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{ Universite Pierre Mendes France { IUT 2 (Grenoble) departement STID {

Exercices d'entra^nement (Algebre 2)

Formes bilineaires

Exercice 1

1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui

denissent une forme bilineaire sur l'espaceEindique. (a)b1(u;v) = 2u1v14u2v2+ 3u1v2(E=R2) (b)b2(u;v) =u1v1+ 8u2v43u2(E=R4) (c)b3(u;v) = 2u1v1+ 3u1v2+ 6u2v2+ 3u2v1(E=R2) (d)b4(u;v) =u1v1+u2v2+u3v3(E=R3) (e)b5(u;v) =u1u28v1u2(E=R2) (f)b6(u;v) = 0 (E=R2) (g)b7(u;v) = 3 (E=R2)

2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.

3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?

4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux

facons : (a) en utilisant l'expression deb1 (b) avec des produits matriciels.

Exercice 2

Soient les matrices suivantes associees a des formes bilineaires : A=0 @1 0 0 0 1 1

1 1 21

A B=0 @1 0 4 0 1 1

4 1 01

A C=0 B

B@2 4 0 1

4 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 11

C CA Ecrire l'expression de la forme bilineaire associee a chacune de ces matrices. Lesquelles sont symetriques?

Formes quadratiques

Exercice 3

Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:

b(u;v) = 2u1v1+ 4u1v2+ 4u2v1u2v2+ 3u3v3

1. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.

2. Ecrire la matrice deq.

3. La formeqest-elle denie positive?

Exercice 4

Soit la forme quadratique deR3:q(u) = 2u21+ 2u1u2+u22+u23.

1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.

2. Est-elle denie positive?

Orthogonalite

Exercice 5

1. Soient les vecteurs deR3:

u= (2;1;0)v= (3;6;1)w= (1;0;0) (a) Montrer qu'ils forment une base deR3. (b) Forment-ils une base orthogonale pour le produit scalaire usuel? (c) Calculerjjujj,jjvjjetjjuvjj.

2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.

(a) Montrer quebdenit un produit scalaire<;>(c'est-a- dire qu'elle est denie positive).(b) Soient les vecteurs deR2: u= (2;1)v= (3;12) Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux pour le produit scalaire<;>? (c) Calculerjjujjpour la norme induite par<;>.

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, determiner la dimension deF, la dimension deF?, orthogonal deFdansEpour le produit scalaire usuel, et en donner une base.

1.E=R2;F= Vect((1;1))

2.E=R3;F= Vect((1;1;1))

Exercice 7

SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par

F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g

1. Determiner une base deF.

2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit

scalaire usuel.

3. Determiner une base deF?.

4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur

u= (1;3;2) surF.

5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection

orthogonale surF.

6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une

base deEdans laquelleAest diagonale.

Exercice 8

Soit dansR3, le produit scalaire :

< u;v >= 2u1v1+u2v2+u3v3: Orthonormaliser la base canonique deR3pour ce produit scalaire.

Diagonalisation en base orthonormee

Exercice 9

Soit la forme quadratique deR3denie par :

q(u) = 9u21+ 6u22+u234u1u2:

1. Ecrire sa matriceA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel).

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et

eventuellement le point ou ce minimum (ou maximum) est atteint.

5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et

le vecteur deSou ce minimum est atteint.

6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.

M^emes questions pour

q(u) =u21+ 4u22+u23+ 4u1u2:

Exercice 10

1. Trouver une racine carree de la matrice :

A=13 4

4 5

2. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables

gaussiennes centrees, dont la matrice de covariance estA.

Exercices supplementaires

Exercice 11

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.

2.

A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?

3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,

pour le produit scalaire usuel. Quel theoreme retrouve-t-on?

Exercice 12

Soitbune forme bilineaire symetrique sur un espace vectorielE, qsa forme quadratique associee.

1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)

en fonction deb(x;y),q(x) etq(y).

2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que

retrouve-t-on?

Exercice 13

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de

jjujj2etjjvjj2.

2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit

scalaire usuel.

Revisions

Exercices de preparation a l'examen. La consigne de redaction sera : Sauf mention contraire, vos resultats doivent ^etre justies, par un calcul detaille et/ou un raisonnement clair s'appuyant sur les resultats donnes en cours. La qualite de la redaction et la precision des explications fournies entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies.

Exercice 14

SoientAetBles deux matrices :

A=0 B

B@1=2 1=21=p2 0

1=21=2 0 1=p2

1=2 1=2 1=p2 0

1=21=2 01=p2

1 C CA B=0 @2 4 3 3 1 2

7 5 11

A Montrer queAest une matrice orthogonale, et queBne l'est pas.

Exercice 15

Soit la matriceA:

A=0 @7=2 0 7=2 0 7 0

7=2 0 7=21

A1. Ecrire l'expression de la forme quadratiqueqassociee aA, et de la forme bilineaire symetrique associee aA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel), c'est-a-dire trouverDdiagonale etPorthog- onale telle queA=PDPT. Expliquer comment verier votre calcul.

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. Montrer queAn'est pas denie positive.

5. Montrer queqn'a pas de maximum surR3.

6. Montrer queqa un minimum surR3. Donner un point ou ce

minimum est atteint.

7. Verier que le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1gest

0, et trouver un point deSou ce minimum est atteint.

8. Determiner le maximum deqsurS, et trouver un point de

Sou ce maximum est atteint.

9. Determiner une racine carree deA.

10. M^emes questions pour

A=0 @7 18 1 78

88 161

A (en cas de diculte de calcul des valeurs propres, on pourra admettre que les valeurs propres deAsont 0, 6 et 24).

Exercice 16

On se place dansE=R4, muni du produit scalaire usuel.

SoitFl'espace vectoriel engendre par :

8>>< >:e 1=0 B B@1 2 1 21
C

CA;e2=0

B B@3 7 1 21
C

CA;e3=0

B B@2 2 44
241
C CA9

1. Montrer quefe1;e2;e3gest une base deF.

2. Donner la dimension deF?, puis en determiner une base.

3. Montrer quefe1;e2;e3gn'est pas une base orthogonale de

F.

4. Construire une basefg1;g2;g3gdeForthonormee.

5. Calculer la projection orthogonale du vecteuru= (1;2;4;5)

surF.

6. Ecrire la matrice de la projection orthogonale surF. On ap-

pellera cette matriceA.

7. Expliquer quel calcul eectuer pour retrouver le resultat de

la question 5. a partir de la matriceA.

8. Sans calcul, indiquer les valeurs propres deAet les espaces

propres associes.

9. Toujours sans calcul, trouver deux matricesP(orthogonale)

etD(diagonale) telle queA=PDPT.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26