[PDF] DS 2 - corrigé PDF 2015-03-28-DSC2-Miernowsky.pdf

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel réel i) Donner la définition d'une famille finie libre de vecteurs de E ii) Donner la définition du rang d'une famille finie de

Exercice 32 Soit ℳ3(ℝ) l'espace vectoriel des matrices à coefficients dans ℝ à 3 lignes et 3 colonnes Soit 3

[PDF] Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 1 – On

Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et b = 1e1,e2,e3l une base de E Notons : u1 = e1

[PDF] Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1

En donner une base et la dimension Exercice 10 Soient (E,+,·) un R-espace vectoriel et A,B,C trois sous-espaces vectoriels de E

[PDF] 70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels - Pierre-Louis

Exercice 14 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, on consid`ere E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives n1 et n2

[PDF] 5Espaces-vectorielsCorrigéspdf - Optimal Sup Spé

Déterminer En F B Familles libres, familles génératrices, bases 2 Familles libres de fonctions Dans cet exercice

[PDF] DS 2 - corrigé

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel réel i) Donner la définition d'une famille finie libre de vecteurs de E ii) Donner la définition du rang d'une famille finie de

[PDF] Espaces Vectoriels - Cours, examens et exercices gratuits et corrigés

Exercices Corrigés Premi`eres notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme

[PDF] Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE - USTO

Notion de Matrice Associée à une Application Linéaire et Calcul Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés 57 1 Espace vectoriel des matrices 57

[PDF] Algèbre Linéaire

18 déc 2013 · 3 Exercices et corrigés 16 3 1 Exercices On appelle forme linéaire sur E un K -espace vectoriel toute ap- plication linéaire de E dans K On

1u1+2u2+:::+kuk= 0;

rangfu1;u2;:::;ukg= dim(Vect(u1;u2;:::;uk)):

00 +1u1+2u2+:::+kuk= 0??

1u1+2u2+3u3= 0

1u1+2u2+3u3+ 0u4= 0

F=8 :0 @x y z t1 A

2R4:x+y+z= 0??x+ 2zt= 09

u 1=0 B B@1 2 1 11 C

CA; u2=0

B B@1 4 1 51
C

CA; u3=0

B B@2 2 2 01 C

CA; u4=0

B B@1 0 1 11 C CA: ??? ?????? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ?? ??????FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ??F???? ???? ??? ????? ?? ???? ????w;v2F?? ???? ?????w+v2F? ?? ???? ????w2F??2R?? ???? ?????w2F? ???? ???w1+w2+w3= 0 w

1+ 2w3w4= 0??v1+v2+v3= 0

1+ 2v3v4= 0:??

???? ?? ???????w+v= (w1+v1;w2+v2;w3+v3;w4+v4)???? ????? (w1+v1) + (w2+v2) + (w3+v3) = (w1+w2+w3) + (v1+v2+v3)()== 0 + 0 = 0 (w1+v1) + 2(w3+v3)(w4+v4) = (w1+ 2w3w4) + (v1+ 2v3v4)()== 0 + 0 = 0: ?? ? ?????? ???w+v2F? ???? ?? ???????w= (w1;w2;w3;w4)???? ????? ???? w

1+w2+w3=(w1+w2+w3)()==0 = 0

1+ 2w3w4=(w1+ 2w3w4)()==0 = 0:

???? ????? ?????? ???w2F? x+y+z= 0 y+zt= 0: 0 B B@x y z t1 C B B@x y z t1 C CA=0 B

B@2z+t

zt z t1 C CA=z0 B B@2 1 1 01 C CA+t0 B B@1 1 0 11 C CA; B=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA1 C CA a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA=0 B B@0 0 0 01 C

CA?????8

>:2a+b= 0 ab= 0 a= 0 b= 0????a=b= 0:

0 0 0 01

C CA ?? ?????? ??? ?? ???? ?? ????? ??????? ????2???? rangfu1;u2;u3;u4g= 2: B

0= (u1;u2) =0

B B@0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA ??? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ??? ???? ??????? ??FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ?? ???? ?? ??????? ?? ?? ??????? ????? ???? ??F???? F=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA;0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA: a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA+c0 B B@1 2 1 11 C CA+d0 B B@1 4 1 51
C CA=0 B B@0 0 0 01 C >:2a+b+cd= 0 ab+ 2c+ 4d= 0 ac+d= 0 b+c+ 5d= 0: 8>>< >:2a+b+cd= 0 b+ 5c+ 7d= 0

4c+ 8d= 0

0 = 0:

0=X22; P1= (X1)(X+ 1); P2= (X2)(X+ 1); P3= (X1)(X+ 2):

???? ??????? ??? ?? ???????(P1;P2;P3)??? ?????? ?????? ??? ???? ??R2[X]? P

0=X22; P2= (X2)(X+ 1) =X2X2; P3= (X1)(X+ 2) =X2+X2:

2+P3=X2X2 +X2 +X2 = 2X24 = 2P0;????P0=12

P2+12 P3: X

22 =a(X2X2) +b(X2+X2) = (a+b)X2+ (ba)X2a2b:

8< :a+b= 1 a+b= 0

A a(e1+ 2e2e3) +b(e1e2) +c(2e1+e2+ 2e3) = 0; (a+b2c)e1+ (2ab+c)e2+ (a+ 2c)e3= 0: ????? ?? ???????(e1;e2;e3)??? ??? ???? ??E? ???? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ??????? 8< :a+b2c= 0

2ab+c= 0

:a+b2c= 0 b3c0 c= 0: u=e1+e2e3??v= 2f1f2+ 2f3: v= 2f1f2+ 2f3= 2(e1+ 2e2e3)(e1e2) + 2(2e1+e2+ 2e3) =7e1+ 7e2+ 2e3: (v)B1=0 @7 7 21
A e

1+e2e3=a(e1+ 2e2e3) +b(e1e2) +c(2e1+e2+ 2e3);

1+e2e3= (a+b2c)e1+ (2ab+c)e2+ (a+ 2c)e3:

?????(e1;e2;e3)??? ??? ????? ???? ??? ??????? ?????? ?? ??????? ?? ??????? 8< :a+b2c= 1

2ab+c= 1

:a= 3 b= 6 c= 1: (u)B2=0 @3 6 11 A ??? ??(w)B2= a b c! ?????w=af1+bf2+cf3? ???? w=a(e1+2e2e3)+b(e1e2)+c(2e1+e2+2e3) = (a+b2c)e1+(2ab+c)e2+(a+2c)e3: (w)B1=0 @a+b2c 2ab+c a+ 2c1 A M0 @a b c1 A =0 @1 12 21 1

1 0 21

A0 @a b c1 A =0 @a+b2c 2ab+c a+ 2c1 A ???? ????? ?????? ???(w)B2=M(w)B1? (w)B2=M(w)B1: (w)B1=M1(w)B2:quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] [PDF] DS 2 - corrigé

1u1+2u2+:::+kuk= 0;

00 +1u1+2u2+:::+kuk= 0??

1u1+2u2+3u3= 0

1u1+2u2+3u3+ 0u4= 0

2R4:x+y+z= 0??x+ 2zt= 09

CA; u2=0

CA; u3=0

CA; u4=0

1+ 2w3w4= 0??v1+v2+v3= 0

1+ 2v3v4= 0:??

1+w2+w3=(w1+w2+w3)()==0 = 0

1+ 2w3w4=(w1+ 2w3w4)()==0 = 0:

B@2z+t

CA?????8

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 62 21

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 0 0 01

0= (u1;u2) =0

4c+ 8d= 0

0 = 0:

0=X22; P1= (X1)(X+ 1); P2= (X2)(X+ 1); P3= (X1)(X+ 2):

0=X22; P2= (X2)(X+ 1) =X2X2; P3= (X1)(X+ 2) =X2+X2:

2+P3=X2X2 +X2 +X2 = 2X24 = 2P0;????P0=12

22 =a(X2X2) +b(X2+X2) = (a+b)X2+ (ba)X2a2b:

2a2b=2?? ??? ?????a=b=12

1+bP2+cP3= 0

1 0 21

1=e1+ 2e2e3; f2=e1e2; f3=2e1+e2+ 2e3:

1 0 2j

0 0 11

1 0 11

0 0 1j

1 1 11

0 0 1j

1 1 11

0 0 1j

1 1 11

0 0 1j

1 1 11

1 1 11

2ab+c= 0

1+e2e3=a(e1+ 2e2e3) +b(e1e2) +c(2e1+e2+ 2e3);

1+e2e3= (a+b2c)e1+ (2ab+c)e2+ (a+ 2c)e3:

2ab+c= 1

1 0 21