[PDF] CORRIGE DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS PDF 6eme_quotients

Classe de Sixième Contrat 3 Ceux qui aiment les Maths et Ceux qui vont aimer les Maths » B Six exercices sur la technique de la division euclidienne :

Contrôle de mathématiques n°5 6ème Exercice 1 8 points Pose et effectue les opérations pour compléter les Pose et effectue la division décimale de 29,8 par 7 en t'arrêtant aux millièmes, puis complète euclidienne de 367 par 15

[PDF] DEVOIR 6ème - LA DIVISION

DEVOIR 6ème - LA DIVISION Exercice 1 : Compléter les phrases suivantes Dans la division euclidienne : 177 20 17 8 a) le nombre 177 s'appelle

[PDF] Cahier dexercices en 6 - Melusine - EUorg

5 Division euclidienne 51 5 1 Premières notions Dans ce recueil, on trouvera 1 042 exercices pour la classe de 6e de mathématiques à 17,19 l'unité et

[PDF] 6 division exercices 2

EXERCICE 7 Pour chaque division : Compléter la table de multiplication du diviseur Effectuer la division euclidienne (quotient et reste) Vérifier le résultat en

[PDF] La division euclidienne Exercice 1

6ème Numérique Chapitre:La Division Thème: La division euclidienne Exercice 1: « Vocabulaire de la division euclidienne » Entoure en bleu le c) Pour visiter une exposition de jeux mathématiques, on exige un adulte pour encadrer 15

[PDF] Contrôle

d : 544 17 quotient : reste : 4 Exercice 3 Quels sont les restes possibles d'une division euclidienne dont le diviseur est : • 4 ?

[PDF] CORRIGE DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS

Classe de Sixième Contrat 3 Ceux qui aiment les Maths et Ceux qui vont aimer les Maths » B Six exercices sur la technique de la division euclidienne :

[PDF] Divisions - Math93

MATHEMATIQUES - D S N° 7 - A Exercice 3 : Division Euclidienne (2 points) Dans une division euclidienne, le reste est 4, le quotient 25 et le diviseur 8

[PDF] 6ème CONTROLE sur le chapitre : ENTIERS ET OPERATIONS La

CLASSE : 6ème CONTROLE sur le chapitre : ENTIERS ET OPERATIONS La calculatrice n'est pas autorisée EXERCICE 1 : Effectue la division euclidienne :

NOM et Prénom 6ème

CORRIGE DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS.

Ceux qui aiment les Maths et Ceux qui vont aimer les Maths. » I. Division entière ou division euclidienne. ________________________________________________2 II. Division décimale. __________________________________________________________________4 III. Ecritures fractionnaires. ___________________________________________________________5 IV. Fractions. _______________________________________________________________________7 V. Quotients égaux ; Simplification des fractions. ___________________________________________8 VI. ___________________________________________13 VII. Exercices récapitulatifs et Situations. ________________________________________________15 VIII. Pour préparer le Test et le Contrôle. _______________________________________________20

Pré requis pour prendre un bon départ :

Tables de multiplication parfaitement sues dans les 2 sens !

Produit de 2 nombres.

Technique de la division.

Divisions par 10 ou 100 ou 1 000 etc.

Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 2 sur 21

I. DIVISION ENTIERE OU DIVISION EUCLIDIENNE.

étudier des nombresla soustraction et enfin

la multiplication. Nous allons maintenant voir la division. Commençons par le cas le plus simple : la division entre des nombres entiers. A. Définition de la division euclidienne (ou division entière) : Effectuer la division euclidienne (ou division entière) nombre entier (appelé dividende) par un nombre entier différent de 0 (appelé diviseurdeux nombres entiers appelés le quotient et le reste suivante et la condition suivante :

Dividende = Diviseur

Reste + Quotient

Egalité : Dividende = Diviseur Quotient + Reste et Condition : Reste < Diviseur

Remarques :

En fait, la division euclidienne est une division entière

Eh ! Ne vous enfuyez pas ! Restez 3

Exemple : Effectuons la division eucli 45 R 7).

Dividende Diviseur et la condition :

Quotient 45 = 7 6 + 3 et reste 3 < diviseur 7 Reste Exemple : Effectuer la division euclidienne de 35 par 8 (35 R 8).

35 8 et la condition :

3 4 35 = 8 4 + 3 et reste 3 < diviseur 8

Lorsque le dividende est inférieur au diviseur, le quotient est égal à 0 et le reste est égal au dividende.

Exemple : Effectuer la division euclidienne de 18 par 6 (18 R 6). et la condition :

18 = 6 3 + 0 et reste 0 < diviseur 6

Définition : Dans cet exemple , le reste est nul. On dit alors que " 6 est un diviseur de 18 ».

