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Licence de mathématiques – L3 Topologie Montrer que dans un espace topologique la réunion infinie de fermés n'est pas toujours un fermé Exercice 3

corrigés du DM, du DS et des examens de janvier 2015 et janvier 2014; Exercice 2 13 Dans R muni de la topologie de l'ordre, donner des exemples de

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[Exercice corrigé] 2 2 Topologie induite, topologie produit Exercice 37 Soit (X, T ) un espace topologique séparé Montrer que la diagonale ∆ de X × X est

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b) Donner un contre-exemple dans R si on ne suppose pas A ouvert Exercice 3 7 Soit (X, τ) un espace topologique Pour A ⊂ X, on note A l'ensemble des points

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Un espace métrique séparable est séparé (voir la proposition 1 7) et à base dénombrable (voir l'exercice corrigé E 10 (1)) Donc (1) implique (2) Montrons que

1 Topologies, distances, normes

1.1 Topologie, distances, interieur et adherence

Exercice 1.Montrer que dans un espace topologique la reunion innie de fermes n'est pas toujours un ferme. Montrer que l'intersection innie d'ouverts n'est pas toujours un ouvert. (Indication: on pourra considerer des suites d'intervalles deRbien choisies). Exercice 2.Demontrer que l'intersection de topologies sur un ensembleXest une topologie surX. En

deduire que siSest une collection de parties deX, on peut construire la plus petite topologie contenantS

(ou topologie \engendree parS"). Exercice 3.SoientT1,T2etT3les trois topologies surRdenies comme ceci :

1.T1est la topologie engendree par les intervalles de la forme ]a;b[, aveca < b.

2.T2est la topologie engendree par les intervalles de la forme [a;b[, aveca < b.

3.T3est la topologie engendree par les intervalles de la forme [a;b], aveca < b.

Comparer (au sens de l'inclusion) ces trois topologies. Les comparer aussi avec la topologie eucldienne et

la topologie discrete surR. Exercice 4.SoitXun ensemble non vide, muni de la topologie co-nie (les ouverts sont;,Xet les ensembles dont le complementaire est ni). Donner une c.n.s. pour que cette topologie soit separee. Exercice 5.Donner une c.n.s. surf:R!Rpour que la fonction (x;y)7! jf(x)f(y)jdenisse une distance surR. Exercice 6.Soit:R+!R+une application croissante veriant pour toutu;v2R+,(u) = 0 ssiu= 0 et(u+v)(u) +(v). Soit (X;d) un espace metrique. Pourx;y2E, on pose(x;y) =[d(x;y)]. Montrer queest une distance surX. Exercice 7.Soit (X;T) un espace topologique. Etant donnee une famille non vide (Ai)i2Ide parties deX:

1. Comparer les ensembles

i2IA i,[ i2I A i, z}|{ i2IA id'une part et\ i2IA i,\ i2I A i, z}|{ i2IA id'autre part.

2. Comparer les ensembles

i2IA i,[ i2IA i,[ i2IA id'une part et\ i2IA i,\ i2IA i,\ i2IA id'autre part. Exercice 8.Soit (X;d) un espace metrique. Soit (rn)n2Nune suite bornee dansR+. On poser= infn2Nrn,

R= sup

n2Nrnet on xea2X. Expliciter a l'aide deretR: n2NB(a;rn) et\ n2N

B(a;rn):

Exercice 9.1. On munitRde la topologie euclidienne. Calculer l'interieur et l'adherence de [0;1]\Q

2. Construire une partieAdeRtelle que les ensembles suivants soient distincts :A,A,A,A,

A, A, A. Universite Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathematiques { L3. Topologie Generale { 2009/102

1.2 Normes

Exercice 10.Pourx= (x1;:::;xn)2Rn, on denitkxk1=nX i=1jxij,kxk2= nX i=1x 2i! 1=2 etkxk1= maxfjx1j;::::;jxnjg. Verier quek k1,k k2etk k1sont des normes surRnet decrire, pour chacune d'elles, les boules dans le casn= 2. Exercice 11.SoientEun espace vectoriel norme etA,Bdeux parties non vides deE, on poseA+B= fa+b;a2A; b2Bg. Montrer que siBest un ouvert alorsA+Best un ouvert. Exercice 12.SoitE=C([0;1];R) =ff: [0;1]!R;fcontinueg.

1. Pourf2E, on posekfk1= sup

x2[0;1]jf(x)j. Justier quek k1est une norme surE. Pourf2Eet " >0, representer graphiquementB(f;").

2. Pourf2E, on posekfk1=Z

1 0 jf(x)jdx. Justier quek k1est une norme surE.

3. SoitA=ff2E;f(x)>08x2[0;1]g. Montrer queAest ouvert pourk k1.

4. Montrer queAn'est pas ouvert pourk k1.

5. SoitB=ff2E;9x2[0;1]; f(x) = 0g. Montrer queBest ferme pourk k1.

Exercice 13.SoitEun espace vectoriel norme. SiCest une partie non vide deE, on dit queCest convexe si pour toutx;y2Cet toutt2[0;1], (1t)x+ty2C. Montrer que les boules deEsont convexes. Exercice 14.Soient (X;d) un espace metrique etA,Bdeux parties deX. On note Fr(A) la frontiere de

A. On rappelle que Fr(A) =A\A

c=AA.

1. Montrer que Fr(

A)Fr(A) et que Fr(A)Fr(A). Montrer a l'aide d'exemples que ces inclusions peuvent ^etre strictes.

2. Montrer que siAest une partie deXa la fois ouverte et fermee alors Fr(A) =;.

3. Montrer que Fr(A[B)Fr(A)[Fr(B).

4. Montrer que Fr(A\B)Fr(A)[Fr(B).

1.3 Suites. Adherence d'une partie d'un espace metrique.

Exercice 15.Soit dans un espace metrique une suite (xn) telle que les trois suites extraites (x2n), (x2n+1)

et (x3n) convergent. Montrer que la suite elle-m^eme converge. Exercice 16.Determiner l'ensemble des valeurs d'adherence des suites reelles : x n= 1 +1n sin n6 etxm;n=1m +1n ;avecm;n1: Exercice 17.Soient (X;d) un espace metrique,Aune partie non vide deXetx2X. On rappelle que d(x;A) = inffd(x;y);y2Ag. Montrer qued(x;A) = 0()x2A. Exercice 18.SoientEun espace vectoriel norme,run nombre reel,r >0 eta2E. On rappelle que

B(a;r) =fx2E:kxak< rgetB(a;r) =fx2E:kxak rg.

1. Montrer que l'adherence de la boule ouverteB(a;r) concide avecB(a;r)

2. Montrer que l'interieur de la boule fermee

B(a;r) concide avecB(a;r).

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3. En utilisant la distance discrete, demontrer qu'en general, dans un espace metrique, on peut avoirB(a;r)6=B(a;r).

Exercice 19.On considere un espace metrique (X;d), un ouvertAdeXet une partie quelconqueBde X. Montrer queA\BA\Bet que cette inclusion peut ne pas ^etre vraie siAn'est pas un ouvert. Exercice 20.Soient (X;d) un espace metrique,Aun ouvert deXetBune partie deXtels queA=X etB=X, montrer queA\B=X.

1.4 Distances et normes equivalentes

Exercice 21.Demontrer que dansRn, les trois normesk k1,k k2etk k1sont equivalentes. Exercice 22.SiP=a0+a1X+:::+anXnest un element deR[X], on posekPk1=nX k=0jakj,kPk2= nX k=0a 2k! 1=2 etkPk1= maxfja1j;::::;janjg. On montre comme dans l'exercice 10 que ce sont trois normes surR[X]. Ces normes sont-elles equivalentes? Exercice 23.Montrer que1d(x;y) =jxyj1+jxyjdenit une distance surR, topologiquement equivalente a la distance euclidienne. Demontrer quedn'est pas metriquement equivalente a la distance euclidienne. Exercice 24.1. Soientdetdeux distances metriquement equivalentes surX. Montrer quedet donnent les m^emes ouverts.

2. Soit (X;d) un espace metrique et=d1 +d. Montrer neanmoins quedetsont topoloquement

equivalentes. Les distancesdetsont-elles metriquement equivalentes ? (Distinguer le deux cas : (i) dest une distance non bornee. (ii)dest une distance bornee). Exercice 25.SoitEun espace vectoriel muni de deux normeskketkk. On note respectivement par B (x;r) eB(x;r) les boules ouvertes de centrexet rayonr >0 pour ces deux normes.

1. Pour toutC >0, montrer quek kCk kssiB(0;1)B(0;C).

2. Conclure quek kaetk kbsont deux normes equivalentes si et seulement si elles induisent la m^eme

topologie. Exercice 26.Demontrer que, dans l'espaceE=C([0;1];R), les deux normesk k1etk k1introduites dans l'exercice 12 ne sont pas equivalentes.

