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Exercices du bac sur les graphes probabilistes(1)

I Antilles-Guyane septembre 2009

Dans une résidence de vacances d"été, les touristes vont tousles joursà la plage. Ils disposent pourse déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicy- clettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de trans- port. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le mi- nibus. On considère qu"ensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.

Soitnest un entier entre 1 et 31. On appellePn=

anbn)la matrice traduisant l"état probabiliste relatif au n-ième jour, où : a nreprésente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le journ; b nreprésente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le journ.

1. Représenter cette situation par un graphe probabi-

liste.

2. Écrire la matrice de transition, notée M, associée à

cette situation.

3. Déterminer l"état initial P

4. (a) Calculer P

2(faire apparaître les calculs). Inter-

préter le résultat obtenu. () (0,352 0,648) (b) On suppose que M

5=?0,367 0,6330,317 0,683?

et M 6= ?0,352 0,6480,324 0,676? ,lescoefficientsayantétéarron- dis au millième.

Enutilisantla matricequiconvient, déterminer

larépartitionprévisiblele6 ejour.Ondonnerale résultat en pourcentage arrondi à 1 % près.

5. Soit P=(x y) la matrice correspondant à l"état

stable. Déterminerxety; en donner une interprétation.

6. Montrer que pournentier compris entre 1 et 30 on a

a n+1=0,55an+0,15.

Partie B

Pournentier,n?1, on définit la suite(un)par :

u n+1=0,55un+0,15 etu1=0,8.

1. On poseUn=un-1

Montrer que la suite

(Un)est géométrique. On préci- sera la raison et le premier terme de cette suite.

2. ExprimerUnpuisunen fonction den.

3. En déduire la limite de la suite

(un). Quel résultat retrouve-t-on?

II NouvelleCalédonie, novembre 2009

Par suite d"une forte augmentation du prix des car- burants de 2007 à 2008, certains salariés d"une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail. En 2007, 60 % des salariés utilisaient leur voiture per- sonnelle. En 2008, 30 % des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l"utilisent plus et 5 % des personnes ne l"utilisant pas en

2007 l"utilisent en 2008.

On appelle les états suivants :

A l" état : "la personne utilise sa voiture»; B l" état : "la personne n"utilise pas sa voiture». On suppose que cette évolution se poursuit d"une année à l"autre à partir de 2008 et on appelle, pour tout entier na- tureln,Pn, la matrice ligne donnant l"état probabiliste des moyens de déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l"année (2007+n).

On posePn=(anbn)et on aP0=(0,6 0,4).

1. Tracer un graphe probabiliste représentant la situa-

tion décrite ci-dessus.

2. Donner la matrice de transition correspondant à ce

graphe probabiliste, en respectant l"ordre alphabé- tique des sommets.

3. En supposant que cette évolution se poursuive et en

utilisant la question précédente, quelle est la proba- bilité qu"un salarié de cette entreprise utilise sa voi- ture personnelle en 2009? En 2010? (On arrondira les résultats obtenus au centième).

4. (a) Démontrer que pour tout entier natureln, on a

la relation :an+1=0,7an+0,05bn.

En déduire quean+1=0,65an+0,05.

(b) On admet queanpeut alors s"écrire, pour tout entier natureln, a n=1

7+1635×0,65n.

Vérifier la validité de cette formule poura0,a1 eta2.

5. (a) Déterminer la limite de la suite

(an). (b) En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d"envisager qu"à terme aucun des salariés de cette entreprise n"utilise sa voi- ture personnelle pour aller au travail?

Justifier la réponse.

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