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AIDE MÉMOIRE
Étienne ,
FirasXavier
Mise en page : Belle Page
© Dunod, 2016
11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.comISBN 978-2-10-074366-7
V athématiques nancières VI 1 Actualisation, capitalisation, escompte, intérêts simples et compo sés, taux d'actualisation, taux d'intérêt e ectif, taux équ ivalent, taux pro portionnel. Ce chapitre permet de faire le lien entre temps et valeur puis de compre ndre les principes et les modes de calcul des intérêts simples et compo sés. 1 "?Le temps, c'est de l'argent?» selon la formule populaire?! "?Préférez-vous recevoir 1?000?euros tout de suite (hypothèse n°?1) ou dans un an (hypo thèse n°?2)???» Tout individu normalement constitué aura une préférence en toute logique pour la première hypothèse?; tout simplement parce qu'il n'attribue pas de manière spontanée la même "?valeur?» aux 1?000?euros perçus maintenant à ceux, plus hypothétiques, reçus dans 12? mois... à moins de recevoir des intérêts en compensation. 1.11?000?euros dans un an ont une valeur inférieure à 1?000?euros aujourd'hui
puisque la certitude de les recevoir diminue au fur et à mesure que l e temps passe. Il est donc normal, dans notre système économique, qu e les agents (individus, entreprises, banques...) qui prêtent leurs fonds, perçoivent, en contrepartie, une rémunération venant compenser leur renoncement, pendant une durée déterminée, à en disposer eux -mêmes. athématiques nancières 2 aujourd'hui demain dans un an aujourd'hui 1 er j anvier1 er j anvier31 décembre Qu e valent aujourd'hui 1 000 € dans un an ?1 000 €
31décembre
1 000 €
Que valent dans un an 1 000 € aujourd'hui ?
Figure?1
Valeur future et valeur actuelle
Remarque
risque cf.Temps, valeur et intérêts
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 1.2La capitalisation et l'actualisation
Deux techniques rendent comparables des sommes qui apparaissent dans le temps à des dates di?érentes : la capitalisation et l' actualisation . La première permet de calculer la d'une somme d'argent dont on dispose aujourd'hui ; à l'inverse, la seconde aide à convertir en une une somme d'argent que l'on percevra ultérieurement.Représentons le temps par une droite
102n3t
Figure2
La droite du temps
On considérera par la suite que la date 0 correspond à aujourd'hui et la date 1à la ?n de la première période. Une période renvoie gétnéralement à une année
ou peut avoir une durée plus courte (mois, trimestre, semestre...)t, chaquepériode étant de même durée. Les chi?res font référtence à la ?n d'une période
ou de manière indi?érente au début de la suivante : la période 2 correspond à la ?n de la deuxième période ou au début de la troisiètme. En?n, dans un souci de simpli?cation et sauf indication contraire, on part du princtipe que les sommes d'argent sont placées ou perçues en ?n de période.tLa valeur future
Le calcul de la valeur future permet de savoir quelle sera la valeur, datns périodes, d'une somme d'argent placée aujourd'hui. On est dans le cas de la capitalisationExemple?: placement à obtenir en t
n1 Un individu place 1 200 euros sur un compte d'épargne rémunéré au taux annuel de 2 %. Au bout d'un an, il dispose de 1 000 + (1 000 × 2 %) ou1 000 × 1,02 soit 1 020 euros. Au bout de 2 ans, la somme disponible
1 On retrouve ici le cas le plus courant des intérêts composés (t les intérêts simples qui ne sont calculés que sur le capital initial). le § 3. athématiques nancières 4 V n V 0× (1 +
i nFonction sous Excel
VC(taux;npm;vpm;va;type)
avec taux npm vpm va typeTableau?1
AB1Taux d'intérêt annuel5?%
2Durée6
3Valeur actuelle-?20 000
4Valeur future26 801,91
Remarque
Temps, valeur et intérêts
