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Mathématiques en Terminale ES

Enseignement de spécialité

David ROBERT

2012-2013

Sommaire

1 Matrices1

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2

1.3 Égalité de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.4.1 Matrices opposées, différence de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1 Multiplication d"une matrice ligne par une matrice colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.2 Multiplication d"une matrice par une matrice colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.3 Multiplication de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.4 Propriétés de la multiplication des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.5 Inverse d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4

1.6.1 Technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.6.2 Pour aller plus loin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Matrices et systèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.7.1 Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.7.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

1.7.3 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

Devoir surveilléno1 : Matrices13

2 Graphes: premièresnotions15

2.1 Quelques problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Premières notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

2.3 Graphes complets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 17

2.4 Sous-graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 18

2.5 Chaînes et connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.6 Graphes orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19

2.7 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20

Devoir surveilléno2 : Graphes- Premièresnotions22

3 Grapheseulériens23

3.1 Quelques problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 26

Devoir surveilléno3 : Grapheseulériens29

4 Comptage de chaînes31

4.1 Un problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 31

4.2 Une solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 32

4.2.1 Matrice d"adjacence d"un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Puissances de la matrice d"adjacence d"un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 33

Devoir surveilléno4 : Comptagede chaînes37

SOMMAIRETerminale ES spécialité

5 Colorationsde graphes39

5.1 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 39

5.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Coloration d"un graphe et nombre chromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.2 Minorant du nombre chromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.3 Majorant du nombre chromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

5.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 42

Devoir surveilléno5 : Coloration45

6 Graphesétiquetés47

6.1 Quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47

6.1.1 Le jeu du labyrinthe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.2 Un digicode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

6.1.3 Reconnaissance de modèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Récapitulation : définitions et résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 50

7 Graphespondérés53

7.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 53

7.2 Un problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53

7.3 L"algorithme de DIJKSTRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.4 Exercices d"annales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

Devoir surveilléno5 : Graphesétiquetés- Pluscourtchemin61

8 Graphesprobabilistes63

8.1 Quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

8.1.1 Une évolution de population. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1.2 Maladie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 64

8.1.3 L"allumeur de réverbères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2 Cas général : graphes probabilistes àpétats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3 Un cas particulier : les graphes probabilistes à 2 états. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67

8.4.1 Annales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 69

iv http ://perpendiculaires.free.fr/

Chapitre 1MatricesSommaire

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1

1.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2

1.3 Égalité dedeux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Addition dematrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 Matrices opposées, différence de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1 Multiplicationd"une matrice ligne par une matrice colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.2 Multiplicationd"une matrice par une matrice colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.3 Multiplicationde deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.4 Propriétés de la multiplication des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.5 Inversed"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4

1.6.1 Technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.6.2 Pour aller plus loin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Matrices etsystèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1 Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.7.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

1.7.3 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

1.1 Activités

ACTIVITÉ1.1(Sommes et combinaisons linéaires de tableaux de nombres).

Un carré magique est un tableau carré dans lequel la somme deslignes, des colonnes ou des diagonales est la même.

1. Montrer que le tableau ci-dessous est un carré magique.

2-12 111
030

2. Montrer que le tableau précédent peut s"écrire sous la forme de la somme des trois tableaux ci-dessous.

111
111
111
1-10 -101 01-1 0-11 10-1 -110

3. Construire un autre tableau en multipliant le premier tableau par 2, le deuxième par 3 et le dernier par 4 et en

ajoutant les trois tableaux obtenus. Ce tableau est-il un carré magique? ACTIVITÉ1.2(Sommes et multiplications de tableaux de nombres). Le premier tableau contient les notes de quatre élèves lors de 3 devoirs.

Les élèves terminent la correction chez eux et gagnent de 0 à 2points supplémentaires. Les gains des quatre élèves sont

donnés par le deuxième tableau. Les coefficients des trois devoirs sont donnés dans le troisième tableau.

1. Calculer les notes finales obtenues par les élèves.

1

1.2 DéfinitionsTerminale ES spécialité

Notes des quatre élèves Gains des quatre élèves Coefficientsdes devoirs

D1D2D3

Sarah12158

David101213

Nina161817

Louis8159

D1D2D3

Sarah102

David210

Nina102

Louis222D

1 1 D24 D32

2. Calculer le total des points obtenu par chaque élève en tenant compte des coefficients, puis la moyenne de cha-

cun.

ACTIVITÉ1.3(Produits de tableaux de nombres).

Le premier tableau ci-dessous donne les prix, en euros, de trois shampooings avec ou sans remise de fidélité.

Le second tableau indique les quantités achetées par deux clientesAetB. Calculer le prix total payé par chaque cliente selon qu"ellebénéficie ou non de la remise.