Dit autrement, " 18 est un multiple de 6 ». Dit autrement, 18 est dans la table de multiplication de 6.

Attention !

La condition " reste < diviseur » est essentielle ! Ex 3 + 12 euclidienne car le reste 12 > diviseur 7 (en fait, la division a été mal faite ssez trouvé de 7 dans 33 !).

33 = 7 4 + 5 reste 5 < diviseur 7.

5 4 7 6 2 4 3 8 1 6 3 8 1 0 Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 3 sur 21 B. 4 exercices sur la technique de la division euclidienne :

1) Poser les 2 divisions suivantes puis écrire et la condition :

La division euclidienne de 13 par 5. 47 R 11

13 = 5 2 + 3 et reste3 < diviseur 5 47 = 11 4 + 3 et reste 3 < diviseur 11

2) 26 = 25 1 + 1 ? Oui car reste 1 < diviseur 25.

4 + 6 provient- ? Non car reste 6 > diviseur 5 ou 4 !

3) Calculer mentalement 5 11 + 7 = 62 et on a reste 7 < diviseur 11.

Dans la division euclidienne de 62 par 11, quel est le quotient ? 5 Quel est le reste ? 7.

Attention : Dans la division euclidienne de 62 par 5, quel est le quotient ? 12 ! Quel est le reste ? 2.

11 + 7 = 62 pour 62 R 5 car reste 7 > diviseur 5 !

4) Grâce à la calculatrice (touche R ou et la condition pour

les divisions entières suivantes :

38 975 R 89 554 782 R 457

38 975 = 89 437 + 82 et reste 82 < diviseur 89 554 782 = 457 1213 + 441 et reste 441 < diviseur 457

C. et de vocabulaire :

1. division euclidienne » ?

Ce terme a été introduit par les mathématiciens du groupe Bourbaki au milieu du XXème au IIIème siècle av. J.C, et qui ne connaissait pas encore les nombres décimaux. Chercher sur Internet quelques informations sur Euclide et coller son portrait.

2. Le sens des mots :

o Dividende vient du latin dividendus, qui signifie : qui doit être divisé. o Quotient vient du latin quoties, qui signifie : combien de fois. 3 1 5 2 0 1 3 7 4 1 1 4 4 4 3 Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 4 sur 21

II. DIVISION DECIMALE.

A. (Re)définition du quotient ; Lien avec la multiplication :

Deux exemples :

Exemple :

Ce salaire mensuel est donc le nombre inconnu qui, quand on le multiplie par 12, re

12 = 18 000

nombre de mois salaire mensuel salaire annuel 12. c-à-d = 18 000 12 Exemple : On veut trouver le p2 kg de tripes coûte 24 tripes est donc le nombre inconnu qui, quand on le multiplie par 2 redonne 24

2 = 24

masse totale des tripes prix tripes prix total des tripes

24 2

c-à-d = 24 2 Définition du Quotient ; Lien entre le quotient, la multiplication et la division : Le facteur manquant dans la multiplication d = n avec d quotient de n par d. (d 0). Ce quotient se calcule en effectuant la division : = n d

Le quotient est donc le .

Trouver un facteur inconnu (terme manquant) dans une multiplication revient à calculer un quotient

grâce à une division. Exemples : Un quotient peut être un nombre entier :

33 3 = 11 36 12 = 3 99 9 = 11 2,5 2,5 = 1

8 888 1111 = 8 32 4 = 8 64 8 = 8

Un quotient peut être un nombre décimal :

10 4 = 2,5 2,7 10 = 0,27 25,8 100 = 0,258

250 100 = 2,5 10 4 = 2,5 100 40 = 2,5

Quotient de n par d

Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 5 sur 21

B. Technique de la division décimale :

Poser la division de n par d (d 0) permet de trouver : o soit la valeur exacte du quotient quand la division se termine et tombe juste. Application : Calculer en posant la division le quotient de 169 par 13 puis le quotient de 63 par 5.

o soit des valeurs approchées du quotient [troncature, arrondi, valeur approchée par défaut

(inférieure) ou par excès (supérieure)] quand la division ne se termine pas et ne tombe pas juste :

Application : Remplir le tableau ci-contre.

Arrondi : Si le chiffre suivant entre 0 et 4,

5 et 9, arrondi au supérieur.

Troncature : Couper le nombre au chiffre

demandé, garder les chiffres à gauche de la coupure.

III. ECRITURES FRACTIONNAIRES.

Hélas, certains quotients ne sont ni des nombres entiers ni même des nombres décimaux !

Je pense par exemple à 2 7 ou à 2 : quand on pose ces divisions, elles ne se " terminent » jamais.

