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Introduction `a la m´ecanique quantique

Alice Sinatra

septembre 2008

Contents

1 Ondes et particules en physique classique 2

1.1 Particule ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3

1.2 ´Energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Interf´erence entre deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.5 Repr´esentation complexe des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

2 Les particules quantiques : ni ondes ni particules 9

2.1 Exp´erience des trous d"Young avec une onde lumineuse . .. . . . . . . . . 9

2.2 L"exp´erience des trous d"Young avec des projectiles . .. . . . . . . . . . . 11

2.3 L"exp´erience des trous d"Young avec des particules quantiques . . . . . . . 11

3 Une "onde" comme "amplitude de probabilit´e" 13

3.1 Amplitude de probabilit´e et probabilit´e . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13

3.2 Fonction d"onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Les relations onde-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 15

3.4 Le principe d"ind´etermination de Heisenberg . . . . . . . .. . . . . . . . . 16

3.5 La taille d"un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Un mod`ele simple de l"atome d"hydrog`ene 20

4.1 S´eries spectroscopiques et niveaux d"´energie . . . . . .. . . . . . . . . . . 20

4.2 Le mod`ele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

Ondes et Particules2

4.3 Discussion critique du mod`ele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 24

4.4 Fonctions d"onde de l"´electron dans l"atome d"hydrog`ene . . . . . . . . . . . 25

5 L"´equation de Schr¨odinger et la quantification de l"´energie 28

5.1 ´Equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3 Fonctions propres de

ˆHet ´etats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Quantification de l"´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

6 ´Etude qualitative sur les ´etats propres et les ´energie propres dans des potentiels `a une dimension35

7 L"oscillateur harmonique40

7.1 ´Energies propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2 Solution num´erique de l"´equation de Schr¨odinger pour un potentiel har-

monique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.1 Connection `a une machine unix ou linux . . . . . . . . . . . . .. . 41

7.2.2 ´Ecriture d"un programme Fortran qui int`egre l"´equation de Schr¨odinger pour un potentiel harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.3 Utilisation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3 Valeurs moyennes de grandeurs observables . . . . . . . . . . .. . . . . . . 47

8 Le rayonnement du corps noir et la naissance de la physique quantique 49

8.1 ´Equilibre entre radiation et mati`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

8.2 Lois de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50

8.3 Modes de la radiation en cavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

8.4 ´Energie moyenne ¯?T(ν) d"un oscillateur harmonique de fr´equenceν`a l"´equilibre thermique. Lois de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53

1 Ondes et particules en physique classique

Ce premier cours est consacr´e `a des rappels importants de physique classique. Nous y introduirons des notations et des concepts physiques que nous utiliserons dans la suite. Pour une particule ponctuelle on introduira la "position",la "vitesse", la "trajectoire", la

Ondes et Particules3

"quantit´e de mouvement", l""´energie" etc. Pour une onde,nous verrons la signification de "longueur d"onde", "pulsation", "fr´equence", "p´eriode" et "intensit´e". Nous examinerons aussi le ph´enom`ene d"interf´erence entre ondes qui joue un rˆole fondamental en physique quantique.

1.1 Particule ponctuelle

En physique classique, une particule ponctuelle qui se d´eplace dansR3est caract´eris´ee `a chaque instanttpar deux vecteurs : sa position?xet sa vitesse?v. Dans le Syst`eme International de mesure (SI), la position se mesure en m`etresmet la vitesse en m`etres par secondem/s. Si l"on consid`ere?x(t) comme une fonction continue et d´erivable du temps, la relation math´ematique qui relie?xet?vest d?x(t) dt=?v(t).(1) L"ensemble des points?x(t) dans l"espace, qui forme une courbe param´etris´ee par le temps,

s"appelle la trajectoire du point consid´er´ee. Si l"on connaˆıt la position et la vitesse de la

particule `a l"instantt= 0 ainsi que la force?F`a laquelle la particule est soumise et sa massem, on peut calculer la trajectoire de la particule en r´esolvant l"´equation de Newton m d2?x(t) dt2=?F(t).(2)

