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Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants 6 Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Etablir les égalités suivantes : 1

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Forme exponentielle complexe : Donner la forme exponentielle des nombres complexes de la question 3 6 Représentation graphique : Dans le plan muni d' un 

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6 = 2 (cos( 7π 6 )+ i sin ( 7π 6 )) = 2 (− √3 2 − i 1 2) = − √3 − i Exercice 2 : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes

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Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle S Om Correction de l'exercice 1 Dans le plan complexe, rapporté à un t a pour écriture complexe z′=z+zÅw

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Calculer la forme algébrique des nombres complexes suivants : ; ; ; 1 4 ; ; 1 1 Exercice 3 Pour quelles valeurs du réel , le nombre complexe 5 7 est-il 

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Exercice 6 – (Extrait de l'examen d'octobre 2010) 1) Déterminer les nombres complexes δ tels que : δ2 = -2i + 6 2) Puis, déterminer les nombres complexes z  

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Nombres et plan complexes

Les exercices fondamentaux `a connaˆıtre

Y. Morel

Version en ligne et interactive :

Table des mati`eres

1 Formes alg´ebrique, trigonom´etrique et exponentielle1

2 R´esolution d"´equations4

3 Puissance d"un nombre complexe6

4 D´etermination d"ensembles de points dans le plan complexe7

5 Exercices complets type Bac8

1 Formes alg´ebrique, trigonom´etrique et exponentielle

Exercice 1 :

Ecrire sous forme alg´egbrique les nombres complexes suivants :

1.z1= (1 + 2i)(-2 +i)

Solution:z1= (1 + 2i)(-2 +i) =-2 +i-4i+ 2i2=-2-3i-2 =-4-3i

2.z2= (1 + 2i)(1-2i)

Solution :

z2= (1 + 2i)(1-2i) =|1 + 2i|2(carzz=|z|2) soit,z2= 12+ 22= 5

3.z3=2

1 +i

Solution :

z3=21 +i=2 (1-i) (1 +i)(1-i)=2-2i2=22-2i2= 1-i 1

4.z4=2i3-2i

Solution :

z4=2i3-2i=2i (3 + 2i) (3-2i)(3 + 2i)=6i-413=-413+613i

5.z5=2 +i

2-i

Solution :

z5=2 +i2-i=(2 +i) (2 +i) (2-i)(2 +i)=3 + 4i5=35+45i

6.z6=2 + 3i

-2 +i

Solution :

z6=2 + 3i-2 +i=(2 + 3i) (-2-i) (-2 +i)(-2-i)=-1-8i5=-15-85i

7.z7=2i

(1-i)(1 + 2i)

Solution :

z7=2i(1-i)(1 + 2i)=2i (1 +i)(1-2i) (1-i)(1 +i)(1 + 2i)(1-2i) =2i(3-i)2×5=2 + 6i10=15+35i

8.z8= 2eiπ

Solution :

z8= 2eiπ= 2(cos(π) +isin(π)) = 2(-1 +i×0) =-2

9.z9= 4eiπ

4

Solution :

z9= 4eiπ4= 4? cos?π4? +isin?π4?? = 4? 2

2+i⎷

2 2? = 2⎷2 + 2i⎷2

10.z10= 2eiπ

3ei5π6

Solution :

z10= 2eiπ3ei5π6= 2ei(π3+5π6)= 2ei7π6 d"o`u,z10= 2ei7π 6= 2? cos?7π6? +isin?7π6?? = 2? 3

2-i12?

=-⎷3-i

Exercice 2 :

D´eterminer la partie r´eelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :

1.z1= (1 + 3i)(5-i)

Solution :

Pour d´eterminer les parties r´eelle et imaginaire d"un nombre complexe, on l"´ecrit sous forme alg´ebrique : z

1= 5-i+ 15i-3i2= 5 + 14i+ 3 = 8 + 14i.

La partie r´eelle dez1est donc?e(z1) = 8, et sa partie imaginaire?m(z1) = 14. 2

2.z2= (2 +i)2

Solution :

Pour d´eterminer les parties r´eelle et imaginaire d"un nombre complexe, on l"´ecrit sous forme alg´ebrique : z

2= 22+ 4i+i2= 22+ 4i-i= 3 + 4i

La partie r´eelle dez2est donc?e(z2) = 3, et sa partie imaginaire?m(z2) = 4.

3.z3=1 + 3i

4 + 2i

Solution :

Pour d´eterminer les parties r´eelle et imaginaire d"un nombre complexe, on l"´ecrit sous forme alg´ebrique : z

2=(1 + 3i)

(4-2i) (4 + 2i)(4-2i)=10 + 10i20=12+12i

La partie r´eelle dez3est donc?e(z3) =1

2, et sa partie imaginaire?m(z3) =12.

Exercice 3 :

Ecrire les nombres complexes suivants sous formes trigonom´etrique et ex- ponetielle

1.z1= 1 +i

Solution :

On calcule le module et un argument dez1.

|z1|=|1 +i|=⎷

12+ 12=⎷2.

⎷2=⎷ 2 2 sinθ1=1 ⎷2=⎷ 2

2, d"o`uθ1=π

4[2π].

On a donc,z1=⎷

2? cosπ4+isinπ4? (forme trigonom´etrique)

2eiπ4(forme exponentielle)

2.z2= 1-i⎷

3

Solution :

On calcule le module et un argument dez2.

|z2|=|1-i⎷

3|=?12+⎷32=⎷4 = 2.

De plus, siθ2= arg(z2), alors???????cosθ2=1

2 sinθ2=-⎷ 3

2, d"o`uθ2=-π

6[2π].

On a donc,z2= 2?

cos? 6? +isin? -π6?? (forme trigonom´etrique) = 2e-iπ

6(forme exponentielle)

3

3.z3=1 +i1-i⎷3

Solution :

On peut chercher tout d"abord `a ´ecrirez3sous forme alg´ebrique et proc´eder comme pr´ec´edemment. On peut aussi directement calculer le module et un argument dez3en utilisant lesr`egles de calcul sur les modules et argument d"un quotient : |z3|=????1 +i

1-i⎷3????

=|1 +i||1-i⎷3|=⎷ 2 2

De plus,θ3= arg(z3) = arg?1 +i

1-i⎷3?

= arg(1 +i)-arg?1-i⎷3?=π4-? -π3? =7π12 (d"apr`es les calculs des deux premi`eres questions).

On a donc,z3=⎷

2 2? cos5π12+isin5π12? (forme trigonom´etrique) 2

2ei5π

12(forme exponentielle)

2 R´esolution d"´equations

Exercice 4 :

D´eterminerz?Ctel que (1 + 2i)z+ 2 = 3z-2i.

Solution :

C"est une ´equation du premier degr´e dans C. (1 + 2i)z+ 2 = 3z-2i??(-2 + 2i)z=-2-2iquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8