1.5 Sous-espaces topologiques

Exercice 27.SoitX=fx2R: sin(x)>0g. On munitXde la distance euclidienne :d(x;y) =jxyj. On considere le sous-ensemble deX,A=]0;[. Etablir siAest ouvert dans (X;d). Etablir siAest ferme dansX. Exercice 28.On munitZetQde la topologie euclidienne. Soitm2Z. Le singletonfmgest-il ferme dansZ? Et dansQ? Le singletonfmgest-il ouvert dansZ? Et dansQ?

1.6 Inegalites classiques

Exercice 29.Pour 1< p <1etx2Rnon denitkxkp=

nX i=1jxijp! 1=p . Le but de cet exercice est de montrer que pour tout 1< p <1,k kpest une norme surRn.

Fixons 1< p;q <1tels que1p

+1q = 1.1

On pourra appliquer l'exercice 6.

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1. (Inegalite de Young) Sia;b0 alorsabapp

+bqq :(Indication : etudier le minimum de la fonction denie parf(x) =xpp +bqq xbpourx0.)

2. (Inegalite d'Holder) Sia= (a1;:::;an),b= (b1;:::;bn)2Rn, alors

n X i=1a ibi kakpkbkq0 nX i=1jaijp!

1=p nX

i=1jbijq! 1=q1 A Indication: montrer d'abord l'inegalite pour la caskakp=kbkq= 1.

3. (Inegalite de Minkowski) Sia;b2Rn, alors

ka+bkp kakp+kbkp: Indication: montrer en utilisant l'inegalite d'Holder que n X i=1jaijjai+bijp1 kakpka+bkp1p et nX i=1jbijjai+bijp1 kbkpka+bkp1p:

Conclure en sommant ces deux inegalites.

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2 Continuite

2.1 Continuite des fonctions entre espaces topologiques

Exercice 30.Soient (X;T1), (Y;T2) deux espaces topologiques etf:X!Yune application continue. a) Montrer que8AX,8BY, on a f(A)f(A); f1(B)f

1(B); f1(B)(f1(B)):

b) Montrer sur des exemples que les inclusions precedentes peuvent ^etre strictes. c) Peut-on comparerf(A) et (f(A))? d) On suppose quefest continue et surjective etAdense dansX. Montrer quef(A) est dense dansY. Exercice 31.Soient (X;T) un espace topologique etAX. Donner une condition necessaire et susante pour que la fonction indicatrice deA,A, soit continue. On rappelle queAest denie par A:X!R x7!A(x) =(

1;six2A

0;six =2A:

Exercice 32.Soient (E;d) un espace metrique etf:E!R. a) Montrer que les assertions suivantes sont equivalentes : (i)fest continue; (ii)8a2R, les ensemblesfx2E:f(x)< agetfx2E:f(x)> agsont des ouverts deE; (iii)8a2R, les ensemblesfx2E:f(x)agetfx2E:f(x)agsont des fermes deE. b) Lorsquefest continue etAune partie quelconque deE, montrer que inf

Af= infA

f;sup

Af= supA

On pourra considerer l'ensembleB=fx2E:f(x)infAfg.

c) Une identite analogue est-elle valable lorsqu'on remplaceAparA? Exercice 33.Soit (E;d) un espace metrique. On rappelle que la distance a une partieAdeEest la fonction d(x;A) := inffd(x;y) :y2Ag;(x2E): a) Montrer que8A2 P(E), la fonction E!R x7!d(x;A) est 1-lipschitzienne (i.e. qu'elle verie jd(x;A)d(y;A)j d(x;y);8x;y2E): b) SoientA;B2 P(E). Montrer que l'ensemblefx2E:d(x;A)< d(x;B)gest ouvert. c) En deduire que siFetGsont deux fermes disjoints deE, il existe deux ouvertsUetVtels que

FU; GV; U\V=;:

Universite Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathematiques { L3. Topologie Generale { 2009/106 Exercice 34.SoientE;Fdeux espaces metriques etf;g:E!Fdeux applications continues. a) Montrer que =fx2E:f(x) =g(x)gest un ferme deE. b) SoitA2 P(E). Montrer que siAest dense dansEet sifgsurA, alorsfgsurE. c) Montrer que f:=f(x;f(x)) :x2Egest ferme dansEF. d) Est ce que la reciproque est vraie? i.e., est-ce que fferme =)fcontinue?

Indication:on pourra considererf:R!Rdenie par

f(x) =( 1x six6= 0

0 six= 0:

2.2 Continuite des applications lineaires entre e.v.n.

Exercice 35.Soitn1 etX=Rn, muni de la normek k2. Poura= (ak)1kn2Rn, on denit T a:Rn!R x7!Ta(x) =Pn k=1akxk;six= (xk)1kn: a) Verier queTaest une application lineaire continue surX. b) Calculer sa norme. Exercice 36.(Une application lineaire discontinue) SoitE=C([a;b];R),a < b. Pourf2E, muni de la norme kfk1=Z b a jf(x)jdx:

Pourc2[a;b], on considere

c:E!R f7!f(c): Montrer quecest une application lineaire surEnon continue.

