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´EPREUVE DE PHYSIQUE MPI

Ecoles Normales Sup´erieures de Paris, Lyon, Cachan

Session 2006 - Dur´ee : 5 heures

1 L"exp´erience de diffusion de Rutherford

1.1 Questions pr´eliminaires

1.-?f2=1

4π?0q

1q2r2?uest la loi de force de Coulomb, o`u?0est la permittivit´e di´electrique du vide.

?u q 1 M 1q 2 M 2 ?u2.-Les sym´etries du champ ´electrostatique sont les mˆemes que celles des charges qui lui donnent naissance (le champ?Eest un vecteur polaire). Tout plan contenantM1M2est plan de sym´etrie des charges donc?E(M2) est contenu dans chacun de ces plans et ?E(M2) =E(M2)?u. Le champ cr´e´e parq1est, commeq1invariant par toute rotation de centre M

1etE(M2) =E(r).

Le th´eor`eme de Gauss, appliqu´e `a une sph`ere (S) de centreM1et de rayon r, impose? ?E·?ndS=q1 ?0, au moins tant queM2est ext´erieur `aq1; on a par ailleurs pour flux du champ? ?E·?ndS= 4πr2E(r) et on retrouve bien le r´esultat demand´e,?f2=q2?E(M2) garde la mˆeme expression ?f2=1

4π?0q

1q2r2?uque dans le cas pr´ec´edent.

3.-On d´efinit l"´energie potentielleEppar dEp=-δWo`u le travail des deux forces?f2(exerc´ee surq2) et

f1=-?f2(exerc´ee surq1) estδW=?f2·d?---→OM2----→OM1? qui s"´ecrit aussiδW=q1q2

4π?0r2?u·d(r?u) o`u on sait que

?u·d?u= 0 puisque?u2= 1; on a doncδW=q1q2dr

4π?0r2qui, compte tenu de la condition limite impos´ee, s"int`egre

enEp=q1q2

4π?0r.

4.-Le th´eor`eme de la r´esultante dynamique appliqu´e au syst`eme isol´e form´e des deux particules en interaction

impose (m1+m2)d?vG

dt=??fext=?0 o`u la d´eriv´ee est calcul´ee dans un r´ef´erentiel galil´een; le mouvement deG

dans ce r´ef´erentiel ´etant rectiligne et uniforme, le r´ef´erentiel barycentrique (qui est par d´efinition en translation

`a la vitesse?vG) est galil´een M1GM 2r1 r2 ?u

5.-Notons---→GM1=-r1?uet---→GM2=r2?u; on a alorsr=r1+r2et (par

d´efinition deG)m1r1=m2r2. on en d´eduitr2=μ m2ro`u on a pos´e par d´efinition

μ=m1m2

m1+m2doncm2d2---→GM2dt2=?f2(qui est le principe fondamental de la dy- namique ´ecrit dans le r´ef´erentiel barycentrique, galil´een) devientμd2?GM dt2=?f2; tout se passe comme si une particule fictive situ´ee enMet de masseμsubissait la force?f2. Le mouve- ment deMpermet de d´eterminer les mouvements deM2etM1par homoth´etie puisque---→GM2=μ m2--→GMet GM

1=-μ

m1--→GM.

6.-La force?f2est centrale; notant?v=d--→GMdtet?σG=μ--→GM??v, le th´eor`eme du moment cin´etique au point

(fixe)Gimposed?σG dt=--→GM??f2=?0 et--→GMreste perpendiculaire au vecteur constant?σG: le mouvement de

Mest plan

dans un plan passant parGet perpendiculaire `a?σG.

7.-?σG=μr?u??

r?u+rθ?u?? o`u?u?=d?u dθest le vecteur unitaire du plan (Gxy) directement perpendiculaire

`a?u(vecteur unitaire orthoradial) donc?σG=μr2θ?ezest constant ce qui impose queC=r2θest constant

au cours du mouvement. xy MM ?--→GM=r?u ?vdt8.-L"aire balay´ee par le rayon vecteur--→GM=r?upendant la dur´ee dtest la moiti´e de l"aire du parall´elogramme construit surG,M,M? avec MM?=?vdt. Si on oriente positivement cette aire dApour un parcours dans le sens trigonom´etrique, et notant d?A= dA?ez; il vient d ?A=1

2r?u??vdtdoncd?Adt=C2?ez; la grandeurC2est la

vitesse ar´eolaire de parcours de sa trajectoire parM(et non la constante des aires, terme qui d´esigne habituellementC).

