Exercice 2 13 Soit u un nombre complexe de module 1, montrer que Re( 1 1 − u\ = 1 2 Exercice 2 14 Résoudre l'équation z3 = z Exercice 2 15 Soit (zn) n∈N
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 - Licence de
Exercice 1 : On donne 0 un réel tel que : cos( 0) = 2 √5 et sin( 0) = 1 √5 Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes
[PDF] Exercices corrigés nombres complexes mpsi pdf - f-static
Exercices corrigés nombres complexes mpsi pdf Continue Page 2 Exercice Résumé Fixed Return to Heads Exercices - Nombres complexes dans MPSI, PCSI,
[PDF] Nombres complexes - Optimal Sup Spé
Chapitre 2 Nombres complexes Maths Spé - MP/MP˚ et PSI/PSI˚ - Concours 2015 Correction des exercices Difficulté des exercices Exercices classiques :
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument θ, et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2) (zn + zn) en fonction de ρ et θ
[PDF] Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES Enoncé des exercices
Exercice 2 13 Soit u un nombre complexe de module 1, montrer que Re( 1 1 − u\ = 1 2 Exercice 2 14 Résoudre l'équation z3 = z Exercice 2 15 Soit (zn) n∈N
[PDF] Exercices de mathématiques – MPSI Lycée La Martinière Monplaisir
Exercices difficiles ou peu guidés Les plus Feuille d'exercice n° 01 : Fonctions usuelles Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants 1)
[PDF] Nombres complexes Exercices corrigés - Free
F Laroche Nombres Complexes corrigés Exercices corrigés 1 1 Qcm 1 http://perso wanadoo fr/gilles costantini/Lycee_fichiers/BAC/BACS2005 pdf 1 15
[PDF] NOMBRES COMPLEXES Notations algébrique - MPSI Saint-Brieuc
Exercice 12 : Déterminez les racines carrées de 9 + 40i et les racines quatri` emes de −7 − 24i Exercice 13 : 1 Présentez sous forme exponentielle u = 1 + i √3
[PDF] Lycée Hoche MPSI B Feuille Nombres complexes et trigonométrie iβ
aient le même module 7 (Ecp07) Déterminer les complexes z tels que z2 = z6 8 (Ecp08) Orthocentre Dans cet exercice
[PDF] Méthodes et Exercices de Mathématiques MPSI
Les nombres complexes 11 Les méthodes à retenir 11 Énoncés des exercices 14 Du mal à démarrer ? 18 Corrigés des exercices 19 3 Suites numériques
[PDF] exercices corrigés nombres complexes type bac pdf
[PDF] exercices corrigés nombres réels mpsi
[PDF] exercices corrigés nombres réels pdf
[PDF] exercices corrigés nombres réels seconde
[PDF] exercices corrigés nomenclature 1ere s
[PDF] exercices corrigés nomenclature alcanes
[PDF] exercices corrigés nomenclature chimie organique terminale s
[PDF] exercices corrigés nomenclature terminale s
[PDF] exercices corrigés nomenclature ts
[PDF] exercices corrigés ondes progressives pdf
[PDF] exercices corrigés optique ondulatoire
[PDF] exercices corrigés optique ondulatoire pdf
[PDF] exercices corrigés optique physique pdf
[PDF] exercices corrigés oscillations mécaniques libres pdf
Chapitre 2
NOMBRES COMPLEXES
Enoncé des exercices
1 Les basiques
Exercice 2.1Donner la forme polaire de :1 +i,1-i, i-1,⎷3 +iEn déduire
(i-1) 5 (i+ 1)4,(1 +i)44,?-4⎷3 +i? 19Exercice 2.2Calculer(1 +i)25et?
1 +i⎷3
1-i? 20Exercice 2.3Soitz1= 1 +i,z2=⎷3 +ietz3=z1
z2,Déterminer les parties réelles et imaginaire dez3,déterminer les modules et arguments dez1etz2, en déduire la forme polaire dez3. Justifier alors quecos?π12?
3 + 12⎷2et
sin 12? 3-12⎷2.En déduiretanπ12.
