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Réponses aux exercices du chapitre 2

Numéro 5. On considère l"équation :

e x(x+ 5) = 0 (2:31) a) Déterm inerle nom breet la p ositionappro ximativedes solutions p ositivesde l"équation 2.31. b) Utiliser l"algorithme de la bissection p ourdéterminer c hacunede ces racines a vecune erreur absolue inférieure à107. c) Déterminer com biend"itérations de la métho dede la bi ssectionseraien tnécessaires pour calculer la racine la plus proche de1avec une précision de109, en partant de l"intervalle[0;2].Ne pas faire les itérations.

Solution

a) Si f(x)désigne le membre de gauche,f0(x) =ex1est positive pourx >0et doncf est strictement croissante surR+. Par conséquent,fne croise l"axe desxqu"une seule fois. Puisquef(0) =4etf(2) = 0,38, il y a une seule racine entrex= 0etx= 2. b) En utilisan tle programme bissect.m de la banque de programme matlab, on obtien t x= 1,9368473291enn= 23itérations à partir de l"intervalle[0;2].

Fonction :

f=exp(x)-(x+5);

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 35

Critere d"arret : epsilon = 1.000000E-07

Intervalle initial : [x_1,x_2] = [0.000000E+00, 2.000000E+00]

Iter. x_1 x_2 x_m f(x_m)

0 0.000000E+00 2.000000E+00 1.000000E+00 -3.2817E+00

1 1.000000E+00 2.000000E+00 1.500000E+00 -2.0183E+00

2 1.500000E+00 2.000000E+00 1.750000E+00 -9.9540E-01

3 1.750000E+00 2.000000E+00 1.875000E+00 -3.5418E-01

1

4 1.875000E+00 2.000000E+00 1.937500E+00 3.8758E-03

5 1.875000E+00 1.937500E+00 1.906250E+00 -1.7844E-01

6 1.906250E+00 1.937500E+00 1.921875E+00 -8.8115E-02

7 1.921875E+00 1.937500E+00 1.929688E+00 -4.2330E-02

8 1.929688E+00 1.937500E+00 1.933594E+00 -1.9280E-02

9 1.933594E+00 1.937500E+00 1.935547E+00 -7.7152E-03

10 1.935547E+00 1.937500E+00 1.936523E+00 -1.9230E-03

11 1.936523E+00 1.937500E+00 1.937012E+00 9.7559E-04

12 1.936523E+00 1.937012E+00 1.936768E+00 -4.7391E-04

13 1.936768E+00 1.937012E+00 1.936890E+00 2.5079E-04

14 1.936768E+00 1.936890E+00 1.936829E+00 -1.1158E-04

15 1.936829E+00 1.936890E+00 1.936859E+00 6.9602E-05

16 1.936829E+00 1.936859E+00 1.936844E+00 -2.0988E-05

17 1.936844E+00 1.936859E+00 1.936852E+00 2.4307E-05

18 1.936844E+00 1.936852E+00 1.936848E+00 1.6596E-06

19 1.936844E+00 1.936848E+00 1.936846E+00 -9.6640E-06

20 1.936846E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -4.0022E-06

21 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -1.1713E-06

22 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 2.4418E-07

23 1.936847E+00 1.936847E+00 1.936847E+00 -4.6355E-07

Approximation finale de la racine: r = 1.9368473291E+00 c) L"in tervalleinitial a p ourlongueur L= 2. De la relation (2.3), on veut donc le plus petitntel quen >lnLrln2 = 27,57et on prendn= 28. 2 Numéro 13. On chercher à résoudre l"équation : e x3x2= 0 qui possède les deux racinesr1=0,4589623etr2= 0,91ainsi qu"une troisième racine située près de4. On vous propose les méthodes des points fixes suivantes pour obtenirr1.

1)x=g1(x) =re

x3

2)x=g2(x) =ex3x23,385712869x3,385712869

3)x=g2(x) =ex3x23,76189x3,76189

a) L esquelles,parmi ces trois métho desdes p ointsfixes, son tsusceptibles de con verger versr1? (Ne pas faire les itérations.) b) Déterminer celle qui pro duitune c onvergencequadratique v ersr1. c) La métho dede la bissection con vergera-t-ellev ersl"une des racines si l"on prend [1;0] comme intervalle de départ? d) Utiliser la m éthodede Newton p ourdéterminer la troisième racine a vec4 c hiffres significatifs. Quel est l"ordre de convergence de cette méthode?

Solution

On évalue premièrement les différents algorithmes à la lueur de l"équation (2.9) et de la

discussion qui la suit.

1)g1(x) =re

x3 =ex=2p3 )g01(x) =ex=22 p3 Puisqueg01(r1) =0,22948) jg01(r1)j<1), l"algorithme des points fixes convergera

à l"ordre 1.

2)g2(x) =(ex3x23,385712869x)3,385712869

g

02(x) =(ex6x3,385712869)3,385712869

Puisque)g02(r1)0), on aura convergence (au moins) quadratique.

3)g3(x) =(ex3x23,76189x)3,76189

g

03(x) =(ex6x3,76189)3,76189=0,0999968

3 Puisque) jg03(r1)j<1), l"algorithme converge à l"ordre 1! a) L estrois métho desco nvergerontsi on a un b onestimé initial car jg0i(r1)j<1etr1est attractif pour les trois fonctionsgi(x). b) La 2ième nous assu reune con vergenceau moins quadratique car jg02(r1)j= 0. c)N.B.: On travaille ici avecf(x) =ex3x2et non avecg(x). Or, on a : f(1) =2,6321etf(0) = 10 = 1et comme il y a un changement de signe, la méthode de la bissection convergera. d)

On obtien t:

Methode de Newton

Fonctions :

exp(x)-3*x*x exp(x)-6*x

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 10

Critere d"arret : epsilon = 5.000000E-04

Estimation initiale : x_0 = 4.000000E+00

Iter. x_i f(x_i)

0 4.0000000000E+00 6.598150E+00

1 3.7843611452E+00 1.043379E+00

2 3.7353793751E+00 4.474262E-02

3 3.7330838979E+00 9.450832E-05

4 3.7330790287E+00 4.244995E-10

Approximation finale de la racine: r = 3.7330790287E+00 La convergence est quadratique et la troisième racine est3,733. 4 Numéro 17. On cherche à résoudre l"équation : x

22 = 0

(dont la solution estp2) au moyen de la méthode des points fixes : x n+1=g(xn) =xn(x2n2) oùest une constante. a) P ourquelles v aleursde cette méthode des points fixes est-elle convergente à l"ordre

1 (au moins)?

b)

Quel est l"ordre de con vergencep our=p2

4 c)

Quel est l"ordre de con vergencesi = 3p2?

Solution

On a premièrement que :

g(x) =x(x22) g

0(x) = 1(2x))g0(p2) = 1(2p2)

Pour que la méthode converge, on doit avoir :

jg0(p2)j<1 , j1(2p2)j<1 , 1<1(2p2)<+1 , 2<(2p2)<0 22p2
> >0 ,0< <22 p2 =p2 2 a) On a une co nvergenced"ordre au moins 1 p our0< Si on a =p2=4, alors on a : g

0(p2) = 1(2p2) = 1p2=42p2 = 11 = 0.

Par conséquent, on a une convergence quadratique (N.B.g00(x) =26= 0). c)

Si = 3p2, alorsg0(p2)>1et donc il y a divergence.

5

Numéro 25.

a)

Obtenir tous les p ointsfixes de la fonction :

g(x) =x(1x) oùest un paramètre (6= 0). b) Déterminer p ourc haquep ointfixe trouv éen a) les v aleursde pour lesquelles ces points fixes sont attractifs. c) Déterminer p ourc haquep ointfixe trouv éen a) la v aleurde pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique.

Solution

a) On a que xest un point fixe deg(x)sig(x) =xc.-à-d. six=x(1x)et on voit immédiatement que 0 est un point fixe. On cherche maintenant s"il y en a d"autres. Si xest différent de0, on peut diviser parxet on obtient :

1 =(1x)

1 = 1x )x= 11 =1 et on a quex=1 est un autre point fixe deg(x). b) Un p ointfixe rde la fonctiong(x)est ditattractifsijg0(r)j<1et il estrépulsifsi jg0(r)j>1. Or on a ici queg0(x) =(12x). Examinons ce que l"on obtient pour les deux points fixes trouvés en a). Pourx= 0, on ag0(0) =et donc 0 est attractif si jj<1.

Pourx=1

, on ag01 12(1) =2+ 2 = 2. Il faut donc quej2j<1ou encore que :

1<2 <1

2< <1

1< <3

c) P ourune fonction g(x)et un point fixer, la convergence en ce point est quadratique sijg0(r)j= 0et sijg00(r)j 6= 0. Pourx= 0, on ag0(0) == 0si= 0(Dans ce casg(x) = 0et le problème n"a alors aucun intérêt. On ne retient pas ce cas.)

Pourx=1

, on ag012 = 2= 0si= 2. 6 N.B. :g00(x) =26= 0et donc on peut en conclure que l"on a bien une convergence quadratique. 7quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28