RDM Déformation 2 Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis
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Droite d'action perpendiculaire à la surface d'appui, Les actions de liaison ont les caractéristiques suivantes : de nouvelles équations issues de la RDM 3
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RDM Déformation 2 Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis
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des actions statiques qui se traduisent en forces globales agissant sur l' ensemble de la construction 2- Calculer les réactions d'appuis dans un repère global
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son axe longitudinal et qui les transmet à des appuis situés le long de son On calcul ces efforts en appliquant les équations d'équilibre: Équilibre de de droite au lieu de celle de gauche, le sens de V est inversé (action-réaction) Fig 7 15
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5 5 Déplacements nodaux, actions de liaisons, efforts sur un élément 10 6 4 Exemple 4 – appui simple élastique Le calcul d'une structure par la méthode des éléments finis implique sa discrétisation (maillage) Dans le cas
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Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations
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lui sont appliquées, des composantes de réaction de l'appui A et de l'action du tronçon de droite En RDM, on utilise plutôt les notations Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz sentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de déplacements
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déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort Théorème L'appui simple en B possède deux mobilités donc une seule inconnue de
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M. Cupani Page 1 sur 21 RDM
Déformation
RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES
L p kN/m L/2 pL kN P L/2Sommaire
1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ....................................................................................................................... 2
2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):.............................................................. 3
3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle) ....................................................................... 5
4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle). ............................................. 7
5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ...................................................... 8
6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ............................................................. 10
7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) .................................. 12
8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme) ............................... 13
9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)............. 15
10. Console avec charge triangulaire: ............................................................................................................... 16
11. Calcul des déformées charge triangulaire ................................................................................................... 17
12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire): ............................................................................ 18
M. Cupani Page 2 sur 21 RDMDéformation
1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX
La "déformée" représente l'allure de la ligne moyenne après déformation. Les "flèches" représentent les déplacements maximums pris par la déformée. Relation entre la rotation et le rayon de courbure : dx. La variation de la rotation de la section en x à la section en x + dx vaut dȦ.On démontre que:
la rotation dȦpeut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment faible.Relation entre la flèche et le moment :
En combinant les différentes relations on obtient:En résumé:
En intégra apparaissent.
Afin de déterminer leurs valeurs, il est nécessaire de connaître la flèche ou la rotation en certains points
particuliers. Nous savons que les appuis bloquent des mouvements :Conditions aux limites
Appui simple Articulation Encastrement
flèche nulle y = f = 0 flèche nulle y = f = 0Ȧrotation nulle
flèche nulle y = f = 0 )(1)(')(''xEI xMxxf GZ z UZ²)( )()(dxxEI xMxf GZ zdxxEI xMxfx GZ z )( xEI xM GZ zȦ Equation de la déformée f(x)
M. Cupani Page 3 sur 21 RDMDéformation
2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):
Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis.
Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .Exemple 1:
Une poutre AB de longueur L = 4m
IPE 120 (IGZ = 317,8 cm4 ; E = 2.105 MPa)
Encastrée à ses deux extrémités
supporte en C une chargeNF.5000
Déterminer les actions en A et B
Equations de statique :
2 FByAy (Symétrie)02/u LBYMBFLMAAMz
avec MBMA (symétrie)Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand
20LxdMAxAYMfz .
Utilisation de
MAxAYyIEGZ .''..
1.2².'..CxMAxAYyIEGZ
213 .2