Exercice 37.Pourf2E=C([0;1];R), on pose

kfk1:=Z 1 0 jf(t)jdt: a) Soit:E!Edenit par (f)(x) :=Z x 0 f(t)dt; x2[0;1]; f2E: (i) Montrer queest bien denit et queest une application lineaire continue de (E;k k1) dans lui m^eme. (ii) On considere la suite de fonctions (fn)n1denit par f n(t) =n(1t)n1;0t1:

Calculerkfnk1etk(fn)k1.

(iii) En deduire la norme de. b) Refaire l'exercice, en munissantEde la norme de la convergence uniforme. Universite Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathematiques { L3. Topologie Generale { 2009/107 Exercice 38.On denit surC([0;1];R), muni de la norme de la convergence uniforme, la forme lineaire (u) :=Z 1=2 0 u(t)dtZ 1

1=2u(t)dt; u2C([0;1];R):

a) Montrer que est une forme lineaire continue surC([0;1];R) et quekk 1. b) Montrer quekk= 1. Indication:on pourra calculer, pourn3, (un), avecundenit par u n:=8 :1 sur 0;12 1n

1 sur12

+1n ;1 ane et continue sur 12 1n ;12 +1n Exercice 39.Soient (an)n2N[0;1] une suite strictement croissante et (n)n2NRtel que+1X n=0jnj< +1. On considereE=C([0;1];R) muni de la norme de la convergence uniforme etT:E!Rdeni par

T(f) =+1X

n=0 nf(an): a) Montrer queTest bien denie. b) Montrer queTest une forme lineaire continue surE. c) Montrer que kTk=+1X n=0jnj:

2.3 Continuite uniforme. Convergence uniforme

Exercice 40.Soientf;gles fonctions : [1;1[![1;1[ denies parf(t) =t1=2etg(t) =t2. Ces fonctions sont-elles uniformement continues ? Exercice 41.Pour tout entiern0, soitfnla fonction denie sur ]0;+1[ parfn(t) =tn+t. Montrer que (fn)n0converge simplement vers la fonction identiquement nulle mais que la convergence n'est pas uniforme. Exercice 42.Soit (fn)n1la suite de fonctions continues surR+denie par f n(x) =( (1xn )n;sixn

0;six > n:

Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n1sur [0;+1[.

2.4 Homeomorphismes

Exercice 43.Construire des homemorphismes entre :

1. Deux intervalles de la forme [a;b] et [c;d], aveca < betc < d.

2. L'intervalle ]1;1[ etR

3. Un cercle prive d'un point etR

4. Le cylindreS1[0;1] et la couronnef(x;y)2R2: 1x2+y24g.

Universite Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathematiques { L3. Topologie Generale { 2009/108 Exercice 44.Demontrer que siXetYsont deux espaces topologiques homeomorphes, etx02X, alors il existey02Ytel queXnfx0gest homeomorphe aYnfy0g. En deduire qu'il n'y a pas d'homeomorphisme entre l'intervalle [0;1[ et l'intervalle ]0;1[. Exercice 45.Etablir si l'applicationf: [0;2[!S1denie parf(t) = (cost;sint) est un homeomorphisme. Exercice 46.a) SoitXun espace metrique etd1etd2deux distances surX. Montrer que sid1etd2 sont equivalentes, alors l'application identite id: (X;d1)!(X;d2) est un homeomorphisme. b) On considereX=Retd1(x;y) :=jarctanxarctanyj,d2(x;y) :=jxyj,8x;y2R. Montrer que (R;d1) est homeomorphe a (R;d2), mais qued1etd2ne sont pas equivalentes. Exercice 47.SoientEun espace vectoriel norme de dimension nie etk k1,k k2deux normes surE.

Montrer que l'application':X!Xdeni par

'(x) :=( kxk1kxk2xsix6= 0

0;six= 0

est un homeomorphisme deBkk1(0;1) surBkk2(0;1). En prenantE=R2, deduire de ce qui precede qu'un carre est homeomorphe a un disque.

3 Espaces metriques complets

3.1 Suites de Cauchy et espaces complets

Exercice 48.Etablir si les sous-espaces suivants deRsont complets :RnQ, ]0;1], [0;+1[,Z. Exercice 49.1. Montrer queC1([0;1]), muni de la norme uniforme, n'est pas complet.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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