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MÉCANIQUE

chapitre 6

Principe fondamentalde la dynamique

La dynamique est née en temps que science avec Galilée (mort en 1642), qui a étudié expérimentalement

la chute libre et le pendule, et correctement identifiés les différents paramètres mis en jeu, en particulier les

frottements. Le principe fondamental de la dynamique, énoncé par Newton en 1687, donne une base théorique

solide à la dynamique, en introduisant le concept de force, et en le reliant à l"accélération du mobile. Jusqu"au 19e

siècle, la mécanique newtonienne n"a jamais été remise en cause, tant ses succès ont été éclatants, en particulier

la prévision par Le Verrier de l"existence de la planète Neptune à partir de la trajectoire d"Uranus.

Plan du chapitre.

1. Énoncé

1.1 Quantité de mouvement

1.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique

1.3 Conséquences

1.4 Cas d"un objet non ponctuel

2. Exemple du tir d"un projectile

2.1 Trajectoire en l"absence de frottement

2.2 Influence de la résistance de l"air

3. Exemple d"un mouvement circulaire

3.1 Étude du mouvement dans le repère tournant

3.2 Forces d"inertie

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1 Énoncé

1.1 Quantité de mouvement

On considère un solide indéformable ponctuel, de massem, et animé d"une vitesse?vpetite devant celle de

la lumière. La quantité de mouvement de l"objet est par définition la grandeur vectorielle :

?p=m?v(1)

L"intérêt de cette grandeur est que, contrairement à la masse ou à la vitesse, elle se conserve : c"est un

invariant au cours d"une transformation d"un système physique. Soit par exemple deux boules de massem1et

m

2, animées de vitesses?v1et?v2, qui entrent en collision; leurs vitesses après le chocs sont?v?1et?v?2.

m1 m 2 avant le chocm1 m2 v1 v 2v 1" v 2" après le choc La quantité de mouvement du système total se conservant, on a: ?p

La quantité de mouvement est une grandeur fondamentale en physique des particules ou en relativité, deux

domaines dans lesquels la masse ne se conserve pas lorsque lavitesse est proche de celle de la lumière. Dans le

cadre du programme, la masse des systèmes est supposée constante.

1.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique

Soit un objet ponctuel de massemet de vitesse?v. Dans le cas où samasse est constante, la variation

temporelle de sa quantité de mouvement est : d?p dt=md?vdt=m?a(3)

Supposons que l"objet précédent soit soumis à un ensemble deforces extérieures dont la somme est?Fext. Le

principe fondamental de la dynamique(ou deuxième loi de Newton) postule que : dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement d"un solide ponctuel est égale à la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées. d?p dt=md?vdt=m?a=?Fext(4)

On a vu que l"accélération est la même dans deux référentiels galiléens en translation, donc la somme des forces l"est

aussi; le principe fondamental de la dynamique est invariantpar changement de référentiel galiléen. Dans les référentiels

non galiléens, il faut ajouter des termes supplémentaires,appelés lesforces d"inertie.

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1.3 Conséquences

On peut tirer trois conséquences immédiates du principe fondamental de la dynamique. Premièrement, si la

somme des forces appliquées est nulle, on a :

Fext=?0?d?v

dt= 0??v=-→cte(5)

autrement dit, le mouvement est rectiligne uniforme; on retrouve leprincipe d"intertie. Inversement, si la

somme des forces extérieures n"est pas nulle, on a :

Fext?=?0??v?=-→cte(6)

c"est-à-dire que le vecteur vitesse évolue au cours du temps. Cette évolution peut concerner la norme (la valeur

de la vitesse change), la direction (la direction du mouvement change) ou les deux. D"autre part, si le solide ponctuel est au repos, on a nécessairement : ?v=?0??a=?0??Fext=?0(7)

c"est-à-dire qu"un solide ne peut être au repos (dans le référentiel d"étude) que si la somme des forces qu"il subit

est nulle. Attention! cette condition est nécessaire, maispas suffisante, comme le montre le principe d"inertie.