L"´equation (2) est une ´equation diff´erentielle dont la solution est une fonction?x(t) . Le

terme avec la d´eriv´ee seconde repr´esente l"acc´el´eration?ade la particule d

2?x(t)

dt2=d?v(t)dt=?a.(3) La massemse mesure en kilogrammeskg, et la force|?F|en Newton, avec 1N=

1kg·m·s-2. Remarquez que la solution?x(t) de l"´equation de Newton donne acc`es aux

positions de la particule `a tout temps ainsi que `a sa vitesse?v(t) `a tout temps, en utilisant la relation (1). A lieu de la vitesse?v, on utilise souvent la quantit´e de mouvement?pde la particule, proportionnelle `a la vitesse avec comme facteur de proportionnalit´e la masse m ?p=m?v .(4)

Ondes et Particules4

Nous faisons ici deux remarques qui soulignent des diff´erences importantes entre physique classique et physique quantique. (i) En physique classique on peut attribuer `a chaque instant une position?x(t) et une vitesse?v(t) `a la particule. Nous verrons que ceci n"est pas possible enphysique quantique. La particule quantique ne peut pas ˆetre parfaitement localis´ee dans l"espace r´eel et avoir en mˆeme temps une vitesse bien d´efinie. (ii) En physique classique, pour une particule donn´ee soumise `a une force donn´ee, les conditions initiales?x(0) et?v(0) d´eterminent compl`etement l"´evolution du syst`eme aux instants successifs. On dit que en physique classique il y a "d´eterminisme". Nous verrons qu"il n"en sera pas ainsi pour une particule quantique et quela physique quantique est, de fa¸con intrins`eque, non d´eterministe, en particulierquand on introduit le concept de mesure et d"observation sur le syst`eme.

1.2´Energie m´ecanique

Connaissant la trajectoire?x(t) de notre particule soumise `a la force?F, nous pouvons calculer son ´energie m´ecaniqueE. Celle-ci se compose de l"´energie cin´etiqueKet de l"´energie potentielleU

E=K+U .(5)

L"´energie cin´etique est li´ee au mouvement de la particule K=1

2mv2=p22m(6)

lorsque l"´energie potentielle d´epend de la position de laparticule et est li´ee au fait que

la particule est soumise `a une force

1. Plus pr´ecis´ement, l"´energie potentielleU(?x) de la

particule est li´ee `a la force par

F(?x) =-?gradU(?x).(7)

A une dimension,

F(x) =-dU(x)

dx.(8)

1On consid`ere ici seulement des forces d´erivant d"un potentiel.

Ondes et Particules5

Les´equations fondamentales (1) et (2) peuvent ˆetre r´ecrites en utilisant l"´energie m´ecanique

consid´er´ee comme une fonction de?xet?p

E(?x,?p) =p2

2m+U(?x).(9)

Toujours `a une dimension, on a

dx dt=∂E(x,p)∂p(10) dp dt=-∂E(x,p)∂x.(11) Les (10) et (11) s"appellent les ´equations de Hamilton. Elle montrent qu"en connaissant l"expression de l"´energie et les conditions initialesx(0) etp(0) , nous pouvons calculer

l"´evolution du syst`eme. Nous verrons qu"une d´emarche similaire est possible en m´ecanique

quantique.

Exercice : La particule libre

Consid´erer une particule ponctuelle de massemlibre de se d´eplacer le long de l"axe xet ne subissant aucune force.`A l"instantt= 0 on ax= 0 etv=v0. Calculer

la position de la particule ainsi que l"´energie cin´etique, l"´energie potentielle et l"´energie

m´ecanique en fonction du temps. Repr´esenter sur un grapheces quantit´es en fonction du temps.

