Correction exercices 14 mars 2014 Correction : Les sinus et cosinus Rappels Exercice 6 1) La fonction f est paire et π périodique, en effet pour tout réel x,
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Correction exercices14 mars 2014
Correction : Les fonctionssinus et cosinus
Rappels
Exercice1
1)-5π6
2)π
43)-2π
34)-π
65)-π
36)π
47)-3π
48)-π
39)-π
6Exercice2
1) sinx=-12?sinx=sin?
-π6?6+k2π
x=-5π6+k2πk?Z
?-π6 ?-5π62) cosx=-⎷3
2?cosx=cos?5π6?
6+k2π
x=-5π6+k2πk?Z
?5π 6 ?-5π63) cos(2x)=cos?
x+π4?4+k2π
x=-π12+k2π3k?Z
4 ?-π12 7π 12 ?-3π44) sin?
3x+π3?
=sin? x-π6?4+kπ
x=5π24+kπ2k?Z
4 -3π4 ?5π 24?17π 24
?-7π24 ?-19π24
5) 4cos2x-1=0?cos2x=14?cosx=±12
?x=π3+k2π
x=-π3+k2π
x=-2π3+k2πk?Z
3 ?2π 3 ?-π3 ?-2π36) 2cos2x+cosx-1=0 on poseX=cosxavec-1?X?1,
l'équation devient : 2X2+X-1=0Δ =9=32d'oùX1=12ouX2=-1
On revient àx: cosx=1
2ou cosx=-1
paul milan1 TerminaleS correction exercices ?x=π3+k2π
x=-π3+k2πk?Zoux=π+k2πk?Z
3 ?-π3Exercice3
1)sinx<-⎷2
25π
4=-3π4-π4=7π4
SI=? -3π4;-π4? ;SJ=?5π4;7π4? 2) cosx?-⎷ 3 26=11π6π
6SI=? -π;-π6? ??π6;π? ;SJ=?π6;11π6? 3) sinx?-127π
6=-5π6-π6=11π60=2ππ=-π
SI=? -π;-5π6? -π6;π? ;SJ=?0;7π6?
??11π6;2π? 4) cosx>⎷ 2 20=2π
4=7π4π
4SI=? -π4;π4? ;SJ=?0;π4?
??7π4;2π?Exercice4
Résoudre dans ]-π;π] :
1) voir cours
2) 4sin
2x-3?0?(2sin2x-⎷
3)(2sin2x+⎷3)?0
On cherche les valeurs qui annulent les facteurs dans l'intervalle ]-π;π]. On pose f(x)=4sin2x-32sinx-⎷
3=0?sinx=⎷3
2?x=π3oux=2π3
2sinx+⎷
3=0?sinx=-⎷3
2?x=-π3oux=-2π3
On peut remplir le tableau de signes suivant :
paul milan2 TerminaleS correction exercices x2sinx-⎷
32sinx+⎷
3 f(x) -π-2π3-π3π32π3π --0+0-0-0+++
0+0-0+0-
On obtient la solution :S=?
-π;-2π 3? -π3;π3? ??2π3;π?3) On poseX=cosxavec-1?X?1, l'équation devient :
2X2-3X-2=0, on calculeΔ =25=52on obtientX1=2 (impossible) et
X 2=-1 2On revient àx: cosx=-1
2?x=2π3oux=-2π3
4) D'après 3), on peut en déduire le tableau de signes enX
X2X-3X-2
-1-121 0-On veutX?-1
2alorsS=?
-2π3;2π3?Étude de fonctions
Exercice5
1)Df=Rcar l'équation 2+cosx=0 n'a pas des solution
2) La fonctionfest paire et 2πpériodique, en effet pour tout réelx,
f(-x)=22+cos(-x)=22+cosx=f(x)
f(x+2π)=22+cos(x+2π)=22+cosx=f(x)
On étudiera les variations defsur [0;π]
3)f?(x)=2sinx
(2+cosx)2de la forme?1u? =-u?u2Sur [0;π]
•f?(x)=0?sinx=0?x=0 oux=π •Le signe def?(x) est du signe de sinxdoncf?(x)?04) Pour déterminer les variation defsur [-π;0], on utilise la symétrie de la courbe par
rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) paul milan3 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π0π 0-0+0 222 3 2 3 22
-π2 1 2 1
On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;3π], en utilisant parité et périodicité.