7 = 0,285

2 = 1,570

Autre " problème » : ces écritures en ligne sont de la part des élèves !

Par exemple 5 5 est souvent faite !

5 , impossible de faire cette erreur de calcul !

5,56228 21,650 123,573

Arrondi à la dizaine 10 20 120

6 22 124

5 21 123

Arrondi au dixième 5,6 21,7 123,6

Troncature au dixième 5,5 21,6 123,5

Arrondi au centième 5,56 21,65 123,57

Troncature au centième 5,56 21,65 123,57

0 3, 6 5 6 2, 1 5 3 1 0 1 0 3 0 3 0 9 6 1 3 1 3 1 3 1 9 3 9 3 0 Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 6 sur 21

A. Ecritures fractionnaires : vocabulaire.

du quotient n d est de la forme n d et se lit " n sur d ».

Le nombre " d » sous la barre de fraction, (d

Donc ce nombre d " dénomine fractionnaire.

Ce nombre " d dénominateur.

Le nombre " n » au dessus de la barre de fraction indique combien de fois on prend ces morceaux.

Ce nombre " n numérateur.

Ex : Dans 2

5 cinquièmes »).

2 cinquièmes ».

Dans 7

3 é a été partagée en 3 morceaux (en " tiers »).

7 morceaux. On obtient bien au final " 7 tiers »

Dorénavant, on utilisera TOUJOURS !

Application : Ecrire sous forme fractionnaire, sans rien calculer :

Ex : 2 3 = 2

3 LA BARRE DE FRACTION EN PREMIER !

Cette barre de fraction doit être mise à hauteur du milieu du signe = . deux demis = 2

2 un tiers = 1

3 neuf quarts = 9

4 la moitié de k = k

2 une demi-pomme = pomme

2 2,3 =

2,3 d t = d

t vitesse moyenne = distance durée = distance durée B. :

4 cas particuliers importants à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (d 0), on a :

0 d = 0 ex : 0

2,257 = 0

1 = n Tout nombre divisé par 1 redonne lui-même. ex : 8,8

1 = 8,8

d d = 1 Tout nb non nul divisé par lui-même donne 1. ex : = 1 Un pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dénominateur vaut 100 c-à-d k % = k 100 .

7% = 7

100 0,10

100 = 0,1 % 100

100 = 100 % 0,05

100 = 0,05 % 2500

100 = 2500 %

Maintenant, nous allons voir un cas particulier très important des écritures fractionnaires. n ÷ d = n d

Numérateur

Dénominateur 0

Dividende

Diviseur 0

Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 7 sur 21 6 9 = 2 3 4

20 = 1

5 6 6 = 1 1 = 100 %
! 5,5

16 = 11

32 2
4 = 1 2 6

16 = 3

IV. FRACTIONS.

Les fractions sont un cas particulier très important des écritures fractionnaires.

A. Définition des fractions :

Définition : Lorsque le numérateur n et le dénominateur d (d 0) sont des NOMBRES ENTIERS, alors n d fraction. Ex : 2

7 est une fraction mais pas

, ou Contre-exemples : Donner deux écritures fractionnaires qui ne sont pas des fractions : 8,3

5 ou 2

A retenir : :

18695 = 18695

1 5 = 5

1 = 25

5 11 = 11

1 = 33

3 4 = 4

1 = 20

5 = 40

1,5 = 15

10 = 3

2 0,7 = 7

10 = 70

100 0,51 = 51

100 5,78 = 578

100 = 578 000

100 000 0,041 = 41

1 000 Dorénavant, on remplacera toujours les nombres décimaux par des fractions dans les calculs !

B. Illustration graphique des fractions :

Pour chaque figure, quelle proportion (fraction) de la surface totale représente la surface coloriée ?

Compléter la formule : Proportion coloriée = Surface coloriée

Surface totale

Hachurer un tiers du triangle équilatéral trois quarts du losange

Il faut partager ces figures géométriques selon les lignes de pliage (de partage) c-à-d les axes de symétrie.

18 = 2

9 3 11 3

9 = 1

3 Corrigé Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 8 sur 21 V. QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION DES FRACTIONS.

On a vu p.7 A] que 20

5 et 40

10 donnent le même quotient 4. Donc on peut écrire 20

5 = 40

10 = 20 2

5 2 . Généralisons :

A. Formule très importante des quotients égaux :

Soient k 0 et d 0, alors n

d et n k d k sont 2 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d : Quelques soient les valeurs des trois quantités n, d et k (avec d 0 et k 0), on a :

Transformation

n d = n k d k

Simplification

Le sens de cette égalité sert donc à la transformation des fractions. Le sens de cette égalité sert donc à la simplification des fractions. B. Sens : Transformation d fraction en fraction " plus grande ». quotients égaux vue dans le sens " n d = n k d k » se comprend de la façon suivante : " On ne change pas une écriture fractionnaire lorsqême temps le numérateur n et le dénominateur d par un même nombre non nul k. »

Vue dans ce sens

départ en une autre fraction " plus grande ».

