Représentation de la surface de von Mises dans l'état des contraintes principales Page 16 TD3 : MATERIAUX ELASTIQUES Matériau isotrope élastique linéaire
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TD 1 : Déformations
Exercice 1 :
Figure 1 : disque soumis à glissement simple
Un disque plat est soumis à du glissement simple (Figure 1).Calculer :
le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X 1, X2 l"angle entre les axes 1 et 2 après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur petites déformations -2-1012 -2 -1012 x1 x2 -2-1012 -2 -1012 -2-1012 -2 -1012 x1x1 x2x2 1212 2 3
3/3xXX
x X xX=+=+=+=+========
Tenseur gradient de la transformation
Tenseur des dilatations de Cauchy-Green
Dilatation dans une direction
Glissement de deux directions orthogonales
t0p[1]:=0: t0p[2]:=1: t0p[3]:=0: alpha:=Angle(C,t0,t0p); déformation de Green-LagrangeHypothèse des petites perturbations
déplacement en fonction des coordonnées tenseur HTenseur des petites déformations
Différence entre E et eeee
Exercice 2 : Déformation uniaxiale
Un solide est déformé en déformation uni-axiale. selon X1. : où t correspond au temps et b est une constante arbitraire.Calculer :
le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X1, X2 l"angle entre les axes 1 et 2 après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur gradient des déplacements le tenseur petites déformationsDéfinition de la transformation
description de la transformationTenseur gradient de la transformation
Tenseur des dilatations de Gauchy-Green
Dilatation dans la direction des trois axes
angle entre deux directions déformation de Green-Lagrange déformation dans les trois axesHypothèse des petites perturbations
Tenseur des petites déformations
TD2 : CONTRAINTES
Exercice 1 :
Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes, indépendante du comportement du matériau et des conditions aux limites. Considérons l©état de contraintes au point x du volume V. Considérons un état plan de contraintes szz=szx=szy=0). Dans l©espace des contraintes de traction s et des contraintes de cisaillement t, l©état de contrainte au point x décrit un cercle si l©on considère toutes les facettes possibles autour du point x. st 2a t max sxxsyysaa tabDémontrer que :
Si l©angle entre la facette considérée et l©axe des x est a dans l©espace physique réelle, l©état de contrainte sur cette facette sera représenté par le point faisant un angle 2 a avec l©axe des s dans l©espace (s,t). IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- st 2a t max sxxsyysaa tabEquilibre suivant eaaaa
sin()sin() cos()cos()0IIIdsdSds
dS aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaassssssssssss aaaaaaaassss----Equilibre suivant ebbbb
cos()sin() sin()cos()0IIIdsdSds
dS abaaabaaabaaabaaaaaaaaaatsstsstsstss aaaaaaaassss++++Eliminer dS
bbs xxIss= yyIIss= a aas bbs abt abt aas y x ebea bbs xxIss= yyII ss= a aas bbs abt abt aas y x ebea aas xxIss= yyIIss= abtX Z Y1 a aas xxIss= yyIIss= abtX Z Y1 a IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- Exprimer toutes les quantités en fonction de 2aaaa.1cos(2)1cos(2)
(((())))sin(2)2IIIababababaaaassssttttssss====----
cos(2)22 cos(2)22 (((())))sin(2)2IIIababababaaaassssttttssss====----
Dans l"espace (s,t) c"est l"équation d"un cercle de centre (()/2IIIssssssss++++,0) et de rayon ()/2IIIssssssss----.