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Calcul matriciel, corrections des exercices

1 Syst`emes lin´eaires

Correction de l'exercice 1.1 (Syst`eme lin´eaire param´etrique) �x + 2y = 1 2 x my = 1⇐⇒�x + 2y = 1 (4 m y = 1

Ce syst`eme n'admet de solution que si

m = 4. Dans ce cas, on a donc y = 1 (4 m , et x = 1 2 y , soit x = (2 m (4 m Correction de l'exercice 1.2 (Syst`eme lin´eaire param´etrique) �x + (m + 1)y = m + 2 mx m + 4) y = 3⇐⇒�x + (m + 1)y = m + 2 m 2 4) y m m + 2) 3 admet une solution si et seulement si m

2. Alors, on a

y m 2 + 2 m 3) m 2 4) , et y m + 2 m + 1) y , soit x m 2 3 m 5) m 2 4) �mx + (m - 1)y = m + 2 m + 1) x my = 5 m + 3

2 Matrices, Produits de matrices

Correction de l'exercice 2.1

1.

Calculons

�1 i 1 - i 2 i i� X =�0 1 + i -i 1 1 i i

1�

conduit `a X =�1 i 1 - i 2 i i� -�0 1 + i -i 1 1 i i

1�

=�1 -1 1 1

1 1�

2. En additionnant les deux ´equations membre `a membre on obtient

X 1

2�

1 i 1 i� +12� 1 i 1 i� =�1 0 0 i� d'o`u Y X -�1 -i 1 i� =1

2�

0 i

1 0�

Correction de l'exercice 2.2

Produit des matrices :

�2 1

3 2��

1 1

1 1�

=�3 -1 5

1�

1 2 0 3 1 4 -1 -1 0 1 4 1 1 7 -2 6 5 7 0 9 a b c c b a 1 a c 1 b b 1 a + b + c a 2 b 2 c 2 b 2 + 2 ac a b c b 2 + 2 ac a 2 b 2 c 2 3 a b c a b 5 Correction de l'exercice 2.3 Produits de matrices rectangulaires �1 i i

0��

1 i 0 i

1 2�

=�0 0 2i i

1 0�

0 0 0

0 0 0��

0 0 0

0 0 0�

produit impossible

1 1 1�

1 1 = 3 1 1 �1 1 1�= 1 1 1 1 1 1 1 i 0 i

1 2�

1 i i 1 =�0 0

0 4�

1 i i 1 �1 i 0 i

1 2�

0 0 2i 0 0 2 2 i Correction de l'exercice 2.4 (Associativit´e du produit matriciel)

On consid`ere les trois matrices

suivantes : A 2 -3 1 0

5 4 1 3

6 2 B 7 2 5 2 3 1 et C =�-1 2 6

3 5 7�

AB 32 -1 36 19
AB C -35 59 185

21 167 349

BC -1 24 56 11 0 16

0 11 25

, A(BC) = -35 59 185

21 167 349

Correction de l'exercice 2.5 (Puissances d'une matrice) 1. A �a b 0 a� , A 2 =�a 2 2 ab 0 a 2 , A 3 =�a 3 3 ab 2 0 a 3 , A 4 =�a 4 4 ab 3 0 a 4 ceci sugg`ere la forme suivante, `a montrer par r´ecurrence P n )A n =�a n nab n 1 0 a n - Initialisation : P 1 ) est ´evidemment vraie. - H´er´edit´e :

Supposons (

P n ) vraie, et calculons A n +1 A.A n =�a b 0 a�� a n nab n 1 0 a n =�a n +1 nab n ab n 0 a n et donc ( P n +1 ) est vraie. - Conclusion : P n ) est vraie pour tout n 2. B =�a b b a� 6

3. Calculons

C 1 1 1 0 1 1 , C 2 1 2 3 0 1 2 , C 3 1 3 6 0 1 3 , C 4 1 4 10 0 1 4 , C 5 1 5 15 0 1 5

La conjecture naturelle est de poser

P n )C n 1 n n(n + 1)/2 0 1 n `a d´emontrer par r´ecurrence. - Initialisation : P 1 ) est ´evidemment vraie. - H´er´edit´e :

Supposons (

P n ) vraie, et calculons C n +1 C.C n 1 1 1 0 1 1 1 n n(n + 1)/2 0 1 n 1 n + 1 1 + n + n(n + 1)/2 0 1 n + 1 et donc ( P n +1 ) est vraie car 1 + n n n + 1) 2 = ( n + 1)( n + 2) 2. - Conclusion : P n ) est vraie pour tout n

3 Inversion, application aux syst`emes lin´eaires

Correction de l'exercice 3.1 (D´eterminants)

����2 3

1 4�

���= 8 + 3 = 11 . �����1 0 2 3 4 5

5 6 7�

�����= 1 × (28 - 30) - 0 × (21 - 25) + 2 × (18 - 20) = -6 . �����1 0 6

3 4 15

5 6 21�

�����= 1 × (84 - 90) + 6 × (18 - 20) = - 18 �����1 0 0 2 3 5

4 1 3�

�����= 4 Correction de l'exercice 3.2 (Matrice de Vandermonde) det M yz 2 zy 2 xz 2 zx 2 xy 2 yx 2 yz z y xz x z xy y x y x xy xz xz y z yz z y yquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19