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Licence 2-S3 SI-MASS

Année 2013Cours de Probabilités

Pierre DUSART

2

Chapitre1Éléments d"analyse combinatoire

1.1 Quelques définitions

Disposition sans répétition : c"est une disposition où un élément peut apparaître 0 ou 1 fois.

Disposition avec répétition : un élément peut figurer plus d"une fois. Disposition ordonnée : l"ordre d"obtention d"un élément est important. Ex. les éléments constituant la plaque minéralogique d"un véhicule.

Disposition non-ordonnée : l"ordre d"obtention d"un élément n"est pas important, on n"en tient pas compte

dans la caractérisation de la disposition.

Ex. Les numéros issus d"un tirage du loto.

Exemple 1 : On considère un ensemble à deux élémentsfa;bg. Avec deux tirages sans répétition, on peut

obtenirfa;bgoufb;ag; Avec deux tirages avec répétition, on peut obtenirfa;ag,fa;bg,fb;agoufb;bg.

Cela correspond à un tirage avec remise.

Exemple 2 : Prenons un jeu de dé à 6 faces (éléments discernables) numérotées par =f1;2;3;4;5;6g.

Après 3 jets, nous obtenons la réalisationA= (2;5;1); nous réitérons les jets et nous obtenonsB=

(5;1;2).AetBsont équivalents si nous considérons que les dispositions sont non-ordonnées. En revanche,

ils ne sont pas équivalents si nous sommes dans le cadre d"une disposition ordonnée. La valeurFactorielle(n), notéen!est définie parn! = 12n=Qn i=1i. Par convention0! = 1. Nous pouvons également utiliser une définition récursive n! =n(n1)!

1.2 Arrangement avec répétition

Soit un ensemble composé denéléments : card( ) =n. Nous constituons un échantillonEde taillep (card(E) =p) à partir des éléments de . Si nous avons à choisirpéléments parmindans une disposition

ordonnée (les places sont distinctes) et avec répétition (on peut choisir le même élément plusieurs fois),

on dit qu"on a un arrangement depéléments parmin. Le nombre d"arrangement avec répétition estnp:

N.B. Dans ce cas, il est possible quep > n.

Réaliser un arrangement avec répétition des éléments de , c"est aussi définir une application d"un ensembleEàpéléments dans . L"ensemble des applications deEdans sera noté

Eet on a

E) = (#

)#E.

4CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D"ANALYSE COMBINATOIRE1.3 Arrangement sans répétition

Soit un ensemble avec card( ) =n. On constitue un échantillon de taillep(pn), la disposition est

ordonnée et sans répétition. On dit qu"on a un arrangement sans répétition depéléments parmin. Le

nombre deparrangements d"un ensemble ànéléments est : A pn=n!(np)!: Réaliser un arrangement sans répétition des éléments de , c"est déterminer unpuplet(x1;:::;xp) d"éléments de deux à deux distincts. C"est aussi définir une application injective d"un ensembleEàp

éléments dans

ànéléments.

1.4 Permutation sans répétition

C"est un arrangement sans répétition denéléments parmin. P n=Ann=n!(nn)!=n!

Réaliser une permutation des éléments de

, c"est réaliser un tirage exhaustif sans remise des éléments de en tenant compte de l"ordre du tirage. C"est aussi définir une bijection de ensemble sur lui-même.

L"ensemble des permutations d"un ensemble ànéléments s"appelle le groupe symétrique d"ordrenet se

noteSn. On a#Sn=n!.

1.5 Permutation avec répétition

On appelle permutation avec répétition depéléments oùnsont distincts (np), une disposition

ordonnée de l"ensemble de cespéléments où le premier figurep1fois, le secondp2fois, etc., tel que

p

1+p2++pn=p. Le nombre de permutation avec répétitions estp!p

1!p2!pn!

Démonstration : (Voir préalablement la définition d"une Combinaison sans répétition) Pour construire unp-uplet correspondant à une combinaison contenantp1foisx1,p2foisx2, ...,pnfois x n, il suffit : - de choisir lesp1emplacements desx1, parmip1+p2+:::+pnplaces disponibles, - de choisir lesp2emplacements desx2, parmi lesp2+:::+pnplaces restantes, - etc. - de choisir lespnemplacements desxn, parmi lespnplaces restantes.

Au total, il y a

C p1p

1+p2++pnCp2p

2++pnCpnpn=p!p

1!p2!pn!

Exemple [Nombre d"anagrammes du mot MATHÉMATIQUE] : nous voyons qu"en échangeant les deux

lettres A, le mot reste identique, et par contre en transposant les lettres É et E nous obtenons un mot

différent. (M :2;A :2;T :2;H :1;É :1;I :1;Q :1;U :1;E :1) :#Anagrammes= 12!=(2!2!2!) Exemple 2 : Nombre de quartets binaires de poids de Hamming égal à 2; Il y en a 6 =4!/(2!2!) : (0011),(0101),(0110),(1001),(1010),(1100). Cours Probabilités / Pierre DUSART51.6 Combinaison sans répétition

On considère un ensemble

constitué denéléments tous discernables. On forme un échantillon de taille

p. Si la disposition est non-ordonnée et sans répétition, on dit que l"on a une combinaison sans répétition

depéléments parmin. Le nombre de ces combinaisons se noteCpnoun p. C pn=n!p!(np)!quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3