1.4 Cas d"un objet non ponctuel

On peut montrer que, pour un solide non ponctuel indéformable, de masse totale constantemet de centre

de masse G, dans un référentiel galiléen, lethéorème du centre d"inerties"applique : md?vGdt=?Fext(8)

Ce théorème est toujours valable. Dans le cas où aucun mouvement de rotation du sytème n"intervient, le

théorème du centre d"inertie revient à dire que tout se passecomme si la masse totale du solide était concentrée

en un point unique, le centre d"inertie.

D"une façon générale, aucun mouvement de rotation n"est au programme en BCPST. En conséquence, le

théorème du centre d"inertie se confond avec le principe fondamental de la dynamique. L"étude des mouvements

de rotation nécessite l"introduction d"une grandeur supplémentaire, le moment cinétique, dont la variation

temporelle est reliée à la somme des moments des forces appliquées.

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2 Exemple du tir d"un projectile

2.1 Trajectoire en l"absence de frottement

On considère un projectile de massem, assimilable à un objet ponctuel, lancé avec une vitesse initiale?v0

faisant un angleαavec le sol, supposé horizontal. On cherche l"équation du mouvement et le lieu de la chute

du projectile. Ou z u xuy

αmg

v M v0

2.1.1 Choix du repère

On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le problème ne présentant ni symétrie cylindrique ni

symétrie sphérique, on raisonne en coordonnées cartésiennes. Afin de simplifier les équations, et sans restreindre

la généralité du problème, on peut choisir comme origine du repère le lieu du tir, c"est-à-dire la position du

projectile à l"instantt= 0. Les coordonnées du système à l"instant initial sont alors : OM

0=-→

OO? ?x 0= 0 y 0= 0 z

0= 0(9)

D"autre part, le plan horizontal (celui du sol) va sans doutejouer un rôle particulier. En outre, le vecteur

vitesse initiale?v0est inclus dans un plan vertical. Il est judicieux de choisirles vecteurs de base de sorte à faire

apparaitre ces plans. On choisit donc par exemple?uxet?uydans le plan horizontal et?uzselon la verticale, de

sorte que?v0soit dans le plan(?ux,?uz). La vitesse initiale est alors de la forme : ?v 0? ?v x0=v0cosα v y0= 0 v z0=v0sinα(10)

2.1.2 Équation de la trajectoire

Si on néglige les frottements fluides dus à l"air, la seule force appliquée est le poids. Le principe fondamental

de la dynamique s"écrit alors : m?a=md?v dt=m?g?d?vdt=?g(11)

Séparons les variables, et intégrons la relation vectorielle entre l"instant initial, pour lequel la vitesse est?v0,

et un instant quelconque, pour lequel elle vaut?v. Sachant que?gest un vecteur constant, on a : ?v ?v

0d?v=?

t 0 ?gdt=?g? t 0 dt??v-?v0=?g t??v=?v0+?g t(12)

Intégrons une deuxième fois pour obtenir le vecteur position en fonction du temps, sachant qu"il est nul à

l"instant initial. Les vecteurs?v0et?gétant constant, on a : d OM dt=?v=?v0+?g t?? OM

0d--→OM =?

t 0 (?v0+?g t)dt=?v0? t 0 dt+?g? t 0 tdt?--→OM =?v0t+12?g t2(13)

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En projetant sur les axes du repère, on en déduit les coordonnées du projectile en fonction du temps :

?x=v0cosαt y= 0 z=v0sinαt-1

2gt2(14)

Le même résultat peut être obtenu par projection du principefondamental de la dynamique, suivie de deux

intégrations, suivant chacun des trois axes. Projetons (11) : ?a x= dvx/dt= 0 a y= dvy/dt= 0 a z= dvz/dt=-g(15) Intégrons après séparation des variables et en utilisant lacondition initiale (10) : vx v x0dvx=? t 0