Exercice 2.4Soienta,betcdansC, montrer que
|1 +a|+|a+b|+|b| ≥1 Exercice 2.5Soitzun complexe de module1,calculer|1 +z|2+|1-z|2.Exercice 2.6Un entiernest dit somme de deux carrés s"il existe deux entiersaetbtels quen=a2+b2. Montrer
que sinetpsont sommes de deux carrés alors leur produitn×pl"est aussi.Par exemple on a5 = 2
2+ 12,401 = 202+ 12, quelle est la décomposition en somme de deux carrés de2005?
Exercice 2.7Résoudrez4=16⎷2
1-i(on demande uniquement la forme polaire des solutions )
Exercice 2.8Montrer que(|z|= 1etz?= 1)?i?z+ 1z-1?
?R Exercice 2.9Soientaetbdeux nombres complexes de module1tels queab?=-1, montrer quea+b1 +ab?R.1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
Exercice 2.10Soientaetbdeux complexes tels queab?= 1, on pose alorsz=a-b1-ab. Montrer que |z|= 1? |a|= 1ou|b|= 1 Exercice 2.11Soientaetbdeux complexes non nuls. Montrer que? ?a |a|2-b|b|2 ?=|a-b||a||b| Exercice 2.12Soienta,betctrois complexes de module1, montrer que|ab+bc+ca|=|a+b+c| Exercice 2.13Soituun nombre complexe de module1,montrer queRe?11-u? =12.Exercice 2.14Résoudre l"équationz3=z.
Exercice 2.15Soit(zn)n?Nune suite géométrique de raisonaoùaest un imaginaire pur non nul. Montrer que si
M na pour affixeznalors le triangle(MnMn+1Mn+2)est rectangle enMn+1. Exercice 2.16Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que les pointsM(z), N(z2)etP?1z? soient alignés.Exercice 2.17Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que les pointsM, AetNsoient alignés, oùAa pour
affixe1etNa pour affixe1 +z 2. Exercice 2.18Résoudre, pourn?N,n≥2, l"équation(z-i)n= 1. Exercice 2.19Résoudre l"équation(z-1)n= (z+ 1)noùn?N?. Exercice 2.20Déterminer les solutions dez4-(3 + 8i)z2-16 + 12i= 0 Exercice 2.21Résoudre?z2+ 3z-2?2+?2z2-3z+ 2?2= 0.Exercice 2.22Résoudre l"équationz3+z2+ (-1 + 3i)z+ 44 + 12i= 0sachant qu"elle admet une racine réelle.
Exercice 2.23On considère l"équation
z3-(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z-10(1 +i) = 0(E)
1. Résoudre(E)sachant qu"elle admet une racine imaginaire pure.
2. On notea,betcles trois racines etA,B,Cles points d"affixesa,betc.Que dire du triangle(ABC)?
Exercice 2.24On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie par ?z?C,z?=,f(z) =z-2 z+i1. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels que|f(z)|= 1
2. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?R
3. Déterminer le lieu des pointsMd"affixeztels quef(z)?iR
Exercice 2.25Soitλ?C\{-i},montrer l"équivalenceλ?R???
?1 +λi1-λi?
?= 1 -2/64-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES1. LES BASIQUES
Exercice 2.26Soitr1la rotation de centreAd"affixe-1et d"angleπ3etr2la rotation de centreBd"affixej=ei2π3
et d"angle2π3. Montrer quer2◦r1est une symétrie centrale dont on précisera l"affixe du centre.
Exercice 2.271. Soit(ABCD)un quadrilatère. On noteA?,B?,C?etD?les milieux des côtés[A,B],[B,C],[C,D]
et[D,A]. Montrer queA ?B?C?D?est un parallélogramme, dit parallélogramme de Varigon de(ABCD)2. On construit sur les côtés du triangle(ABC)les carrés(BCPQ)et(ACMN)comme indiqué sur la figure ci
dessous F G D EM N QP CB A On noteDetEles centres respectifs de ces carrés. On noteGle milieu de[A,B]etFle milieu de[M,P].Montrer que(EGDF)est un carré.