9.-L"´energie cin´etiqueEc=1

2m1?v21+12m2?v22s"exprime en remarquant que?vi=d--→GMidtdonc?v1=-μm1?v

et?v2=μ m2?v; apr`es calculs, on trouveEc=12μ?v2=μ2? r2+C2r2?compte tenu deθ=C/r2. On a vu que l"´energie potentielle du mˆeme syst`eme estEp=q1q2

4π?0rdonc on ´ecrira l"´energie m´ecaniqueE=Ec+Epen

fonction de l"´energie potentielle effectiveU(r) selonE=1

2μr2+U(r) avecU(r) =q1q24π?0r+μC22r2.

1.2 La diffusion d"un faisceau de particules alpha par les atomes d"une fine feuille

d"or

1.2.1 Interaction d"une particule alpha avec les ´electrons des atomes d"or

10.-Dans l"interaction avec l"´electron, la particuleαperd Δ?pet on peut ´ecrire apr`es le

?choc??p?=?p-Δ?p. On a donc, au second ordre pr`es,p?2=p2-2?p·Δ?pqui s"´ecrit encorep?2=p2?

1-2Δpx

p? et, au mˆeme ordre, p ?=p?

1-Δpx

p?

Zone d"interaction

?p ?p ?xα

Toujours `a l"ordre deux pr`es, Δ?p2= 0 = (?p?-?p)2imposep?2+p2-2pp?cosα= 0 soit apr`es d´eveloppement

cosα= 1 : au premier ordre en Δpx, la trajectoire n"est pas modifi´ee par l"interaction, la particuleαest seulement ralentie.

11.-Le syst`eme form´e de la particuleαet de l"´electron est isol´e; si la particuleαperd Δ?p, l"´electron

gagne Δ?p. Le principe fondamental de la dynamique appliqu´e `a la particuleαs"´ecritd?p dt=-Zαe24π?0r2?uavec

pour constante des airesC=?ez·(?r??v) qui, calcul´e `a l"instant initial (longtemps avant l"interaction) fournit

C=-bv0; on peut donc ´ecrire d?p=-Zαe2

4π?0C?udθ=Zαe24π?0bv0(cosθ?ex+ sinθ?ey)dθet il vient dans le cadre de

cette approximation-Δ?p=Zαe2

4π?0bv0?

0 (cosθ?ex+ sinθ?ey)dθdonc Δ?p=-Zαe22π?0bv0?eydans le cadre de cette approximation (´electron fixe). 2

12.-Dans les mˆemes conditions d"approximation, la variation d"´energie cin´etique de l"´electron prend l"expres-

sion ΔEc=Ec,final-0 =Δ?p2

2mevaut ΔEc=Z2αe48π2?20b2v20me.

13.-Il y aZAuρAu

mAu= 4,7×1030´electrons par m`etre cube soit une distance moyenne (dans une r´epartition spatiale cubique de cˆot´e

¯d) entre ´electrons¯d=?mAu

ZAuρAu?

1

3= 6,0×10-11met le param`etre d"impact

?moyen?

¯b= 3,0×10-11m. Par ailleurs, la vitesse des particulesαestv0= 1,9×107m·s-1(on en remarque le caract`ere

quasi-relativiste mˆeme si on poursuit l"´etude dans le cadre de la dynamique classique).