122π3π22π5π23π
2-π
2 3Exercice6
1) La fonctionfest paire etπpériodique, en effet pour tout réelx,
2) On étudiera la fonctionf, compte tenu de la symétrie et de la périodicité sur?
0;π
2?3) On dérive la fonction en cherchant à la factoriser.
f =-2sin2x(2cos2x+1) Sur0;π
2? •f?(x)=0?sin2x=0 ou 2cos2x+1=0?x=0,x=π2,x=π3 •Le signe def?(x) est donné par le signe de-2cos2x-1 car sin2x?0 sur?0;π2?
-2cos2x-1?0?cos2x?-12?2x??2π3;π?
?x??π3,π2?4) Pour déterminer les variation defsur?
2,π2?
, on utilise la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). paul milan4 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π2-π30π3π20-0+0-0+0
-1-1 -54-54 11 -54-54 -1-1On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;π], en utilisant parité et périodicité.
1 -1π32π3π
3-2π3-π
-54π2-π2
Exercice8
Vrai - Faux
1)Proposition 1 : VraieEn effet :?x?I,sin2x?0 et six??
4;π4?
alors 2x?? -π2;π2? donc cos(2x)? 0Conclusion :?x?I,f(x)?0
2)Proposition 2 : Vraie
fest dérivable surIcar produit et composition de fonction dérivables surI f ?(x)=2cosxsinxcos(2x)+sin2x(-2sin(2x)) =sin(2x)cos(2x)-2sin2xsin(2x) =sin(2x)[cos(2x)-2sin2x] =sin(2x)(1-2sin2x-2sin2x) =sin(2x)(1-4sin2x)3)Proposition 3 : VraieSix??π
6;π4?
alors 2x??π3;π2? donc sin(2x)?06?x?π4?12?sinx?⎷
22?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?
-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0 paul milan5 TerminaleS correction exercices Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest décroissante sur?π6;π4?4)Proposition 4 : FausseDeux possibilités d'arguments :
•Six?? -π4;-π6? alors 2x?? -π2;-π3? donc sin(2x)?04?x?-π6? -⎷
22?sinx?-12?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?
-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest croissante sur?
4;-π6?
•La fonctionfest paire. En effet pourx?? -π4;-π6?Comme l'intervalle
4;-π6?
est symétrique par rapport à 0 de l'intervalle?π6;π4? comme d'après la question 3)fest décroissante sur?π6;π4?
alorsfest croissante sur?4;-π6?
5)Proposition 5 : VraieIl faut déterminer les extremum de la fonctionf. Il faut alors résoudre surI:
f ?(x)=0?sin2x=0 ou sin2x=14?x=0 ou sinx=12ou sinx=-12
?x=0 oux=π6oux=-π6
D'après les résultats des questions 3) et 4), on peut dresserle tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) -π4-π60π6π40-0+0-
00 1 8 1 8 00 1 8 1 8 00On a alors :?x?I,f(x)?18
paul milan6 TerminaleS correction exercicesAnnales
Exercice9
Polynésie septembre 2005
1) a) Comme-1?cosx?1? ?R, la fonctionfest donc encadrée par-g(x) etg(x).
b) limx→+∞-e-x=limx→+∞e-x=0, d'après le théorème des gendarmes limx→+∞f(x)=0.
2) Pour déterminer les points communs àΓetC, il faut résoudref(x)=g(x)
2Les coordonnées des points commun A
kentreΓetCsont : Ak=? kπ2;e-kπ
2?3) a) on a :un=f?
nπ 2? =enπ2=?e-π2?n
La suite (un) est donc une suite géométrique de raisonq=e-π2et de prenier terme
u 0=1 b) Comme 04) a) La fonction est dérivable sur [0;+∞[ car produit et composée de fonction déri- vables sur [0;+∞[ f b) Il faut calculer les nombres dérivéef?? kπ 2? etg?? kπ2? f kπ 2? =-e-kπ2[cos2π+4sin2π]=-e-kπ2=g??
kπ2? Donc les courbesΓetCont même tangente en chacun de leurs points communs.5)f??π
2? =-e-π2? -0,2 par excès
1 -11 2 3 Oπ2Δx=1
Δy=-0.2
paul milan7 TerminaleSquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26