Exercice 2.28SoientA,B,CetDles sommets d"un quadrilatère convexe. On construit sur lescôtés quatre triangles
isocèles rectangles comme indiqué sur le schéma ci dessous. B"C" D" A" A D C B Montrer queA?C?=B?D?et que ces deux segments forment un angle droit.Exercice 2.29Résoudrez4= 24i-7.
-3/64-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
1. LES BASIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
Exercice 2.30Résoudre(z-i)n=zn
Exercice 2.31Soienta,betctrois complexes de module1tels queac?=-1,montrer que(c-b)(1 +ab)b(1 +ac)est un
imaginaire pur.Exercice 2.32Soit(ABC)un triangle,A?,B?etC?les milieux des côtés (A?milieu de[B,C], B?milieu de[A,C]
etC ?milieu de[A,C]) etMd"affixez. On notea,b,cles affixes deA,BetC. Déterminer les affixesp,qetrdeP,Q,Rsymétriques deMpar rapport àA ?,B?etC?. Montrer que les droites (AP),(BQ)et(CR)sont concourantes en un pointNqui est le milieu de[A,P],[B,Q]et[C,R].Reconnaître l"applicationM?-→N.Exercice 2.33Résoudre, pourn≥2,(z-1)n=zn,montrer que les points d"affixes les solutions sont tous sur une
droite parallèle à l"axeOyet ceci quelque soit la valeur den. Donner explicitement les solutions lorsquen= 2,3et4.
Exercice 2.34Résoudre, pournentier,n≥2l"équation(E) : (z+i)n=zn. Exercice 2.35Soitα?[0,2π[,on considère l"équation z2-2α+1cos(α)z+ 22α= 0
1. Résoudre cette équation, on noteraz
1etz2les solutions.
2. SoientAetBles points d"affixez
1etz2etOle point d"affixe0,déterminerαpour que le triangleOABsoit
équilatéral.
Exercice 2.36Soitωun complexe fixé.
1. Déterminer les complexesztels que
z2+ (2 +iω)z+ (iω+ 2-ω) = 0
On noteraz
1etz2les deux solutions.
2. Déterminer le lieu géométrique des complexesωtels que les pointsM,A,Bd"affixesω,z
1,z2respectivement
soient alignés.Exercice 2.37Soient(a,b)?Cde module1tels que|a+b|=⎷3,calculer|a-b|. Donner un exemple de couple de
complexe vérifiant cette condition.Exercice 2.38Montrer que?ztel que|z| ?= 1,on a?
?1-zn 1-z? n1- |z|
Exercice 2.39Soientz1,···,znn complexes de modules1,on définitz=? n? k=1 zk ??n? k=1 1 zk ,montrer quezest 2. Exercice 2.40Soitz?C, exprimerRe?z2?en fonction de|z|et deRe(z). Exercice 2.41Calculer les racines deuxièmes de1 +isous forme polaire, en déduirecosπ8etsin8ettanπ
8.Exercice 2.42Résoudre4z2+ 8|z|2-3 = 0oùz?C.
Exercice 2.43Soit(ABC)un (vrai) triangle,Qle milieu de[A,C]etRle milieu de[A,B]. On notea,b,cles longueurs des côtés opposés respectivement àA,BetC.Montrer que(BQ)?(CR)??b2+c2= 5a2
Exercice 2.44SoitD=?
z?C,? ?z-1 2? 2? etf:C-→Cdéfinie parf(z) =z(1-z), montrer queDest stable parf(i.e. quez?D=?f(z)?D). -4/64-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES2. LES TECHNIQUES
2 Les techniques
Exercice 2.45Soientaetbdeux complexes, montrer queExercice 2.46Soitaetbde module1etz?C, montrer que
Re ?z+ab z-a+b a-b? =-1Exercice 2.47Soita?Cde module1,on notez1,z2,..,znles solutions de l"équationzn=a. Montrer que les point
M kd"affixe(1 +zk)nsont alignés Exercice 2.48Soitz?C, on définitz?=izz-2ilorsquez?= 2i. On noteM,M ?,A,Bles points d"affixez,z?,2i,i respectivement.1. CalculerAM×BM
?. SiMdécrit un cercle de centreAet de rayonR,quel est le lieu deM??2. Calculer
??-→i ,--→AM? +??-→i ,---→BM . En déduire que siMdécrit une droite passant parA(privée deA), alorsM décrit une droite passant parB. Exercice 2.49Soitz?C, on noteMle point d"affixez, Ple point d"affixez2etQle point d"affixez3.Déterminer le lieu deMpour que
1.M,PetQsoient alignés.