NutriColorMilky

Prix unitaire679

Prix avec remise558Quantités

AB

Nutri32

Color11

Milky22

1.2 Définitions

Définition 1.1.Unematrice Ade dimension (ou d"ordre)n×pest un tableau de nombres comportantnlignes etp

colonnes. Les nombres sont appeléscoefficients(ou éléments) de la matrice. Le coefficient situé à l"intersection de la i eligne et de la jecolonne est notéaijouai,j. On note parfoisA=?aij?. Définition 1.2.Certaines matrices particulières portent des noms : •Matrice ligne : C"est une matrice qui ne comporte qu"une ligne; •Matrice colonne : C"est une matrice qui ne comporte qu"une colonne;

•Matrice carrée : C"est une matrice qui comporte autant de lignes que de colonnes; on dit qu"elle est d"ordren

(lorsqu"il y anlignes etncolonnes);

•Matrice unité : C"est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la première diagonale

qui sont tous égaux à 1; on note I nla matrice unité d"ordren; •Matrice nulle : C"est une matrice dont tous les coefficients sont égaux à zéro;

1.3 Égalitéde deux matrices

Définition 1.3.Deux matricesA=?aij?etB=?bij?sont égales si elles ont même dimension et si les coefficients

situés à la même place sont égaux :aij=bijpour toutietj.

1.4 Additionde matrices

Définition 1.4.Lasomme de deux matrices A=?aij?etB=?bij?de même dimension est la matriceC=?cij?telle

que les coefficients deCsont la somme des coefficients deAet deBsitués à la même place :cij=aij+bijpour tout

ietj.

Définition1.5.Lamultiplicationparunréelk d"unematrice A=?aij?estlamatricenotéekAobtenueenmultipliant

chaque coefficient deApark:kA=?kaij?

Théorème 1.1.Soient A, B etC trois matrices de même dimension et k et k?deux réels. On a :

1. A+B=B+A (on dit que l"addition des matrices est commutative);

2.(A+B)+C=A+(B+C)(on dit que l"addition des matrices est associative);

3. k(A+B)=kA+kB ;

4.(k+k?)A=kA+k?A ;

5. k(k?A)=(kk?)A.

2 http ://perpendiculaires.free.fr/ Terminale ES spécialité1.5 Multiplication de matrices

2. (A+B)+C=?aij+bij?+?cij?=?aij+bij+cij?etA+(B+C)=?aij?+?bij+cij?=?aij+bij+cij?

4. (k+k?)A=(k+k?)?aij?=?(k+k?)aij?=?kaij+k?aij?etkA+k?A=?kaij?+?k?aij?=?kaij+k?aij?

5.k(k?A)=k?k?aij?=?kk?aij?et (kk?)A=?kk?aij?

1.4.1 Matrices opposées,différence de deux matrices

Définition1.6.DeuxmatricesAetBsont dites opposées si elles sont de même dimension et siA+Best une matrice

nulle. Propriété1.2.Toute matrice A a une matrice opposée : la matrice(-1)×A. On la notera-A.

Preuve. A+(-1)×A=?aij?+?-aij?=(0)♦

Définition 1.7.SoientAetBdeux matrices de même dimension. Alors la différence deAetB, notéeA-B, est la

matriceA+(-B).

1.5 Multiplicationdematrices

1.5.1 Multiplication d"une matrice ligne par une matrice colonne

Définition1.8.SoientAunematricelignededimension 1×petBunematricecolonnededimensionp×1,telles que

A=?a1a2···ap?etB=((((((b

1 b 2 b p)))))) . Alors le produitA×Bde ces deux matrices est la matriceCde dimension

1×1 telle que :C=?a1b1+a2b2+···+apbp?=?

p? i=1a i×bi?

1.5.2 Multiplication d"une matrice par une matrice colonne

Définition 1.9.SoientAune matrice ligne de dimensionn×petBune matrice colonne de dimensionp×1, telles

queA=((((((a

11a12···a1p

a

21a22···a2p

a n1an2···anp)))))) etB=((((((b 1 b 2 b p)))))) . Alors le produitA×Bde ces deux matrices est la matriceCde

dimensionn×1 telle que la première ligne deCest le produit de la première ligne deAparB, la deuxième ligne deC

est le produit de la deuxième ligne deAparB, et ainsi de suite jusqu"à la dernière ligne.

C=((((((a

11b1+a12b2+···+a1pbp

a

21b1+a22b2+···+a2pbp

a n1b1+an2b2+···+anpbp)))))) =(((((((((((((p i=1a

1i×bi

p i=1a

2i×bi

p? i=1a nitimesbi)))))))))))))

David ROBERT3

1.6 ExercicesTerminale ES spécialité

1.5.3 Multiplication de deux matrices

Définition1.10.SoientAune matrice ligne de dimensionn×petBune matrice colonne de dimensionp×m, telles

queA=((((((a

11a12···a1p

a

21a22···a2p

a n1an2···anp)))))) etB=((((((b

11b12···b1m

b

21b22···b2m

b p1bp2···bpm)))))) . Alors le produitA×Bde ces deux matrices est

la matriceCde dimensionn×mtelle que le premier coefficient deCest le produit de la première ligne deApar la

première colonne deB, le deuxième coefficient deCest le produit de la première ligne deApar la deuxième colonne

deB, et ainsi de suite.