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délitLa valeur actuelle
Le calcul de la valeur actuelle permet de savoir quelle somme il convien t d'investir aujourd'hui pour disposer d'un certain montant à une date future déterminée. En d'autres termes, on cherche à connaître la valeur actuelle ( 0 ) d'une somme future; d'où la nécessité d'actualiser, c'est-à-dire de c onvertir en euros d'aujourd'hui des euros futurs en tenant compte d'un c oût d'opportunité, le taux d'actualisationOn parle de
coût d'opportunité car en investissant, l'agent économique sacrie l'opportunité de disposer des fonds d'aujourd'hui en échange de l'espoir de disposer d'un montant plus élevé dans le futur. La valeur actuelle peut être obtenue par la formule suivante: 0 11 nn n nVVVii≈ Quel doit être le montant d'un placement qu'un salarié doit réaliser pour disposer le jour de sa retraite, dans 15 ans, d'une somme de150000euros, sachant qu'il lui est possible de placer ses fonds au taux
xe de 4% annuel?Fonction sous Excel
On utilisera la fonction Valeur actuelle
VA (taux;npm;vpm;vc;type) avec
taux =taux d'intérêt; npm =nombre de périodes; vpm =coupon à chaque période; vc = valeur capitalisée (ou prix de remboursement); type =0 si versement en n de période, 1 si versement en début de période. Application: quel placement doit-on eectuer pour obtenir dans 12ans, une somme de 200000euros au taux de 4%? athématiques nancières 6 En pratique, il est rare qu'un investissement ne produise qu'un seul ?ux ou qu'un placement ne consiste qu'en un seul versement. Dans ce cats, il su?t de reprendre les formules déjà présentées en les apptliquant à chacun des ?ux (notés F Graphiquement, la capitalisation de ?ux futurs peut être représtentée de la manière suivante : t FF FF F F i F + i F + i F + i F + iTemps, valeur et intérêts
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Graphiquement, l'actualisation de ux futurs, quant à elle, peu t être représentée de la manière suivante?: F 11 + i)
-1 F 21 + i)
-2 F 31 + i)
-3 F 41 + i)
-4 F 51 + i)
-5 10253t 4 FF 123
FF 4 F 5
Figure4
L"actualisation de ux multiples en début de période1 Un placement est e ectué à raison d'un versement de 2?000?euros par an (en début de période) pendant 4?ans au taux annuel de 5?%. Quelle est la valeur capitalisée à la ?n de la quatrième année?? n V n VOn utilisera la fonction VC sous Excel?:
Tableau3
AB1Taux d"intérêt annuel5%
2Durée4
3Placement-2 000
4Valeur actuelle0
5Type1
6Valeur future9 051,26
athématiques nancières 8 43210 65
5 000 1,045 5 000 1,045 5 000 1,05 5 000 1,05
+5 000 1,05 5 000 1,05 25 789,36 euros.VTableau?4
AB1Taux d'intérêt annuel4,5?%
2Durée6
3Versement-?5 000
4Valeur future0
5Type0
6Valeur actuelle25 789,36
Les cas particuliers relatifs aux ux multiples
Les ?ux sont parfois constants et limités dans le tempsF 0 1 - 1 n i i 1 1 n n iVF i Cf.Temps, valeur et intérêts
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Exemple : l'actualisation de ?ux constants et limités dans l e temps Un individu perçoit une rente annuelle de 750 euros au taux de 10 % pendant 4 ans. Calculer la valeur actuelle en année 0. 4 0 1 - 1,10 750 2 377 euros.0,10V
Exemple : la capitalisation de ?ux constants et limités dans le temps Un individu perçoit en début de chaque mois sur son compte bancairte200 euros relatifs à un placement au taux de 3 % pendant 5 ans. Calculer
la valeur future en ?n d'année 5. 601,03- 1
200 32 611 euros.0,03
n V 2.Les ?ux sont constants sur un horizon in?ni. Lorsque les ?ux n'ont pas de limite temporelle, on parle de rente perpétuelle
1 . L'horizon n'étant pas borné, il s'avère impossible de calculer une tvaleur future. En revanche, on pourra estimer une valeur actuelle, F