2.M,PetQforment un triangle équilatéral.
Exercice 2.50Soitz?Ctel que|1 +z|<12,montrer que?
?1 +z 2? ?>1 Exercice 2.51Soitzde module1et tel que|1 +z|<1. Montrer que? ?1 +z 2? ?>1.En déduire que siuetvsont deux complexes de même module supérieur à1alors|u+v| ≥1ou?
?u2+v2? ?>1.Exercice 2.52Soit(a,b,c,d)?C4tel que?a+c=b+d
a+ib=c+id, on place les pointsA(a),B(b),C(c)etD(d). Donner la nature du quadrilatèreABCD. Montrer qu"il existeztel que(z-a)4= (z-b)4= (z-c)4= (z-d)4.
Exercice 2.53On considère l"équation(E)z3+ (a-3i)z-1-3i= 0. Déterminera?Rpour qu"elle admette une
solution réelle. Déterminer alors les solutions.Exercice 2.54SoitABCun triangle, on noterA,rBetrCles rotations de centreA,BetCet de même angleπ3.
Justifier que la transformationr
C◦rB◦rAest une symétrie centrale. On noteIle milieu de[B,C],comment doit être le triangleABCpour que le centre de cette rotation soit le milieu de[B,I]?Exercice 2.55SoientA,BetCles points d"affixea,betcrespectivement. Montrer que le triangle(ABC)est équi-
latéral si et seulement sia2+b2+c2=ab+ac+bc.
Exercice 2.56SoientA,BetCtrois points du plan, on place l"origineOdu plan au centre du cercle circonscritCà
(ABC). Ainsi0est l"affixe deO.On notea,betcles affixes deA,BetC.1. Montrer que l"affixe de l"orthocentreHde(ABC)esta+b+c.
2. (Olympiades de St Petersbourg 1997).
SoientDun point deC, on noteK,L,MetNles milieux de[A,B],[B,C],[C,D]et[D,A]. Montrer que les orthocentres des triangles(AKN),(BKL),(CLM)et(DMN)sont les sommets d"un parallélogramme.(Questions supplémentaires : comparer les isobarycentreset les aires de(ABCD)et de ce parallélogramme)
-5/64-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
Exercice 2.57
1. Résoudre dansCl"équationz2-(1 + 2i)z-1 +i= 0.On noteraz1etz2les solutions.
2. Pournentier,n≥2,déterminer les racines énièmes dez
1et dez2.
3. SoitM
nle point d"affixezn1, Pnle point d"affixezn2etOl"origine du repère. Déterminer les entiersntels que le
triangle(OM nPn)soit rectangle.Exercice 2.58Soientuetvdeux complexes, on définitzparz=u+iv.Déterminer une condition nécessaire et
suffisante pour que|z|2=u2+v2. Exercice 2.59Résoudre l"équation d"inconnuez, ?z2+ 1?n= (z-i)2n
Exercice 2.60Trouver tous les complexesztels queMd"affixezetM1,M2,M3d"affixe les racines troisièmes dez
forment un parallèlogramme.Exercice 2.61SoitABCun triangle rectangle enC,soitPle pied de la hauteur issue deC, Mle milieu de[C,P]
etNle milieu de[B,P]. Montrer que(AM)et(CN)sont perpendiculaires. On remarquera que deux triangles particuliers sont images par une similitude directe. Exercice 2.62Soienta,b,c,detαdes complexes, développer? ?a-αb? 2+? ?c-αd?