Exercice : L" oscillateur harmonique

Consid´erer une particule ponctuelle de massemlibre de se d´eplacer le long de l"axex et soumise `a une force de rappel harmonique ?F=-kx?ex.`A l"instantt= 0 on ax= 0 etv=v0. Calculer la position de la particule ainsi que l"´energie cin´etique, l"´energie potentielle et l"´energie m´ecanique en fonction du temps.Repr´esenter sur un graphe ces quantit´es en fonction du temps.

1.3 Ondes

Une onde est une variation locale d"un param`etre physique qui se propage dans l"espace. Elle transporte de l"´energie sans transporter n´ecessairement de la mati`ere. Une onde progressive se propageant dans la directionx, est d´ecrite par une fonction de (x-ct)

Ondes et Particules6

o`uxest la position,tle temps etcest la c´el´erit´e ou vitesses de propagation de l"onde. Par exemple une onde sinuso¨ıdale dans un espace `a une dimension s"´ecrit :

A(x,t) =A0cos(kx-ωt+φ) (12)

•A0est l"amplitude de l"onde

•Φ =kx-ωt+φ(l"argument du cosinus) est la phase

•φest la phase `a l"origine

•kest le vecteur d"onde;k=2π

•λest la longueur d"onde

•ωest la pulsation;ω= 2πν=2π

T

•νest la fr´equence

•Test la p´eriode

•c=ω

k=λTest la c´el´erit´e .

Exercice: Onde progressive

(a) Pourφ= 0 , faire un graphe deA(0,t) qui repr´esente la variation de la grandeur Aenx= 0 en fonction du temps. Faire aussi un graphe deA(x0,t) avecx0>0 , et indiquer la p´eriodeTsur le graphe. (b) Pourφ= 0 , faire un graphe deA(x,0) qui repr´esente la variation de la grandeurAdans l"espace pourt= 0 . Faire aussi un graphe deA(x,t0) avect0<0 , et indiquer la longueur d"ondeλsur le graphe. (c) Tracer la courbex(t) pour laquelle la phase Φ de l"onde est constante. Pour une onde repr´esent´ee par une fonctionA(t) en un point donn´ee de l"espace, on introduit l"intensit´eIde moyenne l"onde I=1 T? T 0

A(t)2dt(13)

o`u on int`egre le carr´e de l"onde en moyennant sur une p´eriodeT= 2π/ω. PourA= A

0cos(ωt+φ) on obtient facilementI=A20/2 .

Ondes et Particules7

1.4 Interf´erence entre deux ondes

Consid´erons la sommeAsde deux ondesA1etA2de mˆemes fr´equence et amplitude et de phases diff´erentes. A s(x,t) =A1(x,t) +A2(x,t) =A0cos(kx-ωt+φ1) +A0cos(kx-ωt+φ2).(14)

En utilisant la relation trigonom´etrique

cosa+ cosb= 2cos?a-b 2? cos?a+b2? (15) on peut r´ecrire l"onde somme comme A s(x,t) = 2A0cos?φ1-φ2 2? cos? kx-ωt+φ1+φ22? .(16) On obtient `a nouveau une onde progressive dont l"amplitude2A0cos?φ1-φ2

2?est d´etermin´ee

par la diff´erence des phasesφ1-φ2entre les deux ondes initialesA1etA2. On dit que les ondes interf`erent. •Siφ1-φ2= 2πnavecnentier, les deux ondesA1etA2sont en phase et l"amplitude deAsest maximale ´egale `a 2A0. •Siφ1-φ2=π+2πnavecnentier, les deux ondesA1etA2sont en opposition de phase et l"amplitude deAsest nulle.

Exercice : Interf´erence

Dessiner les deux ondesA1(t) ,A2(t) et l"onde sommeAs(t) , pourφ1-φ2= 0 (interf´erence constructive) et pourφ1-φ2=π(interf´erence destructive).

