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2008-2009Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)
?Oscillateur harmonique amorti en r´egime sinuso¨ıdal forc´eM5? ???Ex-M5.1Sismographe on consid`ere un capteur d"amplitude constitu´e par un support et une massemreli´es par un ressort et un amor- tisseur en parall`ele. L"amortisseur exerce enA:-→FA=-h(-→vA--→vB) et le ressort exerce enC:-→TC=-k(--→DC----→D0C0). Le support, le ressort et l"amortisseur sont de masse n´egligeable. Le ressort a pour constante de raideurket pour lon- gueur `a videl0(not´eeD0C0).Ox (t)
xx AB CD G hky carter a1 ex(t) g On suppose que le support est solidaire du carter d"une machine anim´ee d"un mouvement si-nuso¨ıdal verticalx1=bsinωtpar rapport `a un r´ef´erentiel galil´eenR0((Oxy) ´etant li´e `aR0).
1)D´eterminer l"´equation que v´erifiexe(position de la masse `a l"´equilibre dansR0lorsque
x1= 0).
2)´Ecrire l"´equation diff´erentielle du mouvement demdansR0.
Si on poseX=x-x1-xe, montrer que l"´equation peut se mettre sous la forme :¨X+ω0QX+ω20X=Asinωt??
R´esoudre cette ´equation. (Principe du sismographe.)R´ep : 1)
´Ecrire, pour la massem, leP.F.D.`a l"´equilibre1?→xe=l0+mg k+a 2) ´Ecrire leP.F.D.hors ´equilibre2?;2?-1?→m¨x=-k(x(t) +x1-xe)-h(x-x1).D"o`u??avecA=bω2,ω0=?
k metQ=mω0h, de solutionX(t) =Xmsin(ωt+?), avecXm= A (ω20-ω2)2+?ωω0Q?2et?=-π
2-arctan?
Q?ωω0-ω0ω??
. Au final :x(t) =X(t)+x1(t)+xe. ???Ex-M5.2D´ephasage de la vitesse par rapport `a la force excitatrice Soitm¨x+hx+kx=f(t) l"´equation du mouvement d"un oscillateur soumis `a une force excitatrice f(t) =Fmcos(ωt+ψ). →Calculer, en r´egime forc´e :1)le d´ephasage?vde la vitessev(t) par rapport `a la force; en particulier, montrer que :
sin?v=?ω20ω-ω?
V m Fm met cos?v=2αVmFm m(Que repr´esententω0,Vmetα?)2)la travailTfourni `a chaque p´eriodeT, par la force `a l"oscillateur.
R´ep : 2)Partir du travail ´el´ementaire fourni par le force excitatrice :δT=f(t).dx=2[cos(ψ-?) + cos(2ωt+ψ+?)]dt.
Sur une p´eriodeT=?
T 0δT...→ T=hV2m
2T ???Ex-M5.3Oscillations forc´ees d"un v´ehicule sur une route ondul´ee Une automobile est sommairement mod´elis´ee par une massemplac´ee en M et reposant sur uneroue de centreO, par l"interm´ediaire d"un ressort de raideurkmis en parall`ele sur un amortisseur
de coefficient de frottementh. En routes circonstances, l"axeOMreste vertical. On se propose d"examiner le comportement du v´ehicule lorsqu"il a la vitessevsur une route qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/27 Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)2008-2009 dont le profil impose au centreOde la roue une´elongation
zO(t) =acos?
2πx
par rapport `a sa position d"´equilibre.On rep`ere le mouvement de la masse par son
´elongationz(t) par rapport `a sa position d"´equilibre quand le v´ehicule est au repos. On rappelle qu"un amortisseur plac´e entreOetMexerce surMune force de frottement fluide proportionnelle `a la vitesse relative deMpar rapport `aO:-→Fr=-h(zM-zO)-→ez. 1)´Etablir l"´equation diff´erentielle enz(t)du mouvement de la masse , lorsque le v´ehicule se
d´eplace `a vitesse constantev.2)D´eterminer l"amplitude du mouvement d"oscillation vertical du v´ehicule en r´egime permanent.
