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Chapitre 1 Logique et raisonnements Raisonner par implication ou par équivalence > Utiliser un raisonnement par l'absurde ou par contraposition

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E 3 La proposition "Pour tout réel x, on a x3 − 1=(x − 1)(x2 + x + 1)" est vraie Page 2 2/8 1 Logique et raisonnement mathématique

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LOGIQUE ET RAISONNEMENTS3??

Le d'exposer théorie ?les incontournables ?manipuler les quantificateurs ?raisonner par implication ou par ´equivalence ?utiliser un raisonnement par l"absurde ou par contraposition ?effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double ?et plus si affinit´es ?appliquer une r´ecurrence forte ?raisonner par analyse-synth`ese ??4CHAPITRE 1

Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ

R´esum´e de cours

?Notions de logique

D´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´e math´ematique qui

peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.Soitune proposition. On appellen´egationde et on note la proposition d´efinie par : ? est vraie lorsqueest fausse; ? est fausse lorsqueest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle conjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsqueetsont vraies; ? est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle disjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie; ? est fausse lorsqueetsont fausses. D´efinition : Implication -.Soitetdeux propositions. On appelle implication deparla proposition . Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

impliqueou encoresialors Remarque :lorsqueest vraie, on dit queest unecondition suffisantepour avoir, ou queest unecondition n´ecessairepour avoir. D´efinition : R´eciproque -.Soitetdeux propositions. On appelle r´eciproque de l"implication.

D´efinition :

´Equivalence -.Soitetdeux propositions. On appelle ´equivalence deetla propositionet. Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

si et seulement si. Remarque :lorsqueest vraie,est unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir . Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques : PQ

VVFVVVV

VFFFVFF

FVVFVVF

FFVFFVV

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??

Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, sietsont vraies alorsest vraie. C"est le principe de d´eduction D´efinition : Contrapos´ee -.Soitetdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica- tionl"implication T h ´e o r `e m e 1 . 1 . -Soitetdeux propositions. L"implicationet sa contrapos´ee sont

´equivalentes. Autrement dit :

Proposition 1.2.-Soitetdeux propositions. Alors :

?Quantificateurs

D´efinition :Soit()une propri´et´e d´ependant d"un param`etre, o `uest un ´el´ement d"un en-

semble.

Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour tous les ´el´ements

de, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur universelet se litquel que soit. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour au moins un ´el´ementde, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur existentielet se litil existe. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantifi cateurs -. ?La n´egation de la proposition ()est: () ?La n´egation de la proposition ()est: () Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4.- Propri´et´e fondamentale de-.Toute partie non vide deadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,() implique(+ 1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.6.- R´ecurrence double -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :les propri´et´es(

0 ) et( 0 + 1) sont vraies,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,(() et(+ 1)) implique(+ 2); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.7.- Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurr ence avec pr´ed´ecesseurs) -.Soit () une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 0 ) et( 0 +1) etet()? implique(+1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS7??

M´ethodes

?D´emontrer une proposition M´ethode 1.1.- Comment d´emontrer une proposition par d´eduction Sietsont vraies, alorsest vraie. C"est leprincipe de d´eduction. C"est un principe tr`es simple que l"on utilise en permanence : si l"on sait qu"une propositionest vraie (propri´et´e du cours, r´esultat d"une question ant´erieu re...) et que l"on sait d´emontrer , alors on a d´emontr´e que la propositionest vraie.

Exemple :montrer que, pour tout,

2 4+50. On a 2 4+5= 2

4+4+1=(2)

2 +1. Or, (2) 2 ?0 (le carr´e d"un r´eel est positif) et 10. Par cons´equent, (2) 2 +10, c"est-`a-dire 2 4+50.

Mise en oeuvre : tous les exercices!

M´ethode 1.2.- Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e `a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu"une proposition est vraie. C"est le principe d"une d´emonstration pardisjonction de cas. En particulier, si l"on souhaite d´emontrer qu"une proposition() est vraie pour tous les ´el´ementsd"un ensemble, on peut prouver la proposition pour tous les ´el´ements d"une partiede, puis pour les ´el´ements den"appartenant pas `a.

Exemple :montrer que, pour tout,

(+1) 2 est un entier naturel.

Soit. On va d´emontrer que

(+1) 2 en distinguant les caspair ou impair.

Siest pair, on peut ´ecrire=2, o `u. Alors

(+1) 2

2(2+1)

2 =(2+ 1)

Siest impair, on a=2+ 1 , o `u. Alors

(+1) 2 (2+1)(2+2) 2 = (2+1)(+1)

Finalement, pour tout entier naturel,

(+1) 2

Mise en oeuvre : exercice 1.5, exercice 1.6.

M´ethode 1.3.- Comment d´emontrer une proposition par l"ab surde Pour d´emontrer qu"une propositionest vraie, on peut utiliser unraisonnement par l"absurde. Pour cela, on suppose queest fausse et on d´emontre que l"on aboutit alors `a une contradiction. Exemple :montrer qu"il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres. Nous allons d´emontrer cette proposition en raisonnant par l"absurde. Pour cela, on suppose qu"il existe un entier naturel 0 sup´erieur `a tous les autres. On a alors, pour tout,? 0 . La relation est donc vraie pour l"entier= 0 + 1, donc 0 +1? 0 ; d " o `u 1?0, ce qui est faux! Par cons´equent, il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres.

Mise en oeuvre : exercice 1.9, exercice 1.12.

??8CHAPITRE 1 ?D´emontrer une implication M´ethode 1.4.- Comment d´emontrer une implication par raisonnement direct Pour montrer directement l"implication, on suppose queest vraie et on d´emontre queest vraie. La d´emonstration commence par supposons queest vraie et se termine parest vraie.

Exemple :d´emontrer que, pouretr´eels,

2 2

Soitetdeux r´eels tels que

2 2 . On a donc 2 2 = 0, soit ()(+) = 0. Par cons´equent,= 0 ou+= 0. Ainsi,=ou=, ce qui signifie que=(et sont ´egaux ou oppos´es). On a donc d´emontr´e l"implication attendue. M´ethode 1.5.- Comment d´emontrer une implication par cont raposition Le raisonnement par contraposition est bas´e sur let h ´e o r `e m e 1 . 1: l"implicationest ´equivalente `a sa contrapos´ee Ainsi, pour montrer que l"implicationest vraie, on peut prouver que l"implication est vraie. En pratique, on suppose donc que est vraie et on montre que est vraie.

Exemple :soitun entier naturel. Montrer que, si

2 est pair, alorsest pair.

La proposition `a d´emontrer s"´ecrit :

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