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Chapitre 6

Les tests d͸hypothļse

2 2 -- Les tests du Les tests du cc22((chi 2) chi 2)

(a) Tester la liaison entre (a) Tester la liaison entre deux variables qualitatives Exemple du chapitre précédentExemple du chapitre précédent Fumer augmente-t-il le risque de développer une certaine maladie ? p

1= proportion de malades chez les non fumeurs

p

2 = proportion de malades chez les fumeurs

Test d"hypothèse:

Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

H0: p1=p2H1: p

1≠p2

Echantillonnage n1=197 non fumeurs, 12 malades

n

2=178 fumeurs, 23 malades

D"un point de vue probabiliste:

p1=P(M| non F), p2=P(M|F) avec M = " être malade », F = " fumer »

Mathématiquement

: p1=p2ÛM et F indépendantes Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables Autre écriture du test d"hypothèse (équivalente)

H0: M et F indépendantes

H1: M et F liées

On peut construire une table de contingence:

Modalités

Nombre de fumeurs non malades

Modalités

de M

Modalités

de F M FÇ

Nombre total d"individus

mesurés

TNombre de malades

M Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables En absence de liaison entre M et F, on aurait P(MÇF) = P(M) ´P(F)

Le nombre de fumeurs malades serait

TFMT TF

TMTFPMPTFMPFMeffectif

La table de contingence serait (on parle de

table théoriquetable théorique

TFM´

TFM´

TFM´

F F MMT

Application

Numérique

Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables On peut comparer les tables observées et théoriques Table observéeTable observéeTable théoriqueTable théorique

Ces deux tables sont différentes:

?c"est normal (effets d"échantillonnage) Par contre, si H0 est vraie (M et F indépendantes) les deux tables ne devraient pas être trop " distantes » Le chi2 (c2) mesure la distance entre les deux tables Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

Mathématiquement on a:

casesobs 2 2)( c

Distance entre observations

Réduction de l"écart entre

Si H0 est vraie, alors est la réalisation d"un

Il suffit de comparer la valeur trouvée au seuil d"un chi2 à 1 ddl

Distance entre observations

et effectifs théoriques Réduction de l"écart entre observation et théorie (nous ramène à des lois connues) 2 obsc )1( 2 ddl c Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables Application numérique:Application numérique: Table observéeTable observéeTable théoriqueTable théorique

On lit dans la table

il y a donc une liaison significative entre M et F (ici effet de F sur M) 71.4
6.16 )6.1623( 4.18 )4.1812( 4. 161
)4.161155( 6. 178
)6.178185( 2222

2=-+-+-+-=

obsc

84.3)1,05.0(

2 ==ddl seuil ac 84.3
2 obsc Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

Remarque:Remarque:

Deux méthodes pour traiter une même question (effet de F sur M ?)

1) Comparaison de fréquences|z|=2.17 comparé à ea=1.962)

Chi 2 2) Chi 2 comparé à

Les deux tests sont

parfaitement équivalentsparfaitement équivalents car (Bien le cas ici: 2.17

2=4.71 et 1.962=3.84)

Et donc

84.3)1,05.0(71.4

22
===ddl seuilobs acc 2222
)1,( aeacc== ddlz seuilobs )1,( 22
ddlz seuilobs acce a Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

Test de la liaison entre deux variables ayant plus de 2 modalités:Test de la liaison entre deux variables ayant plus de 2 modalités:

Soient X et Y deux variables ayant n1et n2modalités (X1,..., Xn1) pour X et (Y1,..., Yn

2) pour Y

On peut construire la table de contingence observée

—Њ h

bЊ Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

On calcul les effectifs théoriques:

On teste:

H0: X et Y indépendantes

H1: X et Y liées

TNMH ji ji ij ij H O 2 2 c On calcule le chi2 observé de la même manière On montre (maths) que si H0 est vraie alors le chi2 observé est la réalisation d"un chi 2 à (n

1-1)´(n2-1) ddl

?On compare à jiij ij ij obs HH O 2 c ddlnn seuilobs )1()1(,

2122-´-

acc

Condition d"applicationCondition d"application

: les effectifs théoriques (les Hj,i) doivent être tous ³5

SinonSinon

: on regroupe des modalités (de X ou Y, au choix) Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables Exemple:Effet du génotype (AA, Aa ou aa) sur la vitesse d"évolution d"un cancer chez la souris

X = génotype

Y = stade du cancer 1 an après exposition au cancérigène

Table théorique:

3. 36
99
96
2. 35
96
96
5. 24
67
96

0.1726299455.1626296455.1126267459.7

26299217.726296214.52626721

8.37262991006.36262961006.25262671003.

36
262
99
96
2. 35
262
96
96
5. 24
262
67
96

Condition d"applicationCondition d"application

: les effectifs théoriques sont bien tous ³5 Tester la liaison entre deux variablesTester la liaison entre deux variables

Chi2 observé:Valeur seuil:

3.22 8. 37
)8.3739( 6.36 )6.3645(... 7.7 )7.75( 4.5 )4.512( 2222

2=-+-++-+-=

obscNombre de ddl = (3-1) ´(4-1) = 6

On prend a=0.05

59.12)6,05.0(

2 ==ddl seuil ac ?=>)6,05.0( 22
ddl seuilobs acc H0 rejetée: effet du génotype (AA, Aa, aa) sur la vitesse d"évolution du cancer chez la souris (AA évoluent moins vite) (b) Tester l"ajustement de (b) Tester l"ajustement de données à une loi de probabilité

Le chi2 d"ajustementLe chi2 d"ajustement

Exemple:X = Nombre d"étudiants gauchers dans des groupes de TT de 4 personnes H0: X~B(n,p) (répartition aléatoire des gauchers dans les groupes de TT) H1: X ne suit pas une B(n,p) (honteuse mise à l"écart des gauchers) On connaît n (=4) mais pas le paramètre p de la binomiale ?Estimation ==gauchersdeproportionp

Le chi2 d"ajustementLe chi2 d"ajustement

Exemple:X = Nombre d"étudiants gauchers dans des groupes de TT de 4 personnes (T=66, n=4, knkk n ppCT -´)ˆ1(ˆ Regroupement (l"effectif théorique de X = 4 est inférieur à 5) (T=66, n=4, k= 0, 1, 2, 3 ou 4)

Le chi2 d"ajustementLe chi2 d"ajustement

Calcul du chi2 observé:Nombre de ddl: formule généraleNombre de ddl: formule générale 32.3
9.6 )9.610( 1.19 )1.1915( 4.26 )4.2624( 6.13 )6.1317( 2222

2=-+-+-+-=

obsc nb de ddl = nb de modalités (après regroupement) - 1 - nb de paramètres estimés = 4 -1 -1

Conclusion

: on ne rejette pas H0: distribution binomiale des gauchers dans les groupes de TT possiblepossible= 4 -1 -1 = 2 )2,05.0(99.5)2,05.0( 222
ddlddl seuilobsseuil accac Ce que l"on a vu ici avec une loi binomiale marche avec n"importe quelle loi de probabilité (normale, poisson,...)

Bilan regroupements et ddl

CHI2 d"ajustement

CHI2 d"homogénéité et d"indépendance

Degrés de liberté : (nbre de modalités de X - 1) * (nbre de modalités de Y - 1)

Regroupements de classes

si effectifs théoriques <5 Conditions d"application des tests et intervalles de confianceDans tous les cas (sans exception!!) - L"échantillon doit être représentatif de la population - Les mesures doivent être indépendantes en plus dans le cas où n<30 pour l"étude d"une moyenne (IC ou test): - La ou les variable(s) mesurée(s) doi(ven)t être distribuée(s) suivant une loi normale - si on compare deux moyennes avec n

1et n2<30, on suppose l"égalité des variances

En plus pour l"étude d"une fréquence

(IC ou test): en plus -Il faut que le ou les échantillons soi(en)t de taille n

³30

-Il faut que le ou les échantillons soi(en)t de taille n

³30

- Les np et nq doivent être ³5, plus exactement

En plus pour un test du chi2- n³50

- tous les effectifs théoriques doivent être ³5Intervalle de confiance nf, n(1-f)³5Test d"égalité à une fréquence théorique np, nq³5Test d"égalité de deux fréquences observées n

1f, n2f, n1(1-f), n2(1-f)³5

(f= fréquence commune observée)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13