3) `A quelle allure convient-il de rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible? R´ep : 1)m¨z=-k(z(t)-zO(t))-h(z-zO), aveczO=acos(ωt), commex=v.tet en posantω=2πv λ; ¨z+ω0Qz+ω20z=ω20zO(t) +ω0QzO(t), en posantω0=? k metQ=mω0h;2) Z m=a?1 +?ωQω0?
2??1-ω2
ω20?
2 +?ωQω0? 2 ???Ex-M5.4Mod´elisation d"un haut-parleur On mod´elise la partie m´ecanique d"un haut-parleur `a l"aide d"une massem, se d´epla¸cant horizontalement sans frottement le long de l"axe (O,-→ex). Cette masse m, assimil´ee `a un point mat´erielM(m), est reli´ee `a un ressort de longueur `a videl0et de raideurk, ainsi qu"`a un amortisseur fluide de constantef. Elle est soumise `a une force-→F(t), impos´ee par le couranti(t) entrant dans le haut-parleur.On a :F(t) =K i(t)-→ex,avecKune constante.
On travaille dans le r´ef´erentiel terrestre consid´er´e ga- lil´eenRg(O,-→ex,-→ey). On suppose que le couranti(t) est sinuso¨ıdal :i(t) = I mcos(ωt)Donn´ees :m= 10g;k= 15000N.m-1;K=
200N.A-1etIm= 1A.
1)´Ecrire l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la position de la massem.
2)La normaliser. On veutQ=1
⎷2. Calculer alors la valeur du coefficientf.3)D´eterminer l"expression de la r´eponse forc´eex(t) et la mettre sous la formeXmcos(ωt+?).
Donn´ee :ω= 6280rad.s-1
4)Tracer l"allure de la courbe donnantω→Xm(ω). En d´eduire la bande passante du syst`eme.
R´ep : 1)¨x+f
mx+kmx=KmImcos(ωt);2)ω0=? k metQ=mω0f=⎷ km f A.N. :f?17,3kg.s-1(ouN.s.m-1);3)ω0?1225rad.s-1,ω= 6280rad.s-1,Xm= 0,5mm et?=-164◦=-2,86rad, soit :x(t) = 0,5.10-3cos(6280t-2,86) (enm);4)Xm(ωc) =KIm
mω201?1 +ω4cω40=
Xm(max)
⎷2?ωc=ω028http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)
???Ex-M5.5Pourquoi le ciel est-il bleu?Thomsona propos´e un mod`ele d"atome dans lequel chaque ´electron (M) est ´elastiquement li´e `a
son noyau (O) (il est soumis `a une force de rappel passant par le centre del"atome;-→Fe=-k--→OM).
Nous supposerons que ce ´electron est frein´e par une force de frottement de type fluide propor-
tionnelle `a sa vitesse-→Fr=-h-→vet que le centreOde l"atome est fixe dans le r´ef´erentiel d"´etude
suppos´e galil´een. Nous cherchons `a ´etudier l"action d"une onde lumineuse caract´eris´ee par un
champ ´electrique-→E(t) =E0cos(ωt)-→ex, de pulsationω(provenant du Soleil) sur un ´electron
d"un atome de l"atmosph`ere, repr´esent´e `a l"aide du mod`ele deThomson.6Donn´ees :m= 9,1.10-31kg;e= 1,6.10-19C;k= 100N.m-1;h= 10-20kg.s-1.
1)´Ecrire l"´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de l"´electron, puis la normaliser.
(" la normaliser »= comprendre qu"il faut l"écrire sous sa forme " canonique »).2)Déterminer le régime forcé (solution particulière de l"équation différentielle).
3)Simplifier l"expression précédente sachant que le rayonnement visible provenant du Soleil
possède des longueurs d"onde s"étendant deλb= 400nm(bleu) àλr= 800nm(rouge), longueurs
d"onde du champ-→E(t).4)Sachant que l"électron diffuse dans toutes les directions un rayonnement dont la puissance
moyenne est proportionnelle au carré de l"amplitude de son accélération, expliquer pourquoi le
ciel est bleu.