Consid´erant alors que l"essentiel de l"interaction a lieu`a la distance¯bentre ´electron et particuleα, il vient

f=d?p

dtdonc-2αe24π?0¯b2?ey≂Δ?pΔtd"o`u une dur´ee d"interaction Δt≂2¯bv0et, pendant ce temps, un d´eplacement de

l"´electron de l"ordre de ?f2

2meΔt2=-Δy?eyavec Δy≂Zαe22π?0mev20= 2,7×10-12mouΔy¯b≂0,1: l"´electron

a donc peu de temps pour se d´eplacer et son d´eplacement n"est au maximum que 10% de la distance moyenne

entre deux ´electrons. Ceci valide l"hypoth`ese (i) : en premi`ere approximation, l"´electron reste fixe

Par ailleurs, on calcule imm´ediatement

?Δ?p? mαv0=Zαe22π?0mαv20¯b= 1,2×10-5?1: ceci valide l"hypoth`ese (ii)

avec une excellente pr´ecision, la quantit´e de mouvement c´ed´ee par la particuleα`a l"´electron reste tr`es faible

14.-Le syst`eme est isol´e donc la quantit´e de mouvement totalereste constante et on peut ´ecrire?p=?p?+Δ?p

avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment.

Le syst`eme est aussi conservatif et les ´energies potentielles d"interaction initiale et finale sont nulles ce qui

permet d"´ecrire la conservation de l"´energie cin´etique,?p2

2mα=?p?22mα+Δ?p22me.´Eliminant?p?2entre ces deux

´equations, il vient Δ?p2?

1 +mα

me? = 2?p·Δ?pou, en notantθl"angle (?p,Δ?p) etpet Δples normes de?pet Δ?p,

Δp=2mep

me+mα|cosθ|.

On en d´eduit que Δp(ainsi que ΔEc) sera maximal si|cosθ|= 1 donc siθ= 0 : ΔEcest maximal si l"´electron

est heurt´e en choc frontal par la particuleαet Δpmax=2mep me+mα?2memαv0mαdonc le transfert maximal d"´energie cin´etique est ΔEc,max= 2mev20

15.-ΔEc=Z2αe4

8π2?20v20me1b2est une fonction d´ecroissante debdonc ΔEc,maxcorrespond `abminavec 2mev20=

Z

2αe4

8π2?20v20me1b2mindoncbmin=Zαe24π?0mev20= 1,4×10-12m.

16.-De la mˆeme fa¸con, ΔEmin=IAUcar, en dessous de cette valeur de transfert d"´energie, l"´electron reste

li´e `a l"atome d"or auquel il appartient; on ne s"int´eresserait alors plus `a la diffusion par un ´electron unique, mais

`a l"interaction avec l"atome d"or lui-mˆeme, qui est ´etudi´ee plus loin. ΔEc,mincorrespond donc `abmaxqui v´erifie

b max=Zαe2

4π?0v0?

2 meIAu= 3,0×10-12m. db b dx17.-Le nombre dNedemand´e est le nombre des ´electrons situ´es `a une distance de la trajectoire de la particuleαcomprise entrebetb+ dbdonc dans le volume dτ= 2πbdbdx`a raison deZAuρAu mAu´electrons par unit´e de volume, donc on en d´eduit dNe=ZAuρAu mAu2πbdbdx.

18.-La variation d"´energie cin´etique s"´ecrit d2Ec=-dNeΔEcpour une valeur

debfix´ee, donc aussid2Ec dx=-ZAuZ2αe44π?20v20meρ

AumAudbbou, apr`es int´egration sur toutes

les valeurs admissibles deb,dEc dx=-ZAuZ2αe44π?20v20meρ

AumAulnbmaxbmin.

3

19.-On obtient-dEcdx= 2,8×10-8J·m-1donc-dEcdx= 0,18MeV·μm-1pour le transfert d"´energie des

particulesαaux ´electrons, ceux-ci ´etant excit´es au moins assez pourquitter leur atome (ionisation).

20.-Pour une ´epaisseur?= 0,5μm, la perte d"´energie des particulesαest ΔE0=dEc

dx?=-90keV.

21.-ΔE0

E0=-1,2%donc on peut, au moins en premi`ere approximation, n´egliger l"interactiondes parti- culesαavec les ´electrons.

1.2.2 Interaction d"une particule alpha avec un noyau d"or

x y G

Auα

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