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Exercices : Statistique descriptive `a deux variables
Exercice I (extrait du sujet AEA 2005)
Une chaˆıne de magasins commercialise des lampes de salon, elle souhaite ´etudier l"´evolution du nombre de lampes vendues en fonction du nombre de magasins dans lesquels la lampe est propos´ee. Le tableau suivant pr´esente cette ´evolution.Nombre de magasinsxi
15 4070
90
100
150
Nombre de lampes venduesyi
60254
362
504
615
810
On d´ecide d"ajuster cette s´erie statistique `a deux variables par la m´ethode des moindres carr´es.
1°)D´eterminer `a l"aide de la calculatrice le coefficient de corr´elation de cette
s´erie. Est-on dans des conditions satisfaisantes pour r´ealiser un ajustement affine?2°)D´eterminer `a la calculatrice une ´equation de la droite der´egression dey
enxsous la formey=mx+p, avecmetparrondis `a 10-2.3°)En d´eduire une estimation du nombre de lampes vendues, si lachaˆıne
pr´esente celles-ci dans 400 magasins.Exercice II (thermique)
Lors d"une augmentation de temp´erature, les objets se dilatent. On cherche `a mesurer le coefficient de dilatation thermiqueαd"un certain type de m´etal en observant la variation de la longueur d"unebarre constitu´ee de ce m´etal. On observe les longueurs suivantes, en fonction des variations de temp´eratures :ΔT(en degr´es)
10 20 3040
50
60
?(en mm)
5000,67
5001,16
5001,7
5002,32
5003,02
5003,55
1°)En utilisant la m´ethode des moindres carr´es, d´eterminezla longueur ini-
tialeLde la barre m´etallique (arrondir `a l"entier).2°)Quelle devrait ˆetre la longueur de cette barre pour une augmentation de
temp´erature de 100 degr´es?3°)La relation entre ΔLet ΔTest : ΔL=α.L.ΔTo`uαest le coefficient de
dilatation thermique.Donnez une valeur approch´ee `a 10
-6pr`es deα.Exercice III (optique)
Le ph´enom`ene de r´efraction s"observe lors qu"un faisceau lumineux change d"un milieu de propagation `a un autre d"indice de r´efraction diff´erent (nature du milieu). Un exp´erimentateur utilise un laser dirig´e vers un demi-cylindre et fait varier l"angle d"incidencei1pour les valeurs de 0° `a 90°, et mesure dans chacun des cas l"anglei2de r´efraction. Les r´esultats sont regroup´es dans ce tableau : i1 0 20 4060
80
89
i2 0 13 26
37
43
44
Trouvez une relation entre sini1et sini2(arrondir les coefficients au centi`eme). En utilisant la relation de Snell-Descartes :n1sini1=n2sini2 , trouvez l"in- dice de r´efractionn2du plexiglas (l"indice de l"air estn1= 1).
Exercice IV (d"apr
`es BTS groupement D, 2001) Suite `a un incident nucl´eaire, on a consign´e dans le tableau suivant, les r´esultats fournis par un appareil de mesure de la radioactivit´e. LesNirepr´esentent le nombre de particules mesur´ees par l"appareil en une seconde. tien heures 0 1 2 3 4 5 6 Ni 170102
63
39
24
16 9