2R);(9M2R+); f(x)6M

2)(9M2R+);(8x2R); f(x)6MExercice 13.(☀☀)

Écrire à l"aide de quantificateurs les propositions suivantes. a.La fonctionf:R!Radmet un maximum. b.L"équationf(x) = 0a exactement une solution dansR. c.L"équationf(x) = 0n"a pas de solution. d.La fonctionfest constante. e.Tout réel a un antécédent parf. f.La fonctionfne prend pas deux fois la même valeur. g.La fonctionfest strictement croissante.

Méthodes de démonstration

Exercice 14.(?)

Démontrer que la proposition suivante est fausse.

8x2] 1;1[;23x:(ln(1x) + 1):(3x3+xex4)>0

Exercice 15.(☀☀)

Pourxélément deR, montrer que :((8">0);x6"))x60.

On procédera par contraposée.

Exercice 16.(☀☀)