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SOLUTIONS DES EXERCICES du solide, εth = α(T −T0), en utilisant E et ν Figure correspondant à l'exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) : εp

MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES

SOLUTIONS DES EXERCICES

23
ÉTUDE DE CONTRAINTES THERMIQUES DANS UN BARRAGE

Géométrie et gradient thermique

On veut caractériser les contraintes d"origine thermique dans un barrage en béton. On ne considère pas pour le moment les contraintes dues à la pression de l"eau retenue, qui peuvent être prises en compte par superposition. On vérifiera en fin de compte que les valeurs correspondantes sont faibles devant les contraintes thermomécaniques. On étudie le prisme de la figure ci-dessus, d"épaisseureselonx1, "infini" selonx2, "long" selonx3, (hauteurh). La température lors de la fabrication est uniformeT=T0, et elle évolue ensuite, pour prendre une valeurT1en x

1=0 etT2enx1=e, avec un profil que l"on supposera linéaire.Application numérique :

- module d"Young :E= 40 000 MPa; coefficient de Poisson :n=0.2 - coefficient de dilatation thermique :a=14.10-6/◦C - température au moment de la construction :T0=20◦C - température côté air : en hiver,T1=-40◦C ; en été,T?

1=20◦C

- température côté eau :T2=0◦C

On utilisera :

l=En(1+n)(1-2n)2μ=E1+n soit :

l+2μ=E(1-n)(1+n)(1-2n)3l+2μ=E1-2n1.Prévoir, sans calcul, la forme des tenseurs de contraintes et de

déformations, ainsi que les directions principales.Termes 12 et 23 nuls car DP en direction 2; termes 13 nuls car il y a

indépendance enx3, et une section de normalex3plane reste plane. Dans le repèrex1,x2,x3, les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement représentés par les matrices : (s 110 0
0s220

0 0s33)

et( (e 110 0
0 0 0

0 0e33)

)(1) e

33=e033est uniforme dans le solide

(hypothèse dedéformation plane généralisée)2.Ecrire les relations de Hooke donnantsijen fonction deekl, en

prenant en compte une dilatation thermique isotrope en chaque point 24
du solide,eth=a(T-T0), en utilisant E etn.s ij=Cijkl(ekl-a(T-T0)dkl) s ij=lelldij+2μeij-(3l+2μ)a(T-T0)dij (1+n)(1-2n)s11E = (1-n)e11+ne033 -(1+n)a(T-T0)(2) (1+n)(1-2n)s22E =n(e11+e033)-(1+n)a(T-T0)(3) (1+n)(1-2n)s33E = (1-n)e033+ne11 -(1+n)a(T-T0)(4)

3.A l"aide des équations d"équilibre et des conditions aux limites en

1=0et x1=e, trouvers11.Les contraintes et les déformations ne dépendent que dex1, la seule

équation d"équilibre non triviale s"exprimes11,1=0;s11est donc indépendante dex1. Comme par ailleurs elle doit être nulle à la fois enx1=0 etx1=e, elle est nulle partout : ?M,s11=0

Ceci fournit la relation :

(1-n)e11+ne033-(1+n)a(T-T0) =04.En écrivant la résultante des efforts sur une section courante du

barrage de normale x

3, trouvers33. Calculer la valeur maximale de

s 33.Z
e

0s33dx=0 conduit à :e033=(1+n)e

aZ e

0(T-T0)dxd"où :e11=1+n1-na(T-T0)-n(1+n)1-naZ

0T-T0e

dxIl vient alors :s33=-Ea(T-T0)1-n+Ea1-nZ e

0T-T0e

dx. Le développement de cette expression montre ques33est indépen- dante deT0, ce qui donne les expressions suivantes, respectivement pour le cas général :s

33=-EaT1-n+Ea1-nZ

e 0Te dx et pour un profil linéaire :s

33=Ea1-n?