C=((((((a

a a

1.5.4 Propriétés de la multiplication des matrices

Théorème 1.3.Soient A, B etC trois matrices telles que les opérations suivantes existent. Alors :

1. En général A×B?=B×A (on dit que la multiplication des matrices n"est pas commutative);

2. A×(B×C)=(A×B)×C (on dit que la multiplication des matrices est associative);

3. A×(B+C)=A×B+A×C

4.(A+B)×C=A×C+B×C

On l"admettra.

Remarque.On noteraAn=A×A×···A?

nfoisquand ce produit est défini.

1.5.5 Inverse d"une matrice

Définition 1.11.Deux matrices carréesAetBsont dites inverses siA×B=B×A=IoùIest une matrice unité. On

notera alorsB=A-1(ouA=B-1). Remarque.Certaines matrices n"ont pas d"inverse. Celles qui en ont unsont ditesinversibles.

1.6 Exercices

1.6.1 Technique

EXERCICE1.1.

Lors d"un examen, on a relevé les notes de langues vivantes LV1, LV2 et LV3 pour plusieurs élèves. Ces notes ont été

placées dans la matriceM: M=((12 10 14 16 18 1710 13 14 14 15 1518 19 13 12 13 16))

1. Donner l"ordre de cette matrice.

2. Combien d"élèves ont passé ces épreuves?

3. Quelle est la note obtenue en LV3 par l"élève 2?

4. Donner la valeur des élémentsa11,a23,a33eta36.

EXERCICE1.2.

Préciser le type de chacune des matrices suivantes :

•A=?1 2 5?;

•B=?-3 6

2 5? ;•C=?0 0 00 0 0?

•D=?1 00 1?

4 http ://perpendiculaires.free.fr/

Terminale ES spécialité1.6 Exercices

EXERCICE1.3.

On poseA=?x21

0y2? etB=?4 10 9? . Déterminer les valeurs dexet deypour lesquellesA=B.

EXERCICE1.4.

On considère les matricesA=?5-3 0

2 1-1?

etB=?3-5 6

0 1 3?

. Calculer 4A-2B.

EXERCICE1.5.

Dans chacun des cas suivants, préciser si le produitA×Bexiste et, si oui, le calculer.

1.A=?1 1?etB=?01?

2.A=?2-1

0 0? etB=?12?

3.A=((1 42 53 6))

etB=((-1 -2 -3))

4.A=?1 00 1?

etB=?89?

5.A=?1 1

-1-1? etB=?2-2 4 -2 2-4?

6.A=?1 0 00 1 0?

etB=((1 4 72 5 83 6 9))7.A=((1 42 53 6)) etB=?1 0 00 1 0?

8.A=((1 01 01 0))

etB=((1 01 01 0))

9.A=?1 1 10 0 0?

etB=((1 01 01 0))

10.A=?4 5

-2 3? etB=?6 83 9?

11.A=?1 5 03 2 1?

etB=((4 6 -3 2 0 5))

EXERCICE1.6.

On donneA=?1 30 2?

,B=?2 3 -1 0? etC=?-2 1 1 2?

1. (a) CalculerBC, puisA(BC).

(b) CalculerABpuis (AB)C. (c) Que constate-t-on?. (d) Que peut-on dire de (BC)A?2. (a) Calculer (B+C), puisA×(B+C). (b) CalculerABetACpuisAB+AC. (c) Que constate-t-on?. (d) Que peut-on dire de (B+C)×A?

EXERCICE1.7.

Démontrer que les matricesAetBsuivantes sont inverses l"une de l"autre.

1.A=?5-1

-9 2? etB=?2 19 5? .2.A=((-3-5 5 2 3-3 -1 0 1)) etB=((3 5 01 2 13 5 1)) EXERCICE1.8.1. Trouver l"inverse de la matriceA=?1 10 2?

2. Montrer que la matriceA=?3 26 4?

n"admet pas d"inverse.

EXERCICE1.9.

À l"aide de la calculatice, déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui, donner leur inverse :

•A=((1-2 3

3 1-3

5-3 3))

;•B=((1 2 31 0 22-1 1))

EXERCICE1.10.

On donneA=?1 5-3 2

3-2-1-2?

etB=((((2 63-1 4 5 -2 7))))

1. CalculerA×B. Que constate-t-on?

2.Best-elle la matrice inverse deA?

David ROBERT5

1.6 ExercicesTerminale ES spécialité

1.6.2 Pour aller plus loin

EXERCICE1.11.

On pourra effectuer tous les calculs demandés à la calculatrice.

1. SoitA=?1-1

0 4? etB=?3 01 2?

Calculer :

2. Mêmes questions avecA=?1 00 4?

etB=?3 00 2?

3. Que constate-t-on?

EXERCICE1.12.

SoitA=((3 2 0

-2 0 1

0-4-3))

1. CalculerA2puisA3.

2. En déduireAnpour tout entier natureln.

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