1.5 Repr´esentation complexe des ondes

Il est en g´en´eral plus pratique d"utiliser une repr´esentation complexe pour d´ecrire les

ondes. Pour cela on utilise le fait que e iΦ= cosΦ +isinΦ (17)

Ondes et Particules8

aveci2=-1 . Notre onde (12) sera donc la partie r´eelle du nombre complexe˜A=eiΦ. En physique quantique, l"objet int´eressant sera l"onde complexe elle-mˆeme. En utilisant la notation complexe, l"intensit´e moyenne del"onde˜Amonochromatique est simplement donn´ee par

I=|˜A|2

2(18) o`u|˜A|2est le module au carr´e du nombre complexe˜A.

Exercice : Relations trigonom´etriques

En utilisant les nombres complexes, d´emontrer les relations suivantes : cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (19) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) (20) sin(a) + sin(b) = 2sin?a+b 2? cos?a-b2? (21) cos(a)-cos(b) = 2sin?a+b 2? sin?b-a2? (22) cos(a) + cos(b) = 2cos?a+b 2? cos?a-b2? (23) Exercice : superposition de deux ondes et intensit´e r´esultante (a) Consid´erons deux ondes monochromatiques en un point fix´e de l"espace : h

1=A1cos(ωt+φ1), h2=A2cos(ωt+φ2).(24)

Calculer l"intensit´e moyenne de chaque onde et l"intensit´e moyenne de l"ondeh1+h2 en utilisant d"abord la notation r´eelle : I=1 T? T 0 h2(t)dt(25) puis la notation complexe :

I=|˜h|2

2(26) o`uh= Re˜h.

Ondes et Particules9

(b) PourA1=A2calculez l"intensit´e de l"ondeh1+h2lorsque (φ1-φ2) = 0 , (φ1-φ2) =π/2 , (φ1-φ2) =π.

2 Les particules quantiques : ni ondes ni particules

2.1 Exp´erience des trous d"Young avec une onde lumineuse

Consid´erons l"exp´erience suivante : une onde plane monochromatique, par exemple une onde lumineuse, arrive sur une barri`ere qui a deux petit trous distants deaselon un axe verticalydont l"origine se trouve au milieu des deux trous. Chaque trou donne naissance

`a une onde secondaire et l"on regarde l"intensit´e r´esultante sur un ´ecran situ´e au del`a de la

barri`ere, `a une distanceDde de cette derni`ere, avecD?a. Chaque onde secondaire est repr´esent´ee par une fonction complexe de la forme

1(?r,t) =A0

r1ei(ωt-kr1)(27)

2(?r,t) =A0

r2ei(ωt-kr2)(28) o`ur1etr2repr´esentent les distances du point?rconsid´er´e des deux trousS1 etS2 , sources des ondes secondaires. SoitI1(I2) l"intensit´e lumineuse `a l"´ecran quand seulement le trou 1 (trous 2) est ouvert. Pour|r1-r2| ?D, nous pouvons approximer I

1?I2?I0=1

2? A0D? 2 .(29) Calculons maintenant l"intensit´e `a l"´ecran lorsque lesdeux trous sont ouverts. On va appeler cette intensit´e totaleI12. Mˆeme si les ondes sont en phase au niveau de la barri`ere, quand elles arrivent `a l"´ecran en un point donn´e qui ne se trouve pas `a la mˆeme distance desdeux trous, les deux ondes ont parcouru un chemin de longueur diff´erente (r1?=r2) et ont donc une phase Φ diff´erente. Selon les valeurs de Φ

1-Φ2il y aura interf´erence constructive ou destructive

dans l"intensit´e r´esultante. A cause de cela, quand on se d´eplace verticalement sur l"´ecran

on observe alternativement des franges claires et fonc´ees. Consid´erons un point de l"´ecran

Ondes et Particules10

de coordonn´ee verticaleyse trouvant `a une distancer1deS1 et `a une distancer2de S2 . D"apr`es (27)-(28), la diff´erence de phase entre les deuxondes en ce point est

1-Φ2=k(r1-r2).(30)

Dans la limite d"un ´ecran tr`es distantD?a,yon obtient facilement

1-Φ2?kya

D.(31)

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