T1+T22

-T? Dans ce dernier cas, la contrainte est maximale en surface; elle est positive du côté froid, et vaut :s

33max=Ea1-nT

2-T12 Il faut aussi remarquer que le résultat ne dépend pas directement de l"épaisseur du mur. Dans la pratique, pour des conditions d"échanges thermiques données, une épaisseur plus importante conduira à des gradients plus importants. On en déduit que les parois qui résistent le mieux aux contraintes thermomécaniques sont les parois les plus minces.5.Calculers22.En remplaçante11ete033danss22, il vient :s

22=-Ea(T-T0)1-n+Ean1-nZ

0T-T0e

Dans le cas d"un profil linéaire,

22=-Ea(T-T0)1-n+Ean1-n?

T1+T22

-T0? 25

On note que :

siT1=T2s22=Ea(T0-T1); (traction simple en direction 2) siT0=T1+T22 s22=-Ea(T-T0)1-nApplication numérique : -Les contraintes les plus critiques sont obtenues en hiver : s s s

22max=36.4MPaDu côté extérieur (froid), le béton est en traction selon les directions

horizontale et verticale. Les valeurs obtenues sont suffisantes pour

produire des fissures (le béton résiste à moins de 10 MPa en traction).-Entre l"hiver et l"été, la variation de déformation verticale ne dépend

que de la variation de température de l"air : De

033=(1+n)e

aZ e

0(T?-T)dx

= (1+n)aT? 1-T12 =1.2×14.10-6×60/2=5.04×10-4 Sur la hauteur de 200m, le déplacement vaut donc environ 10 cm! Il faut impérativement tenir compte des dilatations dans la conception de ce type d"ouvrage. 26

FLEXION D"UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRExx13

Epaisseur b

MM2hx x

2Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur

2het de largeurb. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés),

et on suppose qu"une section droite de normalex1reste droite. Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E,n) parfaitement plastique (sy).1.Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité?En flexion pure, l"état de contrainte est uniaxial; le déplacementu1, donce11ets11sont proportionnels àx3(origine des axes sur la ligne neutre). s=( (s0 0 0 0 0

0 0 0)

;ee=( (s/E0 0

0-ns/E0

0 0-ns/E)

)(1) L"écriture de l"équilibre des moments (Figure 2a) M=Z +h -hx3s11bdx3donne, en supposant ques11=kx3:s

11=s=Mx3/I, avecI=2bh3/3

s max=sm=3M/2bh2,s(x3) = (x3/h)sm2.Trouver le moment M epour lequel la plasticité débute.Il y a plastification lorsquesm=sy, soit :Me=2bh2sy/3 s-Ms M s 0-0 s s 0-0 sx 3

CompressionTraction

-h+h a -a b ax 3 c x

3Figure 2 : Profil de contraintes11dans une poutre en flexion simple :

(a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite3.Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse M

Montrer qu"il existe une valeur limite M

¥du moment de flexion

zones plastiques, l"une en traction (x3>a), l"autre en compression (x3<-a). Dans le noyau élastique, on a toujours linéarité de la contrainte avecx3:s=kx3; dans les zones plastiques, on 27
as= +sy(x3>a), ous=-sy(x3<-a)(Fig.2b). Les deux inconnues du problème sontketa.

Elles doivent vérifier :

- la condition d"équilibre (1) :Z +h -hx3sbdx3=M - la continuité de la déformation en±a, entraînant celle de la contrainte à la frontière entre les zones élastique et plastique : ka=syd"où :k=sy/a. En remplaçantspar son expression dans l"égalité (1), on obtient la valeur deM: M/2=Z a

0x3(syx3/a)bdx3+Z

h ax3bsydx3

M=bsy(h2-a2/3)Remarques :

- Sia=h:Mvaut bienMe= (2/3)bsyh2 - Sia=0 :M=M¥=bsyh2=3Me/2 Dans les deux cas, les solutions élastique et plastique se raccordent correctement. PourM=M¥, la totalité de la poutre est plastifiée, elle ne peut plus supporter de charge supplémentaire, on a unerotule plastique

(Fig.2c).4.Que se passe-t-il lorsqu"on relâche l"effort (M=0),i)dans le cas où le moment maximum atteint vaut M

eMontrerqu"ilsubsistedanscederniercasdescontraintesrésiduelles.Si on n"a pas dépassé le momentMe, l"ensemble de la structure

reste élastique, si bien que, après relâchement de l"effort, la structure reprendra sa forme initiale, et il n"y aura plus de contraintes. Au

contraire, s"il y a eu plastification partielle, lorsqu"on fera passer lemomentdeMmàzéro,lesfibresquisontallongées(resp.raccourcies)

de façon irréversible vont se retrouver en compression (resp. traction). En supposant que l"ensemble de la décharge s"effectue de façon élastique (ce que l"on vérifiera par la suite), on obtient l"état final par superposition de l"état actuel et de la distribution de contrainte que l"on obtiendrait en élastique avec le moment-Mm, soit, quel que soitx3compris entre-het+h:s=-Mmx3/I. Cela donne le profil suivant, reporté en figure 3a : - pourx3≥as=sy-3Mmx3/2bh3

-On note que la pente-3Mm/2bh3est négative pour|x3|>a.-Les contraintes résiduelles sontautoéquilibrées:Z

+h -hsdx3=0.-On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximumMmtend vers le moment limiteM¥=bsyh2, la contraintescobtenue par superposition enx3=hreste supérieure à-sy: s c=sy-(3bsyh2/2bh3)h=-sy/2sc s Ts0-0 s-/2 0 /2 -aa a bs 0 s T CC Tx

3x3Figure 3 : Profil de contraintes11après décharge : (a) Pour une mise en

charge élastoplastique, (b) Pour une mise en charge à la charge limite 28

5.Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée

au moment de flexion : définir dans le plan P-M la "limited"élasticité", pour laquelle il y a plasticité commençante, et la

"charge limite" correspondant à la ruine de la structure parquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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SOLUTIONS DES EXERCICES

Géométrie et gradient thermique

1=0 etT2enx1=e, avec un profil que l"on supposera linéaire.Application numérique :

1=20◦C

On utilisera :

0 0s33)

0 0e33)

33=e033est uniforme dans le solide

3.A l"aide des équations d"équilibre et des conditions aux limites en

1=0et x1=e, trouvers11.Les contraintes et les déformations ne dépendent que dex1, la seule

Ceci fournit la relation :

3, trouvers33. Calculer la valeur maximale de

0s33dx=0 conduit à :e033=(1+n)e

0(T-T0)dxd"où :e11=1+n1-na(T-T0)-n(1+n)1-naZ

0T-T0e

0T-T0e

33=-EaT1-n+Ea1-nZ

33=Ea1-n?

T1+T22

33max=Ea1-nT

22=-Ea(T-T0)1-n+Ean1-nZ

0T-T0e

Dans le cas d"un profil linéaire,

22=-Ea(T-T0)1-n+Ean1-n?

T1+T22

On note que :

22max=36.4MPaDu côté extérieur (froid), le béton est en traction selon les directions

033=(1+n)e

0(T?-T)dx

FLEXION D"UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRExx13

Epaisseur b

2Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

2het de largeurb. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés),

0 0 0)

0-ns/E0

0 0-ns/E)

11=s=Mx3/I, avecI=2bh3/3

CompressionTraction

3Figure 2 : Profil de contraintes11dans une poutre en flexion simple :

Montrer qu"il existe une valeur limite M

¥du moment de flexion

Elles doivent vérifier :

0x3(syx3/a)bdx3+Z

M=bsy(h2-a2/3)Remarques :

3x3Figure 3 : Profil de contraintes11après décharge : (a) Pour une mise en

5.Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée