Indépendance d'événements, variables aléatoires, lois discrètes Exercice 1 Une auto-école présente le même jour trois candidats au permis : André, Denis et
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e−axdx et utiliser la formule d'inversion Exercice 4 Lois images 1 Soit X une variables aléatoire de loi E(λ) Déterminer la loi de ⌊X⌋
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3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale Quelle loi de probabilité P peut-on raisonna - blement choisir ? Exercice 2 (Couple de variables aléatoires discrètes) 1
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corrigé 4 Exercice 5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux échcs contre Louis, il gagne 5 loi de probabilité discrète Variable aléatoire discrète
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Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par x 0 1 2 discréte Exercice 4 Soit X une v a suivant une loi uniforme sur [0; 1] On pose Y
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Corrigés des exercices centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale, du Khi-deux, b) Variable aléatoire discrète
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TD 3: Variables aléatoires, lois usuelles discrètes et continues Loi de Bernoulli, loi Binomiale Exercice 1 Soit Xn que on peut estimer à 5 la probabilité
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Indépendance d'événements, variables aléatoires, lois discrètes Exercice 1 Une auto-école présente le même jour trois candidats au permis : André, Denis et
[PDF] Exercices corrigés - IMT Atlantique
Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans " Probabilités pour la densité de probabilité gaussienne de moyenne nulle et de variance unitaire trer queU = FX (X) suit une loi uniforme sur un intervalle à déterminer et que FX est Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N ⋆
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Lois des probabilités discrètes et continues Exercice 1 : Loi binomiale On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,4
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Soit une variable aléatoire discrète associée à la loi de probabilité suivante Calculer son espérance et sa variance i x 1 2 3
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Cogmaster,Probabilités discrètes
Feuille de TD n
o3 : Indépendance d"événements, variables aléatoires, lois discrètesExercice 1Une auto-école présente le même jour trois candidats au permis : André, Denis et
Nicole. Sur la base des performances précédentes, le directeur estime les probabilités de succès :
pour Denise0:5, pour Nicole0:9et pour André0:7. Le succès de chaque candidat est indépendant
du succès des autres. Quelles sont les probabilités des événements suivants :1.B="Denise est la seule à réussir",
2.R="Les trois candidats réussissent",
3.E="les trois candidats échouent",
4.P="au moins un candidat est reçu"?
CorrectionNotonsA,DetN(respectivement) les évènements respectifs " André réussit »," Denise réussit » et " Nicole réussit ». Ces trois évènements sont indépendants mutuellement
d"après l"énoncé. Ainsi,1.P(B) =P(Ac\D\Nc) =P(Ac)P(D)P(Nc) = 0:30:50:1 = 0:015
2.P(R) =P(A\D\N) =P(A)P(D)P(N) = 0:70:50:9 = 0:315
3.P(E) =P(Ac\Dc\Nc) =P(Ac)P(Dc)P(Nc) = 0:30:50:1 = 0:015
4.P(P) =P(A[D[N)
=P(A) +P(D) +P(N)P(A\D)P(A\N)P(D\N) +P(A\D\N) =P(A) +P(D) +P(N)P(A)P(D)P(A)P(N)P(D)P(N) +P(A)P(D)P(N) = 0:7 + 0:9 + 0:50:70:50:70:90:50:9 + 0:70:90:5 = 0:985Exercice 2Trois chasseurs tirent simultanément sur un oiseau, avec des probabilités de succès
de70%,50%et90%respectivement. Quelle est la probabilité que l"oiseau soit touché? CorrectionIl faut donc calculer la probabilité qu"au moins un chasseur touche l"oiseau.C"est exactement le même calcul qu"à la question 4 de l"exercice précédent. Les succès respectifs
des chasseurs sont des évènements indépendants mutuellement. Exercice 3Trois étudiantsx,yetzattendent dans une file à la porte du secrétariat. On considère les deux événements -A: "yattend derrièrex" -B: "zattend derrièrex"On suppose qu"il y a équiprobabilité sur l"ordre d"arrivée des étudiants. Les événementsAetB
sont-ils indépendants? 1 CorrectionOn a 6 ordres d"arrivées possible :xyz,xzy,yxz,yzx,zxy,zyx. Ils sont équi- probables, donc chaque ordre arrive avec probabilité 16 . Donc,P(A) =P(fxyz;xzy;zxyg) =12
P(B) =P(fxyz;xzy;yxzg) =12
P(A\B) =P(fxyz;xzyg) =13
DoncP(A\B)6=P(A)P(B), les deux évènementsAetBne sont donc pas indépendants! Exercice 4On considère l"ensemble des familles de2enfants en admettant que les naissancessont indépendantes et qu"à chaque naissance, la probabilité d"avoir une fille (resp. un garçon)
est1=2. Soient les événementsA="Le premier enfant est une fille",B="Le second enfant est une fille", etC="la famille a des enfants des deux sexes". Montrer que les événementsA,Bet Csont indépendants deux-à-deux mais pas mutuellement.CorrectionOn a clairementP(A) =12
,P(B) =12 , etP(C) =12 . Par ailleurs,P(A\B) =14
=P(A)P(B)(doncAetBsont indépendants),P(A\C) =P(A\Bc) =14
=P(A)P(C)(doncAetCsont indépendants) etP(B\C) =P(Ac\B) =14
=P(B)P(C)(doncBetCsont indépendants). Cependant, siAetBsont vérifiés,Cne peut pas l"être, doncP(A\B\C) = 06= P(A)P(B)P(C), donc ces trois évènements ne sont pas mutuellement indépendants.Exercice 5On lance une fois un dé non pipé.
1. On supp osequ"on reçoit 15euros si on obtient1, rien si on obtient 2,3 ou 4, et 6 euros si on obtient 5 ou 6. SoitGla variable aléatoire égale au gain de ce jeu. Quelle est la loi deG? Que vaut le gain moyen? 2. Même sq uestionsen supp osantqu"on gagne 27 euros p ourun 1 et rien sinon. Préférez vous jouez au jeu du 1) ou à celui-ci? CorrectionLa loi deGest donnée par le tableau suivant :k0615P(G=k)1
2131
6 etE(G) = 012 + 613 + 1516 = 4:5euros. Dans la deuxième version du jeu, le tableau devientk027
P(G=k)5
616 2 etE(G) = 056 +2716
= 4:5euros. En moyenne, l"espérance de gain est donc la même qu"avec la première version du jeu.
Exercice 6On lance une fois un dé non pipé. SoitXla variable aléatoire égale au résultat du
dé. On poseY=X2etZ= (X3)2. 1)Q uelleest la loi de Y?
2) Do nnerla loi d eZet la représenter sous forme d"un graphique (diagramme en bâtons).CorrectionLa loi deYestk149162536
P(Y=k)1
6161
61
61
61
6 La variableZpeut prendre les valeurs(13)2= 4,(23)2= 1,(33)2= 0,(43)2= 1, (53)2= 4,(63)2= 9et sa loi est représentée par le tableauk0149
P(Z=k)1
6131
31
6
Sous forme graphique :
kP(Z=k)0149 Exercice 7On considère un sac contenant deux boules rouges et quatre boules noires, indis- cernables au toucher. 1) O ntire successiv ementune b oule,avec remise, jusqu"à obtenir une boule rouge. On noteXson rang d"apparition. Déterminer la loi de ce rang. 2) O ntire successiv ementune b oule,sans remise, jusqu"à obtenir une boule rouge, et on noteXson rang d"apparition. Déterminer la loi de ce rang.Correction
1. La v ariablealéatoire Xprend des valeurs entières. Pour tout entiern, l"évènementfX= ngest égal à l"évènement " on tire des boules noires lors desn1premiers tours et au n-ième tirage on tire une boule rouge ». Puisque l"on tire avec remise, et qu"il y a deux boules rouges parmi six, la probabilité de tirer une boule rouge à chaque tour est 26=13 et la probabilité de tirer une boule noire est 23
. Par suite, pour tout entiern,
P(X=n) =23
n113 3 Remarquons que c"est bien une loi de probabilité puisque +1X n=0P(X=n) =+1X n=0 23n113 =1123 13 = 1: 2. Dans le cas d"un tirage sans remise, le rang de la première b oulerouge est forcémen t inférieur à cinq puisqu"il n"y a que quatre boules noires. Dans ce cas, la loi deXest représentée par le tableau suivant :k12345
P(X=k)1
346 254
6 35
244
6 35
24
234
6 35
24
13=k12345
P(X=k)5
154153
152
151
15 Exercice 8On lance trois fois de suite un dé. SoitXle nombre de valeurs distinctes obtenues (par exempleX= 3si le résultat des lancers est(1;2;6)etX= 2s"il est(4;4;2)). Déterminer la loi deXet calculer son espérance. CorrectionIl y a en tout63triplets possibles de résultats lorsqu"on tire un dé trois fois de suite. La variableXne peut prendre que les valeurs1,2et3.Xest égal à1si et seulement si les trois valeurs successives obtenues sont égales, donc
P(X= 1) =6666=136
De même,X= 2si et seulement si deux valeurs sur les trois sont distinctes. On a32choix
pour les positions des deux valeurs égales, et65choix pour les valeurs en question, doncP(X= 2) =3
265666=512
Enfin,X= 3si et seulement si les trois valeurs successives sont distinctes, doncP(X= 3) =654666=59
On vérifie bien queP(X= 1) +P(X= 2) +P(X= 3) = 1. Exercice 9Le participant d"un jeu télévisé doit choisir entre deux questions, une questionfacile et une question difficile. S"il répond juste une première fois, il peut tenter de répondre à
l"autre. La question facile rapporte un euro et la question difficile 3 euros. Les questions sontindépendantes, et il estime avoir30%de chances de bien répondre à la question difficile, et60%
de chances pour la question facile. Calculer la loi et l"espérance de son gain dans le cas où il
choisit la question facile en premier, puis dans le cas contraire. Quelle question doit-il choisir? CorrectionNotonsXla variable aléatoire représentant le gain du joueur à la fin de la partie.Xpeut prendre les valeurs0,1,3et4. 1. S"il c hoisitla question facile en premier, la probabilité qu"il se tromp edès la premièrequestion est0:4. La probabilité qu"il réussisse la première question (facile) puis se trompe
à la deuxième question (difficile) est0:60:7 = 0:42. La probabilité qu"il réussisse les deux questions est0:60:3 = 0:18. On en déduit le tableau représentant la loi de son gain : 4 k014