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Définition (Relation binaire sur un ensemble) On appelle relation binaire sur E toute Exemple Vous connaissez depuis toujours certaines relations binaires :

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C5 : Relations 1 Relations binaires Définition Une relation binaire R sur un ensemble E est une propriété portant sur les couples d'éléments de E On notera  

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Relation binaire Une relation binaire R d'un ensemble de départ E vers un ensemble R qui décrit si un étudiant suit un cours régulièrement : GR = {(a, Math) 

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Dans toute la suite du cours, on va restreindre l'étude aux relations binaires sur un ensemble E Exemples : 1) La relation d'inclusion dans l'ensemble des parties 

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Relation binaire Pascal Lainé 3 Exercice 11 : Soient un ensemble fini non vide et un élément fixé de Les relations définies ci-dessous sont-elles des relations 

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Cours 3: Relations binaires sur un ensemble 1 1 Notion de relation: On appelle relation dVun ensemble A vers un ensemble B toute correpondance *,

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Définition 1 : Une relation binaire d'un ensemble E vers un ensemble F est une partie R de E×F Si (x,y)∈R on dit que x est en relation avec y et on note xRy

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Décrire les relations binaires que vous avez rencontrées Définition 2 (Réflexivité , (Anti)symétrie, Transitivité) Soit R une relation binaire sur un ensemble E 

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Dans ce cours, nous allons nous intéresser au cas n = 2, et lorsque les deux ensembles sont identiques Définition Soit E un ensemble On appelle relation binaire 

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Chapitre 4

Relations binaires sur un ensemble.

De fa¸con informelle, une relation binaire sur un ensemble E est une proposition qui lie entre eux certains ´el´ements de cet ensemble. Plus proprement, une relation binaire R sur un ensemble E est d´efinie par une partie G de E E . Si ( x,y ∈ G on dit que x est en relation avec y et on le note " x R y

Exemple

: si E P F ), ensemble des parties d'un ensemble F , on peut d´efinir la relation d'inclusion entre ´el´ements de E . Si A et B sont deux parties de F , on dit que " A est inclus dans B " et on ´ecrit " A B " si les ´el´ements de A appartiennent tous `a B

L'exemple ci-dessus poss`ede en outre les propri´et´es caract´eristiques de ce que l'on appelle

une relation d'ordre . Pour d´efinir cette notion, on introduit un peu de vocabulaire - une relation binaire R sur un ensemble E est r´eflexive si x E x R x(4.1) - une relation binaire R sur un ensemble E est transitive si x,y,z E, x R y et y R z x R z (4.2) - une relation binaire R sur un ensemble E est sym´etrique si x,y E, x R y y R x )(4.3) - une relation binaire R sur un ensemble E est antisym´etrique si x,y E, x R y et y R x x y (4.4)

4.1 Relations d'ordre

D´efinition 4.1.

Une relation binaire

R sur un ensemble E qui est r´eflexive, transitive et antisym´etrique est appel´ee relation d'ordre sur E

La plupart des relations d'ordre sont not´ees

ou (`a l'exception notable de l'inclusion et de la divisibilit´e). Un ensemble E muni d'une relation d'ordre est dit ordonn´e , et on utilise la notation ( E, ) pour s'y r´ef´erer. Deux ´el´ements x et y d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre sont dits comparables si x y ou y x . Si tous les ´el´ements de E sont deux `a deux comparables la relation d'ordre est dite totale 25

4.1.1 Exemples

1. la relation d'ordre usuelle sur

R (ou sur Q

2. la relation de divisibilit´e dans

N (ou dans Z m n si il existe q N (resp. Z ) tel que n qm

3. la relation d'inclusion entre parties d'un ensemble

E Les deux derniers exemples ne sont pas des ordres totaux. On d´efinit maintenant les notions (cruciales) de majorant minorant borne sup´erieure et borne inf´erieure

D´efinition 4.2.

Soient (

E, ) un ensemble ordonn´e et A une partie de E

1. Un ´el´ement

m de E est un minorant de A si x A,m x

2. Un ´el´ement

M de E est un majorant de A si x A,x M Une partie admettant un majorant (resp. minorant) est dite major´ee (resp. minor´ee). Une partie major´ee et minor´ee est dite born´ee.

Un ´el´ement d'une partie

A de E est le plus grand ´el´ementquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43