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Produit scalaire : exercices

Les réponses aux questions sont disponibles à la fin du document

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

Exercice 1 :

On considère les vecteurs

!uet!vtels que :k!uk=2,k!vk=3 et!u!v=1.

Calculer :

1)(2!u+!v)(!u!v)

2)(!u+2!v)2

3)(3!u+!v)2

4)(!u!v)2(!u+!v)2

Exercice 2 :

Dans la figure ci-dessous :ABCest un triangle isocèle enA,AIBJest un parallélogramme etBC=4.

Calculer les produits scalaires suivants :

1) !BC!BA 2) !BC!JC 3) !BC!AJ 4) !BC!IA 5) !BO!BI 6) !BC!CICOBIJ

AExercice 3 :

SoitCun cercle de centreOetA,BetCtrois points distincts deC.

On noteHle projeté orthogonal deAsur la droite(BC),Dl"intersection entre la hauteur(AH)et le cercleCetEle point du

cercle diamètralement opposé àA.

Montrer que!AB!AD=!AC!AD=!AE!AH.

?1 reSérie Générale - Produit scalairec

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Exercice 4 :

SoitABCDun carré,Ile milieu de[AB],Jle milieu de[AD]etKle milieu de[ID]. Montrer que les droites(AK)et(BJ)sont perpendiculaires.? ?Exercice 5 :

On considère les pointsA 2

1! etB 1 3! a) Déterminer une équation de la tangente enBau cercleCde centreApassant parB. b) Déterminer une équation du cercleC.Réponses exercice 1 :

On développe et on utilise que

!u2=k!uk2=4 ,!v2=k!vk2=9 et!u!v=1.

1)(2!u+!v)(!u!v) =2

2)(!u+2!v)2=44

3)(3!u+!v)2=39

4)(!u!v)2(!u+!v)2=4

Réponses exercice 2 :

1) !BC!BA=!BC!BQ=42=8 2) !BC!JC=!BC!BC=42=16 3) !BC!AJ=!BC!OB=42=8 4) !BC!IA=!BC!IB+!BA =!BC!IB+!BC!BA=!BC!JA+42=42+8=16 5) !BO!BI=!BO!AJ=!BO!OB=22=4 6) !BC!CI=!BC!CB+!BI =!BC!CB+!BC!BI=42+!BC!AJ=1642=24

Réponses exercice 3 :

!AB!AD=!AH!AD=car!ABse projette orthogonalement en!AHsur(AD).!AC!AD=!AH!AD=car!ACse projette orthogonalement en!AHsur(AD).

Donc, on a bien!AB!AD=!AC!AD.

De plus,!AE!AH=!AD+!DE

!AH=!AD!AH+!DE!AH=!AD!AH+0 (le triangleADEest rectangle enD).

Conclusion :

!AB!AD=!AC!AD=!AE!AH.2 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Produit scalaire

Réponses exercice 4 :

!AK!BJ=!AJ+!JK !BA+!AJ =!AJ+12 !AI !BA+!AJ

AJ!BA+!AJ!AJ+12

!AI!BA+12 !AI!AJ=0+14 a214 a2+0=0

Les droites(AK)et(BJ)sont bien perpendiculaires.

Réponses exercice 5 :

a) !AB 3 2! est un vecteur normal de la tangente qui admet donc une équation de la forme :3x+2y+c=0. La tangente doit passer parB. On en déduit que3(1)+23+c=0,c=9. Une équation de la tangente est donc :3x+2y9=0. b) Le rayon du cercle est égal à la distanceAB. Or,AB=p(3)2+22=p13. Une équation du cercle est donc(xxA)2+(yyA)2=13, c"est à dire(x2)2+(y1)2=13.1 reSérie Générale - Produit scalairec

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