Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
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Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l'
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Exercice 1 Soit E un ensemble et R une relation de E dans E S Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI
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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
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Corrigé du DST Exercice 1 Exercice 2 On consid`ere la relation binaire ≈ sur R, définie par : Montrer que la relation ≈ est une relation d'équivalence
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Exercices - Relations d'ordre - relations d'équivalence : corrigé Exercice 1 - Nature des relations - L1/Math Sup - ⋆ 1 La relation n'est pas réflexive, car 1 n' est
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Biblioth`eque d"exercices
´Enonc´es
L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre1 Relation d"´equivalence
Exercice 1DansCon d´efinit la relationRpar :
zRz?? |z|=|z?|.1. Montrer queRest une relation d"´equivalence.
2. D´eterminer la classe d"´equivalence dez?C.
Exercice 2SoitRune relation binaire sur un ensembleE, sym´etrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant? "xRy?yRxcarRest sym´etrique, or (xRyetyRx)?xRxcarRest transitive, doncRest r´eflexive." Exercice 3Montrer que la relationRd´efinie surRpar : xRy??xey=yexest une relation d"´equivalence. Pr´eciser, pourxfix´e dansR, le nombre d"´el´ements de la classe
dexmoduloR.2 Relation d"ordre
Exercice 4Soit (E,?) un ensemble ordonn´e. On d´efinit surP(E)\ {∅}la relationRpar XRYssi (X=You?x?X?y?Y x?y). V´erifier que c"est une relation d"ordre. 1Biblioth`eque d"exercicesIndications
L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre Indication 1Un dessin permettra d"avoir une bonne id´ee de ce qui se passe... Indication 2Il faut trouver l"erreur dans ce raisonnement, car bien sˆur s"il y a trois axiomes pour la d´efinition d"une relation d"´equivalence, c"est que deux ne suffisent pas! Indication 31. Pour la transitivit´e on pourra calculerxyez.2. Poser la fonctiont?→te
t, apr`es une ´etude de fonction on calculera le nombre d"ant´ec´edents possibles. 1Biblioth`eque d"exercicesCorrections
L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre Correction 11. Soitz,z?,z??des complexes quelconques. •Reflexivit´e :zRzcar|z|=|z|. •Sym´etrie :zRz??z?Rzcar|z|=|z?|et donc|z?|=|z|. •Transitivit´e :zRz?etz?Rz??alors|z|=|z?|=|z??|donczRz??. En fait, nous avons juste retranscrit que l"´egalit´e = est une relation d"´equivalence.2. La classe d"´equivalence d"un pointz?Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation
avecz,i.e.l"ensemble des complexes dont le module est ´egal `a|z|. G´eom´etriquement la classe d"´equivalence dezest le cerlceCde centre 0 et de rayon|z|.C={|z|eiθ/ θ?R}.
Correction 2Le raisonnement est faux.
L"erreur est due au manque de quantification. En effet, rien ne prouve que pout toutxun telyexiste. Il peut exister un ´el´ementxqui n"est en relation avec personne (mˆeme pas avec lui).
Correction 31. - Reflexivit´e : Pour toutx?R,xex=xexdoncxRx. - Sym´etrie : Pourx,y?R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. - Transitivit´e : Soientx,y,z?Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey.