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Exposé 38 : Relations metriques et triginometriques dans un triangle quelconque.

Applications.

Niveau : 1

ere S

Pre requis :

- Dans un triangle ABC,

ˆ ˆˆA B Cπ+ + =

- Produit scalaire - Relation trigonometrique - Projection orthogonale - Theoreme de l"angle inscrit

On se place dans un plan affine euclidien

? ( pas neccessairement orienté)

Soit ABC un triangle non aplati.

ˆ ˆˆ, ,A B Cles mesures dans ][0,π des angles non orientés opposés aux cotés [][][], , , , ,B C A C A B.

1) Relations metriques et trigonometriques

a) Formule d"AL-KASHI

Theoreme 1:

2 2 2 2 2 2

2 2 2ˆ2 .cos( )

ˆ2 .cos( )

ˆ2 .cos( )

a b c bc A b c a ac B c a b ab C

Preuve :

2 2 2 2 2 2

2 2 2

ˆ( ) ( ) 2 .

2 .cos( , )

A a BC BA AC AC AB AC AB AB AC a b c cb AB AC= = + = - = + -= + -

Une preuve similaire pour les autres egalités.

Theoreme : (de pythagore)

ABC est rectangle en A

? 2 2 2a b c= +

Remarque :

2 2 21. ( )2AB AC b c a= + -???? ????

BA Cac b

ÂB^

C b) Inegalité triangulaire

Le theoreme 1 implique

2 2 2ˆcos( )

2 b c aAbc Or ][ˆ0,Aπ? donc 2 2 2 1 12 b c a bc 2 2 2

2 20 2 2

bc bc b c a bc ie b c a b c> ? - < + - <

D"où

b c a b c- < < +

Remarque : c"est une preuve que A,B,C aligné

?ABC triangle aplati c) Formule de la mediane

On note H le pied de la hauteur issue de M

On note I le milieu de [AB]

Theroeme de la mediane :

Soient

AetB deux points distincts du plan.

Alors pour tout point M du plan, on a :

1) 2 2.4

ABMAMB MI= -???? ????

2) 2

2 2 222

ABMA MB MI+ = +

3)

2 22 . 2 .MA MB IM AB IH AB- = =???? ???? ???? ????

Preuve :

1) 2

0. ( ).( ) .( ) .MAMB MI IA MI IB MI MI IA IB IAIB= + + = + + +

2

2 2 2.4

ABMAMB MI IA MI= - = -???? ????

2)

2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB+ = + + +???? ??? ???? ???

2 2 2 2 2 2 22 2 .( ) 2 2MA MB MI MI IA IB IA IB MI IA+ = + + + + = +???? ??? ???

2

2 2 222

ABMA MB MI+ = +

3)

2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB- = + - +???? ??? ???? ???

2 2 2 2 2 22 . 2 .MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB- = + + - - -???? ??? ???? ???

2 22 .( ) 2 . 2 . 2 .MA MB MI IA IB MI BA IM AB IH AB- = - = = =???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ????

M B HA I

Consequence :

a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la mediane issue de A est la hauteur issue de A. A B C I A B C

I=H Demonstration :

a)

ABC rectangle en A ?2 2 2AB AC BC+ =

? 2 212

2AI BC= car

2

2 2 222

BCAB AC AI+ = +

? 2 24 2BC AI BC AI= ? = ?( )A C I? de diametre [BC] b)

ABC isocele en A ?2 20AB AC AB AC= ? - =

? 2 . 0 . 0IH BC IH BC I H= ? = ? =???? ???? ???? ???? d) Formule des sinus Theoreme : Soit S la surface du triangle ABC. On a

1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =

Preuve : 1

er cas : si ˆCest aigu 1

2S BC AH= ×

Or ˆsin( )AHCAC=d"où 1ˆsin( )2S BC AC C= × × 2 e cas : siˆCest obtu 1

2S BC AH= ×

Or ? ?ˆsin( ) sin( ) sin( )AHC HAC HACACπ= - = =

D"où

1ˆsin( )2S BC AC C= × ×

De meme pour les autres angles.

A B H C

Theoreme :

2ˆ ˆ ˆ2sin( )sin( ) sin( )a b c abcRSBA C= = = = où R est le rayon du cercle circonscrit au

triangle ABC.

Preuve :

1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =

Donc

ˆ ˆˆ2 sin( ) sin( ) sin( )S A B C

abc a b c= = =

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2( ) 2 .

2 2 cos( , )

² 2 (1 cos2 ) ( " )

² 4 sin

a BC BO OC BO OC BOOC a R R OB OC a R A theo de l angle inscrit a R A= = + = + += -

D"où

2ˆsin

aRA=

Corollaire :

4abc RS=

e) Formule de Héron Theoreme : Soit p le demi perimetre du troangle ABC i.e 2p a b c= + + Alors ( )( )( )S p p a p b p c= - - -

Preuve :

2 2 2ˆcos

2 b c aAbc ( )( )ˆ1 cos 2 b c a a b cAbc ( ( ))( )ˆ1 cos 2 a b c a b cAbc Or 2 2

2 24 ( )( )( )ˆ ˆ ˆ ˆsin 1 cos (1 cos )(1 cos )p p a p b p cA A A Ab c

Par la formule des sinus, on obtient

2 2

2 24ˆsinSAb c=

D"où

2( )( )( )S p p a p b p c= - - -

f) Cercle inscrit Theoreme : Dans ABC, on a S pr=où rest le rayon du cercle inscrit dans ABC

Consequence : ( )( )( )p a p b p crp- - -=

2) Relations trigonometrique

Proprietes : Avec les notations precedentes :

1)

ˆ ˆˆsin sin sin

2 a b c pA B CR R 2)

3 34ˆ ˆˆsin .sin .

8 8 2 ²

abc RS SA B sinCR R R= = = 3) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan .tan .tanA B C A B C+ + =

Preuve

1)

Avec la formule des sinus

2)

3 34ˆ ˆˆsin .sin . . .

2 2 2 8 8 2 ²

ora b c abc RS SA B sinCR R R R R R= = = = 3)

ˆ ˆˆA B Cπ+ + =

ˆtan( ) tan( ) tan( )

ˆtan tanˆtan( )ˆˆ1 tan tan

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan tan tan A B C

A B C C

A B CA B

A B C A B C

+ = - +(pour les angles non plat non droit)

3) Applications

a) Puits de petrole

ON construit un puit de petrole

A 530m du coin A du champ, a 210 M du coin C opposé, a 105m du coin B

A quelle distance se trouve-t-il du 4

e coin ? PD= ?

Resolution :formule de la mediane,

b) Carrés autour d"un triangle On considere un triangne ABC. On construit les carres ABEF et ACGH exterieurement au triangle.(plutot dire comme sur la figure » sinon le jury va tiquer sur exterieur)

Montrer que FC=BH

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