0×dt

vy v y0dvy=? t 0

0×dt

vz v z0dvz=? t 0 -gdt?? ?v x-vx0= 0 v y-vy0= 0 v z-vz0=-gt?? ?v x= dx/dt=vx0=v0cosα v y= dy/dt=vy0= 0 v z= dz/dt=vz0-gt=v0sinα-gt(16) Une seconde intégration, en utilisant la condition initiale(9), conduit au système (14) : x x 0dx=? t 0 v

0cosαdt

y y 0dy=? t 0

0×dt

z z 0dz=? t 0 (v0sinα-gt)dt(17)

Le système (14) constitue le système d"équations paramétriques de la trajectoire :(x(t),y(t),z(t)). L"équation

cartésienne s"obtient en éliminant le temps entre les troiséquations, ce qui se fait en exprimantten fonction de

xet en reportant dans l"expression dez: t=x v0cosα?z=xtanα-g2v20cos2αx2(18)

Ceci est l"équation d"une parabole concave d"axe vertical;le mouvement est donc parabolique. En outre, il

se déroule dans le plan(O,?ux,?uz). Ou z u xuy v0 vz > 0 xPxS ySS vz < 0

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2.1.3 Sommet de la trajectoire

Dans la première partie de la trajectoire, le projectile monte, c"est-à-dire que la composante verticale de la

vitesse est positive :vz>0. Après le sommet de la trajectoire, le projectile descend, cequi correspond àvz<0.

Comme la vitesse est continue, et en utilisant (16), on en déduit que le sommet de la trajectoire est atteint à la

datetStelle que : v z= 0?v0sinα-gtS= 0?tS=v0sinα g(19)

En reportant dans (14), on obtient les coordonnées du sommetde la trajectoire, qui sont celles du point le

plus élevé atteint par le projectile : ?x

S=v20cosαsinα

g=v20sin2α2g y S= 0 z

S=v20sin2α

g-v20sin2α2g=v20sin2α2g(20)

Pour un projectile donné, comment faut-il le tirer pour l"envoyer le plus haut possible? Il est évident quezS

est maximal sisinαest maximal, soitα=π/2. C"est donc avec un tir vertical qu"on atteint l"altitude laplus

élevée.

2.1.4 Portée du tir

La portée du tir correspond à la distance entre le lieu du tir et le lieu où le projectile atteint le sol. Cette

position correspond àz= 0. En utilisant (18), évaluons l"abscisse de ce point : z= 0?x(tanα-g

2v20cos2αx) = 0(21)

La première solutionx= 0, correspond au lieu du tir. La deuxième solution correspondà l"abscissexPdu

lieu où le projectile retombe, qui est aussi la distanceLparcourue selon l"axe horizontal (carx0= 0) :

tanα-g

2v20cos2αxP= 0?xP=2v20cos2αtanαg=2v20cosαsinαg=v20sin2αg=L(22)

La portée du tir vérifie doncxP= 2xS, ce qui est attendu par symétrie. La portée est maximale sixPest

maximal, soit sisin2αest maximal. Ceci correspond à2α=π/2soitα=π/4. La portée est maximale si on

effectue un tir à45◦.

2.2 Influence de la résistance de l"air

2.2.1 Modélisation de la force de frottement fluide

Tant que les vitesses restent faibles et si le fluide est peu visqueux, la force de frottement exercée sur le

projectile est opposée à son mouvement et proportionnelle àla vitesse, soit :

F=-k?v(23)

oùkest un coefficient positif, qui dépend de la nature du fluide, dusolide et de la surface de contact. Le principe

fondamental de la dynamique s"écrit maintenant : m d?v

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2.2.2 Détermination de la vitesse

L"équation (24) est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. La solution?v1de

l"équation homogène est : d?v1 dt+?v1τ= 0??v1=?Ae-t/τ(25) où ?Aest un vecteur constant. On peut chercher une solution particulière?v2constante : d?v2 dt= 0??v2τ=?g??v2=τ ?g(26)

La vitesse est donc de la forme :

?v=?Ae-t/τ+τ ?g(27)

Le vecteur

?Aest déterminé à l"aide d"une condition à la limite. À l"instant initialt= 0, la vitesse est?v0; en

reportant dans (27), on a alors : ?vquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43