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Nous nous intéressons ici aux matrices carrées (autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution de Ax = b (autant d'équations que d'inconnues )

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Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesInverse d"une matrice carrée

1ère année

E.N.S.T.B.B.

Bordeaux INP

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).

Lorsqu"on dispose d"une

équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En eff ettout réel admet un in verse,noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais

d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais

d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que

AB=BA=I.

On appelle B matrice inverse de A et on la note

A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

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Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

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Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C A (E) :Ax=y,8 :x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x 2=y3 (E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3

(E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C

A(E) :Ax=y,8

:x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x

2=y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3

(E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C

A(E) :Ax=y,8

:x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x

2=y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

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Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

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