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Statistique des evenements extr^emesMaster 2 Biostat

2010-2011 J.-N. Bacro, M. RibatetEXAMEN

Duree : 2 heures.

Les documents manuscrits sont autorises.

Les exercices sont independants.Exercice 1.SoitYGPD;(loi de Pareto generalisee de parametres de formeet d'echelle

1. Soity1ety2deux reels appartenant au domaine de denition de la loiGPD;. Montrer que

P(Y > y1+y2jY > y1) s'exprime au travers d'uneGPD;+y1.

2. Soit (Xi)i1une suite de variables aleatoires de loiFinconnue.

(a) Rappeler brievement comment on peut, en pratique, utiliser la loi de Pareto generalisee pour caracteriser le domaine d'attraction du maximum deF. (b) On decide de considerer successivement dierents seuilsu1< u2< ::: < uk. En vous appuyant sur le resultat de la question 1, proposer alors une approche regression pour estimerpermettant de prendre en compte l'information donnee par l'ensemble des depassements deu1< u2< ::: < uk. (c) D'un point de vue theorique, en quoi cette methode vous para^t-elle plus interessante que l'estimation deselon les depassements d'unui,ixe?

D'un point de vue pratique, en quoi ces avantages doivent-ils ^etre nuances?Exercice 2.SoitfZ(x)g,x2Run processus stochastique donne par

Z(x) =c+ maxi1

i(xUi)222 ; x2R; >0; c2R;(1) ouf(i;Ui)gi1sont les points d'un processus de Poisson surRRd'intensite d(;u) =eddu, du etant la mesure de Lebesgue surR.

1. Donner une interpretation conceptuelle de ce processus max-stable. Vous pourrez vous appuyer

sur un schema.

2. Montrer que pour toutk2N,x1;:::;xk2R2etz1;:::;zk2R,

Pr[Z(x1)z1;:::;Z(xk)zk] = exp

Z R maxj=1;:::;kezjecexp (xju)222 du :(2)

3. Quelle valeur faut il donner acpour que les marges defZ(x)gsoient Gumbel unitaires, c.a.d.

Pr[Z(x)z] = expfexp(z)g,z2R, pour toutx2R?

1

4. SoitUN(0;2) et notons'2sa densite de probabilite. Montrer que

Pr ez1'2(U)> ez2'2(U+x2x1)= z1z2a +a2 oua=jx1x2j=et est la fonction de repartition d'une loi Normale centree reduite.

5. En deduire que lorsquec=12

log(22) on a logPr[Z(x1)z1;Z(x2)z2] =ez1z1z2a +a2 +ez2z2z1a +a2 :(3)

6. i) Deduire de la question precedente la fonction du coecient extr^eme(h),h >0.

ii) Faire un graphe de cette fonction en indiquant ou se trouve la dependance totale et l'independance. iii) Expliquer comment varie la dependance en fonction de.

7. Faire un developpement limite a l'ordre 1 an de caracteriser le comportement de(h) pres de

l'origine.Exercice 3.SoitfZ(x)g,x2Rd, un processus max-stable simple isotrope dont la fonction du coecient extr^eme, noteeZ(h), verieZ(h)!2 lorsqueh! 1.

On considere le processus suivant

Z (x) = maxf1Z(x);2~Zg;01;21; x2Rd;(4) ou ~Zest une variable aleatoire Frechet unitaire, c.a.d. Pr[~Zz] = exp(1=z),z >0.

1. Quelles contraintes sur1et2faut il imposer pour quefZ(x)gait des marges Frechet

unitaires?

2. Considerons maintenant un cas particulier de (4) pour lequel nous avons

Z (x) = maxfZ(x);(1)~Zg;01: Verier quefZ(x)gest un processus max-stable simple.

3. i) Determiner la fonction du coecient extr^eme, appelons laZ(h), defZ(x)get tracer son

graphe. ii) Quel r^ole joue? iii) Expliquer le comportement deZlorsque= 0.

4.(Question Bonus)Considerons maintenant le cas ou dans (4) nous remplacons~Zpar un

bruit Frechet unitaire~Z(x) c.a.d. que pour toutx1;x22Rd,~Z(x1) est independant de~Z(x2) et que~Z(x) est une variable Frechet unitaire pour toutx2Rd. i) Que vaut maintenant la fonction du coecient extr^emeZ(h)? Tracer son graphe. ii) Quel r^ole joue? iii) Expliquer le comportement deZlorsque= 0. 2quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23