Méthode sur un exemple :

Soit la fraction 3/2. On veut transformer cette fraction en une fraction " plus grande » sur 14.

Autrement dit, on veut trouver une fraction égale à 3/2 mais avec 14 au dénominateur au lieu de 2.

Méthode : Mettre une fraction sur un dénominateur plus grand. 3

2 = 3 7

2 7 = 21

14 On veut passer de 2 à 14 au dénominateur donc on multiplie " en bas » par 7 (car 2 7 = 14). Comme on a multiplié par 7 " en bas » (au dénominateur), on doit forcément multiplié par le même nombre 7 " en haut » (au numérateur), à cause de la règle des quotients égaux vue dans le sens 1.

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NOM et Prénom 6ème

CORRIGE DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS.

Pré requis pour prendre un bon départ :

Produit de 2 nombres.

Technique de la division.

Divisions par 10 ou 100 ou 1 000 etc.

I. DIVISION ENTIERE OU DIVISION EUCLIDIENNE.

étudier des nombresla soustraction et enfin

Dividende = Diviseur

Reste + Quotient

Remarques :

Eh ! Ne vous enfuyez pas ! Restez 3

Exemple : Effectuons la division eucli 45 R 7).

Dividende Diviseur et la condition :

35 8 et la condition :

3 4 35 = 8 4 + 3 et reste 3 < diviseur 8

18 = 6 3 + 0 et reste 0 < diviseur 6

Attention !

33 = 7 4 + 5 reste 5 < diviseur 7.

1) Poser les 2 divisions suivantes puis écrire et la condition :

La division euclidienne de 13 par 5. 47 R 11

13 = 5 2 + 3 et reste3 < diviseur 5 47 = 11 4 + 3 et reste 3 < diviseur 11

2) 26 = 25 1 + 1 ? Oui car reste 1 < diviseur 25.

4 + 6 provient- ? Non car reste 6 > diviseur 5 ou 4 !

3) Calculer mentalement 5 11 + 7 = 62 et on a reste 7 < diviseur 11.

11 + 7 = 62 pour 62 R 5 car reste 7 > diviseur 5 !

4) Grâce à la calculatrice (touche R ou et la condition pour

38 975 R 89 554 782 R 457

38 975 = 89 437 + 82 et reste 82 < diviseur 89 554 782 = 457 1213 + 441 et reste 441 < diviseur 457

C. et de vocabulaire :

1. division euclidienne » ?

2. Le sens des mots :

II. DIVISION DECIMALE.

Deux exemples :

Exemple :

12 = 18 000

2 = 24

24 2

Le quotient est donc le .

33 3 = 11 36 12 = 3 99 9 = 11 2,5 2,5 = 1

8 888 1111 = 8 32 4 = 8 64 8 = 8

Un quotient peut être un nombre décimal :

10 4 = 2,5 2,7 10 = 0,27 25,8 100 = 0,258

250 100 = 2,5 10 4 = 2,5 100 40 = 2,5

Quotient de n par d

B. Technique de la division décimale :

Application : Remplir le tableau ci-contre.

5 et 9, arrondi au supérieur.

Troncature : Couper le nombre au chiffre

III. ECRITURES FRACTIONNAIRES.

7 = 0,285

2 = 1,570

Par exemple 5 5 est souvent faite !

5 , impossible de faire cette erreur de calcul !

5,56228 21,650 123,573

Arrondi à la dizaine 10 20 120

6 22 124

5 21 123

Arrondi au dixième 5,6 21,7 123,6

Troncature au dixième 5,5 21,6 123,5

Arrondi au centième 5,56 21,65 123,57

Troncature au centième 5,56 21,65 123,57

A. Ecritures fractionnaires : vocabulaire.

Le nombre " d » sous la barre de fraction, (d

Donc ce nombre d " dénomine fractionnaire.

Ce nombre " d dénominateur.

Ce nombre " n numérateur.

Ex : Dans 2

5 cinquièmes »).

2 cinquièmes ».

Dans 7

3 é a été partagée en 3 morceaux (en " tiers »).

7 morceaux. On obtient bien au final " 7 tiers »

Dorénavant, on utilisera TOUJOURS !

Ex : 2 3 = 2

3 LA BARRE DE FRACTION EN PREMIER !

2 un tiers = 1

3 neuf quarts = 9

4 la moitié de k = k